上海闵行区高考数学文二模试题附答案041842743232935.docx
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上海闵行区高考数学文二模试题附答案041842743232935
闵行区2014年高三年级质量调研考试
数学试卷（文科）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写．
2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．
3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．．
2．关于方程的解为．
3．已知全集，集合，则=．
4．设，向量，，且，则．
5．在中，若，，，则．
6．若点位于曲线与所围成的封闭区域内（包
括边界）,则的最小值为．
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
8．复数（，且），若是实数，
则有序实数对可以是．（写出一对即可）
9．已知关于的不等式的解集
为，则实数的取值范围．
10．将函数的图像向右平移个单位长
度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于．
11．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为．
12．有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是．
13．已知数列，对任意的，当时，；当时，，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．
14．对于函数，有下列4个命题：
①任取，都有恒成立；
②，对于一切恒成立；
③函数有3个零点；
④对任意，不等式恒成立．
则其中所有真命题的序号是．
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．下列命题中，错误的是（）．
（A）过平面外一点可以作无数条直线与平面平行
（B）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行
（C）若直线垂直平面内的两条相交直线，则直线必垂直平面
（D）垂直于同一个平面的两条直线平行
16．已知集合，,若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（）．
（A）（B）（C）（D）
17．若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）．
（A）（B）
（C）（D）
18．已知等差数列的前项和为，向量，，，且，则用表
示（）．
（A） （B） （C） （D）
三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）
如图，在体积为的正三棱锥中，长为，为棱的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第
（1）小题满分6分，第
（2）小题满分8分．
如图，点A、B是单位圆上的两点，点C是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.
（1）若点A的坐标为，求的值；
（2）用表示，并求的取值范围.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第
（1）小题满分8分，第
（2）小题满分6分．
为了寻找马航残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛，海里，且.现指挥部需要紧急征调位于港口正东海里的处的补给船，速往小岛装上补给物资后，继续沿方向全速追赶科考船，并在处相遇给科考船补给物资．经测算当两船运行的航线与海岸线围成的三角形的面积最小时，这种补给方案最优.
（1）求关于的函数关系式；
（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）、（3）小题满分各6分．
设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
（1）求，的标准方程；
（2）设是准线上一点，直线的斜率为，的斜率依次为，请探究：
与的关系；
（3）若与交于C、D两点，为的左焦点，问是否有最小值？
若有，求出最小值；若没有，请说明理由.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．
已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，……，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．
（1）指出，并求与的关系式（）；
（2）求（）的通项公式，并指出点列，，…，，…向哪一点无限接近？
说明理由；
（3）令，数列的前项和为，试比较与的大小，并证明你的结论．
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷（文理科）参考答案与评分标准
一.填空题1．；2．2；3．；4．；5．；6．（理）、
（文）-5；7．（理）、（文）；8．或满足的任意一对非零实数对；9．（理）、（文）；10．（理）、（文）6；11．4；12．（理）、（文）；13．39366（）14．（理）①③ 、（文）①③④．
二.选择题15．B；16．A；17．C；18．C
三.解答题19.解：
（1）过点作平面，垂足为，则为的中心，由得（理1分文2分）
又在正三角形中得，所以
……………………………（理2分文4分）
取中点，连结、，故∥，
所以就是异面直线与所成的角．（理4分文6分）
在△中，，，…………………（理5分文8分）
所以．…………………（理6分文10分）
所以，异面直线与所成的角的大小为．……（理7分文12分）
（2）由可得正三棱锥的侧面积为
…………………（理10分）
所以正三棱锥的表面积为
．…………………………（理12分）
20.解：
（1）由已知，………（2分）
………（4分）
=.………………………………………………（6分）
（2）……………………（8分）
………………………（10分）
，，……（12分）
……………………（14分）
21.
（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，…（1分）
则直线OZ的方程为，设点A（x0，y0），则，，即A（900，600），…………………（3分）
又B（m，0），则直线AB的方程为：
，…………（4分）
由此得到C点坐标为：
，…（6分）
…（8分）
（2）由
（1）知…（10分）
………（12分）
所以当，即时，最小，
（或令，则，当且仅当时，最小）
∴征调海里处的船只时，补给方案最优.…………………（14分）
22．解：
（1）在椭圆上，在抛物线上，
：
…………………（4分）
（2）（理）=.
是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，
设：
，
联立方程，得，时恒成立.
（也可用焦半径公式得：
）………………（5分）
联立方程，得，恒成立.
……（6分）
=.………………（8分）
当直线的斜率不存在时，：
，
此时，，，=.……………………………（9分）
所以，的最小值为.……………………………（10分）
（文）是抛物线的焦点，当直线的斜率存在时，
设：
，
联立方程，得，时恒成立
，，………………（6分）
因准线为，设，，，
与的关系是..……………………………（8分）
当直线的斜率不存在时，：
，得
，，，仍然有………（10分）
（3）（理）证明：
若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则=.（11分）
若P、Q都不为长轴和短轴的端点，
设
联立方程，解得；……………（12分）
同理，联立方程，解得；
（13分）
反之，对于上的任意两点，当时，
设，，易得
；，
由得，
即，亦即，…（15分）
所以当为定值时，不成立……………（16分）
“反之”的方法二：
如果有，且不在坐标轴上，作关于坐标轴对称的射线与交于，，显然，与不可能同时成立
…………………………………（16分）
（文）=.
是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，
设：
，
联立方程,得，时恒成立.
（也可用焦半径公式得：
）………………（11分）
联立方程，得，恒成立.
……（12分）
=.………………（14分）
当直线的斜率不存在时，：
，
此时，，，=.……………………………（15分）
所以，的最小值为.……………………………（16分）
23.解：
（1）．…………………………………………………………（1分）
设，，由题意得．…………（2分）
…………………（4分）
（2）分别用、代换上式中的n得
（）………………（6分）
又，，…………………（8分）
因，所以点列，，…，，…向点无限接近（10分）
（3）（理），．……（11分）
，.…………………（12分）
将所得的积排成如下矩阵：
，设矩阵的各项和为.
在矩阵的左下方补上相应的数可得
矩阵中第一行的各数和，
矩阵中第二行的各数和，
………
矩阵中第行的各数和，………（15分）从而矩阵中的所有数之和为.………………（16分）所有可能的乘积的和
．………………………………………………（18分）
（文），．………（12分）
，只要比较．………（13分）…（15分）
当n=1时，…………………（16分）
当n=2时，…………………（17分）
当n>2时，．…………………（18分）
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