广东省五校届高三联考数学理试题.docx

广东省五校届高三联考数学理试题.docx

《广东省五校届高三联考数学理试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省五校届高三联考数学理试题.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

广东省五校届高三联考数学理试题

广东五校2015届高三年级联考试题

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.

　　2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

一、选择题:

本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知，，则（）

A．B．C．D．

2．设条件p：

；条件q：

，那么p是q的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为

A．B．C．D．

4．下列命题不正确的是

A．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；

B．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；

C．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

D．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直.

5．已知函数则下列结论正确的是（）

A.是偶函数B.的值域为

C.是周期函数D.是增函数

6．在△ABC中，AB=2，AC=3，，则.

A.B.C.D.

7．节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（　　）

A．B．C．D．

8．在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则（　　）

A．平面与平面所成的（锐）二面角为B．平面与平面垂直

C．平面与平面平行D．平面与平面所成的（锐）二面角为

二、填空题:

本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）

（一）必做题（9～13题）

9.复数的值是．

10.若数列满足：

，

其前项和为，则．

11.执行如图的程序框图，那么输出的值是.

12.已知不等式组所表示的平面区域的面积为，则的值为__________.

13．将六个字母排成一排,且均在的同侧,则不同的排法共有________种（用数字作答）

（二）选做题（14～15题,考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）

14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线（为参数），

曲线（为参数）.若曲线、有公共点，

则实数的取值范围____________．

15．（几何证明选讲）如图，点是圆上的点,

且,则对应的劣弧长为．

三、解答题:

本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分12分）

在平面直角坐标系下，已知，，，．

（1）求的表达式和最小正周期；

（2）当时，求的值域。

17．（本题满分12分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求分数在内的频率，并补全这个

频率分布直方图；

（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组

区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的

平均分；

（Ⅲ）若从名学生中随机抽取人，抽到

的学生成绩在记分，在记分，

在记分，用表示抽取结束后的总记分，

求的分布列和数学期望.

18．（本题满分14分）

如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为

平行四边形，DC平面ABC,，

已知AE与平面ABC所成的角为,且．

（1）证明：

平面ACD平面；

（2）记，表示三棱锥A－CBE的体积，求的表达式；

（3）当取得最大值时，求二面角D－AB－C的大小．

  19．（本题满分14分）

已知数列中，，，其前项和满足，

令．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求证：

（）.

20．（本题满分14分）

已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在满足的点?

若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.

21．（本题满分14分）

已知函数.

（1）求f（x）的反函数的图象上图象上点（1,0）处的切线方程;

（2）证明:

曲线y=f（x）与曲线有唯一公共点.

（3）设a

数学（理科）参考答案

一、选择题：

（每题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

选项

A

A

C

D

B

A

C

B

二、填空题（每题5分，共30分）

9．10．11.12．113．480

14．（或）15．

三、解答题:

本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分12分）

解:

解：

（1），…………1分

∴,

∴,…………6分

∴的最小正周期为,…………8分

（2）∵∴∴．

∴．所以函数的值域是.…………12分

17．（本题满分12分）

（Ⅰ）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，

则有，

可得，所以频率分布直方图如右图所示.

………………4分

（求解频率3分，画图1分）

（Ⅱ）平均分为：

．…………7分

（Ⅲ）学生成绩在的有人，在的有人，

在的有人.并且的可能取值是.…………………………8分

则；；；

；.

所以的分布列为

0

1

2

3

4

………………………………………………………11分

…………………12分

18．（本题满分14分）

解:

（１）证明：

∵四边形DCBE为平行四边形∴，------1分

∵DC平面ABC,平面ABC∴．----------2分

∵AB是圆O的直径∴且

∴平面ADC．

∵DE//BC∴平面ADC---------------------------------------3分

又∵平面ADE∴平面ACD平面----------------4分

（2）∵DC平面ABC∴平面ABC

∴为AE与平面ABC所成的角，即＝-------------------5分

在Rｔ△ABE中，由,得------------6分

在Rｔ△ABC中∵（）

∴------------------------------------7分

∴（）-----8分

（3）由

（2）知

要取得最大值，当且仅当取得最大值，

∵------------------------------------------------------9分

当且仅当，即时，“＝”成立，

∴当取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形------------10分

解法1：

连结CO，DO

∵AC=BC,DC=DC

∴≌∴AD=DB

又∵O为AB的中点∴

∴为二面角D－AB－C的平面角------------12分

在中∵,

∴,∴=

即当取得最大值时，二面角D－AB－C为60°．------------------------14分

解法2：

以点O为坐标原定，OB为x轴建立空间直角坐标系如图示：

则B（1,0,0），C（0,1,0），D（0,1,），

∴,

平面ABC的法向量，-------------------11分

设平面ABD的法向量为

由得

令，则∴-------------12分

设二面角D－AB－C的大小为，则

∴,即二面角D－AB－C的大小为60°．------------------------------------14分

19．（本题满分14分）

解：

【解】

（1）由题意知即-------2分

∴-------3分

-----6分

检验知、时，结论也成立，故．-------7分

（2）由于

--------9分

故

---------11分

．---------14分

20．（本题满分14分）

（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）

（1）解法1：

设椭圆的方程为,

依题意:

解得:

………2分

∴椭圆的方程为.………3分

解法2：

设椭圆的方程为，

根据椭圆的定义得，即，………1分

∵，∴.………2分

∴椭圆的方程为.………3分

（2）解法1：

设点,，则，

，

∵三点共线,（∴.……4分

∴,

化简得：

.①………5分

由,即得.……6分

∴抛物线在点处的切线的方程为，即.②

同理，抛物线在点处的切线的方程为.③……………8分

设点，由②③得：

，

而，则.……………9分

代入②得，……………10分

则，代入①得，即点的轨迹方程为.………11分

若，则点在椭圆上，而点又在直线上，

…12分

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.………13分

∴满足条件的点有两个.…………14分

解法2：

设点,，，

由,即得.…………4分

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.………5分

∵，∴.

∵点在切线上,∴.①……6分

同理，.②………7分

综合①、②得，点的坐标都满足方程.………8分

∵经过的直线是唯一的，

∴直线的方程为，………9分

∵点在直线上，∴.………10分

∴点的轨迹方程为.………11分

若，则点在椭圆上，又在直线上，12分

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.……13分

∴满足条件的点有两个.……14分

解法3：

显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去，得.……4分

设,则.………5分

由,即得.………6分

∴抛物线在点处的切线的方程为，即.…7分

∵，∴.

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.……………8分

由解得

∴.………10分

∵,

∴点在椭圆上.………11分

∴.

化简得.（*）…………12分

由,………13分

可得方程（*）有两个不等的实数根.∴满足条件的点有两个.………14分

21．（本题满分14分）

解：

（1）f（x）的反函数,则y=g（x）过点（1,0）的切线斜率k=.

.过点（1,0）的切线方程为:

y=x+1。

。

。

。

。

。

3分

（2）证明曲线y=f（x）与曲线有唯一公共点,过程如下.

因此,

所以,曲线y=f（x）与曲线只有唯一公共点（0,1）.（证毕）。

。

。

。

。

8分

（3）设

令.

且

.

所以。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

14分