考点二
变力功的计算
方法一 利用“微元法”求变力的功
物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。
此法在中学阶段,常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
[典题1] 如图所示,在水平面上,有一弯曲的槽道弧AB,槽道由半径分别为和R的两个半圆构成,现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点,若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致,则此过程中拉力所做的功为( )
A.0 B.FR C.πFR D.2πFR
[解析] 虽然拉力方向时刻改变,但力与运动方向始终一致,用微元法,在很小的一段位移内可以看成恒力,小球的路程为πR+π,则拉力做的功为πFR,故C正确。
[答案] C
方法二 化变力的功为恒力的功
若通过转换研究的对象,有时可化为恒力做功,用W=Flcosα求解。
此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
[典题2] 如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升。
若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2,图中AB=BC,则( )
A.W1>W2
B.W1<W2
C.W1=W2
D.无法确定W1和W2的大小关系
[解析] 绳子对滑块做的功为变力做功,可以通过转换研究对象,将变力的功转化为恒力的功;因绳子对滑块做的功等于拉力F对绳子做的功,而拉力F为恒力,W=F·Δl,Δl为绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移,大小等于滑轮左侧绳长的缩短量,由图可知,ΔlAB>ΔlBC,故W1>W2,A正确。
[答案] A
方法三 利用Fx图象求变力的功
在Fx图象中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正,位于x轴下方的“面积”为负,但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
[典题3] 如图甲所示,静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示,图线为半圆。
则小物块运动到x0处时F做的总功为( )
A.0 B.Fmx0 C.Fmx0 D.x
[解析] F为变力,根据Fx图象包围的面积在数值上等于F做的总功来计算。
图线为半圆,由图线可知在数值上Fm=x0,故W=π·F=π·Fm·x0=Fmx0。
[答案] C
方法四 利用平均力求变力的功
在求解变力做功时,若物体受到的力方向不变,而大小随位移呈线性变化,即力均匀变化时,则可以认为物体受到一大小为F—=的恒力作用,F1、F2分别为物体初、末态所受到的力,然后用公式W=F—lcosα求此力所做的功。
[典题4] 把长为l的铁钉钉入木板中,每打击一次给予的能量为E0,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比,比例系数为k。
问此钉子全部进入木板需要打击几次?
[解析] 在把钉子打入木板的过程中,钉子把得到的能量用来克服阻力做功,而阻力与钉子进入木板的深度成正比,先求出阻力的平均值,便可求得阻力做的功。
钉子在整个过程中受到的平均阻力为:
F==
钉子克服阻力做的功为:
WF=Fl=kl2
设全过程共打击n次,则给予钉子的总能量:
E总=nE0=kl2,所以n=
[答案]
方法五 利用动能定理求变力的功
动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动,既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。
使用动能定理可根据动能的变化来求功,是求变力做功的一种方法。
[典题5] (2016·南宁质检)如图所示,质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。
现用水平拉力F将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置。
在此过程中,拉力F做的功为( )
A.FLcosθB.FLsinθ
C.FL(1-cosθ)D.mgL(1-cosθ)
[解析] 用F缓慢地拉,则显然F为变力,只能用动能定理求解,由动能定理得WF-mgL(1-cosθ)=0,解得WF=mgL(1-cosθ),D正确。
[答案] D
考点三
功率的计算
1.平均功率的计算
(1)利用P=。
(2)利用P=Fvcosα,其中v为物体运动的平均速度。
2.瞬时功率的计算
(1)利用公式P=Fvcosα,其中v为t时刻物体的瞬时速度。
(2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
3.计算功率的3个注意
(1)要弄清楚是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应,计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
求解瞬时功率时,如果F与v不同向,可用力F乘以F方向的分速度,或速度v乘以速度方向的分力求解。
1.(2016·鹤壁模拟)一个质量为m的物块,在几个共点力的作用下静止在光滑水平面上。
现把其中一个水平方向的力从F突然增大到3F,并保持其他力不变,则从这时开始到t秒末,该力的瞬时功率是( )
A. B. C. D.
解