高考调研数学23Word格式.docx
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(-1)2+(-1)=-3,故选A.
解法二:
设x>
0,则-x<
0,
∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,
又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-2x2-x,
∴f
(1)=-2×
12-1=-3,故选A.
5.已知f(x)(x∈R)为奇函数,f
(2)=1,f(x+2)=f(x)+f
(2),则f(3)等于( )
A.
B.1
D.2
答案 C
解析 令x=-1,则f(-1+2)=f(-1)+f
(2),
即f
(1)=-f
(1)+f
(2),∴f
(1)=
∴f(3)=f
(1)+f
(2)=
+1=
6.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f
(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数至少是( )
A.1B.4
C.3D.2
解析 由f
(2)=0,得f(5)=0,∴f(-2)=0,f(-5)=0.
∴f(-2)=f(-2+3)=f
(1)=0,
f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0,
故f(x)=0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解.
点评 本题的易错点是,易忽略条件f(x)是偶函数,而且还易出现漏根的情况.
7.(2011·
湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=( )
A.ex-e-xB.
(ex+e-x)
C.
(e-x-ex)D.
(ex-e-x)
解析 由f(x)+g(x)=ex可得f(-x)+g(-x)=e-x,又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可得f(x)-g(x)=e-x,则两式相减可得g(x)=
,选D.
8.(2012·
济南模拟)函数f(x)在定义域R上不是常数函数,且f(x)满足条件:
对任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),f(1+x)=-f(x),则f(x)是( )
A.奇函数但非偶函数
B.偶函数但非奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
解析 依题意得,f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数,所以f(-x+2)=f(-x).又f(2+x)=f(2-x),因此有f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数;
若f(x)是奇函数,则有f(-x)=-f(x)=f(x),得f(x)=0,这与“f(x)不是常数函数”相矛盾,因此f(x)是偶函数但不是奇函数,选B.
9.设f(x)=ax5+bx3+cx+7(其中a,b,c为常数,x∈R),若f(-2011)=-17,则f(2011)=________.
答案 31
解析 f(2011)=a·
20115+b·
20113+c·
2011+7,
f(-2011)=a(-2011)5+b(-2011)3+c(-2011)+7,
∴f(2011)+f(-2011)=14,∴f(2011)=14+17=31.
10.函数f(x)=x3+sinx+1的图像关于________点对称.
答案(0,1)
解析 f(x)的图像是由y=x3+sinx的图像向上平移一个单位得到的.
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=-f(x)+2,且当x∈(0,5)时,f(x)=x,则f(2012)的值为________.
答案 2
解析 ∵f(x+10)=f[(x+5)+5]
=-f(x+5)+2=-[-f(x)+2]+2=f(x).
∴f(x)的一个周期为10.
∴f(2012)=f(10×
201+2)=f
(2)=2.
12.(2011·
上海文)设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为________.
答案 [-2,7]
13.(2012·
山东潍坊)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于f(x)的判断:
①f(x)是周期函数;
②f(x)关于直线x=1对称;
③f(x)在[0,1]上是增函数;
④f(x)在[1,2]上是减函数;
⑤f
(2)=f(0).
其中正确的序号是________.
答案 ①②⑤
解析 由f(x+1)=-f(x)得
f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
∴f(x)是周期为2的函数,①正确,
f(x)关于直线x=1对称,②正确,
f(x)为偶函数,在[-1,0]上是增函数,
∴f(x)在[0,1]上是减函数,[1,2]上为增函数,f
(2)=f(0).因此③、④错误,⑤正确.综上,①②⑤正确.
14.已知定义域为R的函数f(x)=
是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<
0恒成立,求k的取值范围.
答案
(1)a=2,b=1
(2)k<
-
解析
(1)因为f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,即
=0⇒b=1,
∴f(x)=
又由f
(1)=-f(-1)知
=-
⇒a=2.
(2)解法一 由
(1)知f(x)=
,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数,从而不等式:
f(t2-2t)+f(2t2-k)<
等价于f(t2-2t)<
-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)为减函数,由上式推得:
t2-2t>
k-2t2.即对一切t∈R有:
3t2-2t-k>
从而判别式Δ=4+12k<
0⇒k<
解法二 由
(1)知f(x)=
.又由题设条件得:
+
<
即:
(22t2-k+1+2)(1-2t2-2t)+(2t2-2t+1+2)(1-22t2-k)<
整理得23t2-2t-k>
1,因底数2>
1,故:
上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<
15.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2011).
思路
(1)只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)是周期函数;
(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[-2,0]的解析式,进而求f(x)在[2,4]上的解析式;
(3)由周期性求和的值.
(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],
∴4-x∈[0,2],
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,
又f(4-x)=f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x2+6x-8,
即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].
(3)解 ∵f(0)=0,f
(2)=0,f
(1)=1,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0.
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2011)=0.
1.下列函数中,不具有奇偶性的函数是( )
A.y=ex-e-x B.y=lg
C.y=cos2xD.y=sinx+cosx
2.已知f(x)为奇函数,当x>
0,f(x)=x(1+x),那么x<
0,f(x)等于( )
A.-x(1-x)B.x(1-x)
C.-x(1+x)D.x(1+x)
解析 当x<
0时,则-x>
0,∴f(-x)=(-x)(1-x).又f(-x)=-f(x),∴f(x)=x(1-x).
3.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f
(1)=1,f
(2)=2,则f(3)-f(4)等于( )
A.-1B.1
C.-2D.2
解析 ∵函数周期T=5,且为奇函数,
∴f
(1)=f(1-5)=f(-4)=-f(4)=1.
∴f(4)=-1.
又∵f
(2)=f(2-5)=f(-3)=-f(3)=2,
∴f(3)=-2.
∴f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1.
4.若函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(3)-2f(-3)=0,则
0的解集为( )
A.(-∞,-3)∪(0,3)B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(0,3)D.(-3,0)∪(3,+∞)
解析 因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(-3)=-f(3),由f(3)-2f(-3)=0,得3f(3)=0,f(3)=0.又因为f(x)在(0,+∞)内是增函数,所以当x>
3或-3<
x<
0时,f(x)>
0;
当x<
-3或0<
3时,f(x)<
0.由
0,即
0,可知-3<
0或0<
3,故选C.
5.定义在R上的函数f(x)满足:
对任意α、β∈R,总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2011,则下列说法正确的是( )
A.f(x)-1是奇函数B.f(x)+1是偶函数
C.f(x)-2011是偶函数D.f(x)+2011是奇函数
解析 令α=β=0,则得
f(0+0)-[f(0)+f(0)]=2011,
解得f(0)=-2011,显然f(0)+2011=0.
又令α=x,β=-x,则有
f(0)-[f(x)+f(-x)]=2011,
所以-[f(x)+2011]=f(-x)+2011.
设g(x)=f(x)+2011,故有g(-x)=-g(x),所以函数f(x)+2011是奇函数.故选D.
6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,总有f(x+2)=-f(x)成立,则f(19)=________.
答案 0
解析 依题意得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是以4为周期的函数,因此有f(19)=f(4×
5-1)=f(-1)=f
(1),且f(-1+2)=-f(-1),即f
(1)=-f
(1),f
(1)=0,因此f(19)=0.
1.在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( )
A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
思路 根据函数是偶函数和关系式f(x)=f(2-x),可得函数图像的两条对称轴,只要结合这个对称性就可以逐次作出这个函数的图像,结合图像对问题作出结论.
由函数是偶函数,知函数的图像关于y轴对称,函数在区间[-2,-1]上的单调性与在区间[1,2]上的单调性相反,为增函数;
由f(x)=f(2-x)知函数的图像关于直线x=1对称,故函数在区间[3,4]上的单调性与在区间[-2,-1]上的单调性相反,为减函数.故选B.
求解本题的难点在于函数的抽象性,化解难点的基本思想是充分利用函数的性质进行推理,如根据函数是偶函数可得f(-x)=f(x),再根据f(x)=f(2-x),把其中的x换成-x可得f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(x+2),即函数是周期为2的偶函数,再根据f(x)=f(2-x)推知函数图像关于直线x=1对称.
2.(2012·
广东六校联合体第二次联考)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x∈(0,
)时,f(x)=sinπx,f(
)=0,则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( )
A.3B.5
C.7D.9
解析 对R上的奇函数f(x),有f(0)=0;
又f
(1)=sinπ=0;
再由T=3,
∴f(3)=f(0+3)=f(0)=0;
f(6)=f(3+3)=f(3)=0;
f(4)=f(1+3)=f
(1)=0;
f(-2)=f(-2+3)=f
(1)=0,
f
(2)=-f(-2)=0;
f(5)=f(2+3)=f
(2)=0.
因为f(
)=0,所以f(
)=f(
+3)=f(
)=0.
综上可知f(x)在区间[0,6]上的零点为0,1,
,2,3,4,
,5,6共9个,故选D.
3.设f(x)=
,又记f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,…,则f2011(x)=( )
B.x
D.
解析 由题得f2(x)=f(
)=-
,f3(x)=f(-
)=
,f4(x)=f(
)=x,f5(x)=
=f1(x),其周期为4,所以f2011(x)=f3(x)=
4.(2010·
新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>
0}=( )
A.{x|x<
-2或x>
4}B.{x|x<
0或x>
4}
C.{x|x<
6}D.{x|x<
2}
0时,-x>
∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8,
又f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(-x)=-x3-8,
∴f(x-2)=
或
解得x>
4或x<
0.故选B.
5.(2009·
湖南示范性高中一模)函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义域中任意x,有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,则F(x)=
+f(x)( )
A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
解析 由条件知f(-x)=-f(x),g(-x)=
∴F(-x)=
+f(-x)=
-f(x)
=
=F(x).
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>
0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<
的解集是( )
A.(-∞,-1)B.(-∞,-1]
C.(1,+∞)D.[1,+∞)
解析 当x>
0时,1-2-x=1-
>
0与题意不符,
0,∴f(-x)=1-2x,
又∵f(x)为R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=1-2x,
∴f(x)=2x-1,
∴f(x)=2x-1<
∴2x<
,∴x<
-1,
∴不等式f(x)<
的解集是(-∞,-1).
《高考调研》原创题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且{x|f(x)>0}={x|1<x<3},则f(π)+f(-2)与0的大小关系是( )
A.f(π)+f(-2)>0B.f(π)+f(-2)=0
C.f(π)+f(-2)<0D.不确定
解析 由已知得f(π)<
0,f(-2)=-f
(2)<0,因此f(π)+f(-2)<0.
8.定义在(-∞,+∞)上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(5
)的大小关系是__________.
答案 f(5
)<
f(-1)<
f(4)
解析 ∵y=f(x+2)为偶函数,
∴y=f(x)关于x=2对称,
又y=f(x)在(-∞,2)上为增函数,
∴y=f(x)在(2,+∞)上为减函数,而f(-1)=f(5),
∴f(5
)<f(-1)<f(4).
9.设f(x)是连续的偶函数,且当x>
0时,f(x)是单调函数,则满足f(x)=f(
)的所有x之和为________.
思路 由函数联想图像,若x,
都在y轴一侧,则这两个式子相等,在y轴两侧,则其互为相反数,直接求解.
答案 -8
解析 依题意,当满足f(x)=f(
)时,
有x=
时,得x2+3x-3=0,
此时x1+x2=-3.又f(x)是连续的偶函数,
∴f(-x)=f(x).
∴另一种情形是f(-x)=f(
),
有-x=
,得x2+5x+3=0.
∴x3+x4=-5.
∴满足f(x)=f(
)的所有x之和为-3+(-5)=-8.