浅谈小学数学教学中数的概念形成Word格式.docx
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（二）在建立数概念中要注意的问题
1、在整数的认识中要注意的问题
建立正确的数的概念是认数教学的任务，也是学生学习数学的起点。
理解数的意义一般有两个角度，一是从数的组成去理解，通过组成理解数的大小和多少，加强对数的感知。
二是联系生活实际来体会，通过在具体的现实情境中，理解数在生活实际中的意义，使抽象的数和具体的量有机的结合，进一步理解数的意义。
在实际教学中我们要把这两种方式有机地结合起来，这样更有利于学生体会数的意义，建立数的概念。
在整数数概念的建立过程中要注意以下几点：
（1）.依托多种形式建立整数数概念
①在具体情境中理解数的意义
学生对数并不陌生，在入学之前，学生已对具体的数有了比较丰富的感知，他们会读、会写，会说一些具体的数。
我们在教学中就要关注从现实情景抽象出数的过程，例如从具体的2匹马，2棵树，2头牛，2个人，抽象为2这个数。
这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。
反过来，2可以表示任何具有2这样数量特征的事物，例如2只铅笔，2个人、2只小动物……，随着教学的深入，还要引导学生认识到数的丰富含义，比如计数的数、数量的数、度量的数和计算的数。
②用操作帮助学生具体感知
自然数的认识的教学重点在于使学生从数量抽象到数，抽象离不开直观的支撑和操作，例如：
计数器、小棒、图形等等，让学生亲自的数一数，摆一摆，圈一圈、画一画，学生数的过程也是一一对应的过程，同时感受具体的数量。
③多种模型的表征
在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念，比如说：
计数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。
例如，一位老师在教学《万以内的数的认识》时，就运用方块模型帮助学生建立一万的概念，理解数的意义。
通过方格模型的演示，让学生体会10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万……，通过几何图形的点、线、面、体，使学生在头脑中建立“一、十、百、千”的映像，同时建立十个千就是一个万，在学生的头脑中建立一个清晰的模型“满十进一”，对于学生理解基数单位和位值制是有很大好处的。
（2）.把握核心概念，重视数位和位置值的理解
为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。
数位的含意是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。
认识个、十、百、千、万等不同的数位，理解不同数位上的数字表示不同大小的数，是理解整数概念所必须的。
学生必须清楚地了解，同样一个数字“3”，在个位上表示3个一；
在十位上表示30，即3个十；
在百位上表示300，即3个百。
第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而整理十进制计数法。
我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。
我国计数单位是四位一级，在国际上普遍使用的是三位一级，在学习时可以让学生了解。
在历史上，曾经出现过以2、3、4为原始的数基，比较多的是以5、20、60为数基，即五进制、二十进制、六十进制。
当然，最多的是以10为数基，即现在世界各国通用的十进制，即重要的“满十进一”的方法。
在古代文明中，世界各国大多数都是采用十进制，例如中国、古罗马。
但十进位记数法，离十进位值制还有关键的一步“位置值制要走。
所谓“位值制”，是指相同的计数符号由于所处的位置不同可以表示大小不同的数目。
有了位值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数，这是记数历史上的一个创造，一个奇迹。
因此马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位值制记数法为“最妙的发明之一”。
①重视10的概念的建立
一个十和几个一是十几，这就是位值制的基础，这样10个数字就可以表示出生活中无限多的物。
教学中建立好概念非常重要。
在教学10的认识时要让学生亲自感受到由9再加1变成10的过程，可以通过数、摆、捆、拨、说等活动，让学生感受10个一是1个十。
在11-20各数的认识中仍然要关注10的概念的建立，让学生体会满十进一的过程。
②重视数计数单位：
为帮助学生了解十进制计数法和位值制。
要重视数计数单位逐步建立新的计数单位，10个一是1个十，10个十是一百，10个百是一千，10个千是一万，10个万是十万，10个十万是一百万，10个百万是一千万，从而引出新的计数单位十万，在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率是十。
③重视数位顺序表的使用
随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位顺序表，从认识20以内的数起就让学生了解个位和十位，认识百以内数时补充认识百位，在认识万以内数的时候第一次出现了数位顺序表，在认识整数的最后一个单元里学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。
数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，再扩展到亿级。
数位顺序表有助于学生了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读、写数的方法。
（3）.关注对大数的感受
在第一、二学段都提出感受大数意义和对大数进行估计的要求。
第一学段是要求在生活情境中感受大数的意义，第二学段情境的范围有所扩大，要求在现实情境中感受大数的意义。
其本质是相同，都是希望通过具体的情境对大数加以感受，增加学生的数感。
感受大数与情境的具体内容有关，1200张纸大约有多厚？
你的1200步大约有多长？
1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？
这些具体的情境学生可以通过实际操作和观察感受。
有时还要加入想象的成份，1200名学生需要多大场地，许多学校可能没有这么多人，学生就需要了解自己的学校有多少人，占多大地方，再想象1200人会占多大地方。
这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就强调，直到认识较大的数。
学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。
2、在建立分数概念中要注意的问题
教师在数的认识的教学中普遍认为分数的认识是数认识教学中的一个难点。
分数起源于分，当平均分出现不是整数结果的时候，逐渐有了分数的概念。
后来，在土地测量、产品分配等过程中,常常得到不是整数的结果，便产生了分数。
分数的产生经历了一个漫长的过程，分数的真正来源在于自然数除法的推广。
（1）.加强对分数丰富意义的理解
教师要了解分数意义的多重多元性，才能引导学生深刻理解分数的意义。
对分数意义的理解应关注以下两个主线和四个层面：
两个主线
即“比的线索”和“数的线索”。
“比”指的是一部分与另一部分之间的关系；
“数”指的是以有理数形式出现的分数，此时的分数表现的是一个结果。
分数意义理解的四个层面
“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。
其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义中。
例如一个圆平均分成4份，每一份是整体的
。
又例如，长方形中的一部分是整个长方形的
，整体图形的面积应该是多少？
显然，整体图形的面积应该是这样的三份。
这里的
和
所反映的就是取的份数与整体份数之间的关系。
而部分与部分之间的关系更多地表现为是一种“记号”。
例如小红有5个苹果，小丽有3个苹果，小红的苹果是小丽的
倍。
对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。
“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。
例如篮子里面有3个苹果，就是用分数
作为单位度量3次的结果。
著名数学家华罗庚曾经说过：
“数起源于数，量起源于量。
”对度量维度的研究，可以大大丰富学生对分数的认识。
度量维度的体验也可以直接作用于分数加（减）法的学习中。
“运作”主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。
例如，求6张纸的
是多少张纸，我们可以将6张纸这个整体平均分成3份，取其中的2份，列出算式就是6÷
3×
2，也就是6×
。
“商”这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。
以上这四个维度没有先后之分，主次之别，它们对学生多角度认识分数都发挥着重要的作用。
它们相辅相成，共同承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。
（2）．利用多种模型帮助学生理解分数的意义
在小学阶段教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。
例如把一个月饼平均分为两份，其中的一份是
个，把一张纸平均分为为四份其中的一份是
，这仅
仅是从“面积模型”的角度来理解分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。
①分数的面积模型：
用面积的“部分—整体”表示分数
儿童最早是通过“部分—整体”来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”取其中的一份或几份（涂上“阴影”）认识分数的，这些直观模型即为分数的“面积模型”。
②分数的集合模型：
用集合的“子集—全集”来表示分数
这是“部分—整体”的另外一种形式，与分数的面积模型联系密切，但学生在理解上难度更大，关键是“单位1”不再真正是“1个整体”了，而是把几个物体看作“1个整体”，作为一个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，把4个桃子看作“单位1”平均分成2份，每份2个占整体的
分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体1”。
③分数的“数线模型”：
数线上的点表示分数
（3）.把握好每一阶段完成的任务
在小学阶段，对于分数意义的学习，教材一般“显性”地分为两个阶段：
第一学段分数的初步认识和第二阶段分数的意义。
但实际上，基于对于分数意义内涵丰富性的理解，我们逐步认识到，对于分数意义的学习，决不是一两次教学所能全部承载和实现的，需要通过系列设计，逐步渗透、多维度建立，将教材中的“显性”和“隐性”结合起来。
我们应该如何把握每一阶段的教学呢？
第一阶段：
认识平均分。
第二阶段：
在分数的初步认识教学中，帮助学生初步建立部分与整体关系的认识，感受分数。
第三阶段：
在分数意义和分数基本性质的教学中，重点使学生发展对于分数理解的比率、度量的维度。
第四阶段：
在分数与除法关系的教学中，重点使学生发展对于分数理解的运作、商的。
第五阶段：
在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义理解的多个维度。
必须指出的是，这五个阶段不是相对孤立的，更不是线性排列的，不能僵化地理解为到了某一阶段就必须或者只能达成对某维度的学习，其他维度将不再涉及。
这四个阶段在完成对分数意义丰富认识方面各有侧重，相互渗透，相互补充，共同帮助学生实现对分数意义理解的不断发展和整体建构。
总之分数的认识是一个循序渐进的过程，需要系统的进行教学设计，才能使学生真正理解熟练运用。
3、在建立小数数概念中要注意的问题
在分数初步认识学习的基础上，教材安排了小数的初步认识。
小数的出现标志着十进制记数法从整数（自然数）扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。
由此可见小数和整数、分数有着密切的联系。
（1）.利用知识迁移建立小数概念
分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接显著的影响，后者的学习对前者也有促进作用，例如8分米是十分之八米是学生已有的知识，只要通过提问，引起学生的回忆和思考，还可以写成0.8米，也就是同一对象的两种不同形式，使小数和分数建立起直接的联系，使学生进一步体会到：
十分之几和一位小数，百分之几和两位小数之间的关系。
再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用数轴表示数，这是认识整数、分数时常用的模型，可以将其拓展到小数。
例如：
把一个正方形平均分成10份100份，其中的若干份既可以用分数表示，也可以用小数表示，这样能够帮助学生理解的小数意义，建立小数的模型，培养学生的数感。
（2）.沟通整数、小数、分数之间的关系
①沟通整数和小数的关系。
整数与小数的计数方法是一致的，相邻两个计数单位间的进率都是10，小数的计数方法是整数计数方法的扩展，教学中要设计相应的教学环节将整数的计数方法迁移到小数，为学生在计数的经验和方法上建立联系，不仅如此，还要利用这些活动帮助学生整理认数系统，把原来认识的整数数位表扩充到小数。
②沟通分数和小数的关系：
小数和分数上的沟通，主要是意义上的沟通，使学生理解小数是十进分数。
③沟通分数、整数、小数之间的关系。
关于小数和整数、分数有着密切的联系，在整数学习的基础上，学习了小数，小数的表征形式与整数相似，数位顺序表得到补充，都是十进制。
如果以个位为基础，向左扩展就是十位、百位、千位；
如果向右扩展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。
换句话说：
以个位为对称轴，两边的数位呈现了对称的关系，只是小数部分在位前增加了“分”；
这样“每相邻的两个计数单位之间的进率都是10”得到了全面的概括；
小数是十进分数。
从这个意义上说，对小数的理解比对分数的理解更容易一些。
整数可以数，一个一个地，一十一十地数，一百一百地数，小数可以数：
0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7……分数可以数：
、
、
……
以此类推。
这列数是按照一个单位进行数数的，无论是整数、小数、分数它们都是计数单位的累加。
（3）.把握好小数认识的两个阶段的教学
我们知道关于小数的初步认识可以从学生熟悉的计量单位：
元、角、分和米制系统（米、分米、厘米）来帮助学生学习。
并不涉及到小数的计数单位和数位；
到了第二学段学习小数的意义时，才抽象出小数的计数单位和数位，以及完善数位顺序表……两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。
要根据学生的实际选择合适的学习方法，帮助学生理解小数的意义。
（三）建立数概念教学的具体建议
1、在数认识中体现数感。
数感的建立非常重要，教师要设计多种活动培养学生的数感。
数感与具有数学知识的多少，理解数学知识的程度有关，便更多的表现为应用数与运算的态度和意识。
数感：
数感主要是指关于数与数量表示·
数量大小的比较·
数量和运算结果的估计等方面的直观感觉。
2、整体把握内容之间的联系：
两个学段相关内容的整体把握和递进与衔接。
3、鼓励学生进行数学交流，关注数的应用。
关于数的认识包括从数的意义、数的表示、数和数之间的关系、数的应用；
其中数的应用不仅仅是一条主线，而且渗透在整个学习中。
教学中要提供机会鼓励学生运用数来表示日常生活中的一些事物，并进行交流。
二：
认清数的类型
整数：
自然数都是整数，整数不都是自然数。
自然数：
用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……叫做自然数。
正整数：
{1、2、3、4、5、6、7、8……}叫做正整数
负整数：
{-1、-2、-3、-4、-5、-6、-7……}叫做负整数
0的意义：
0既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限。
如温度等。
0是一个完全有确定意义的数。
0是一个数。
0是一个偶数。
0是任何自然数（0除外）的倍数。
0有占位的作用。
0不能作除数。
0是中性数。
小数：
由整数部分、小数部分和小数点组成。
带小数（混小数）：
小数的整数部分不为零的小u数叫混小数，也叫带小数。
纯小数：
小数的整数部分为零的小数，叫做纯小数。
有限小数：
小数的小数部分只有有限个数字的小数（不全为零）叫做有限小数。
无限小数：
小数的小数部分有无数个数字（不包含全为零）的小数，叫做无限小数。
循环小数都是无限小数，无限小数不一定都是循环小数。
例如，圆周率π也是无限小数。
循环小数：
小数部分一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
例如：
0.333……，1.2470470470……都是循环小数。
纯循环小数：
循环节从十分位就开始的循环小数，叫做纯循环小数。
，。
混循环小数
与纯循环小数有唯一的区别：
不是从十分位开始循环的循环小数，叫混循环小数。
分数:
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
真分数：
分子比分母小的分数叫真分数。
假分数：
分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。
（分母、分子为零在此不讨论）
带分数：
一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。
带分数也是假分数的另一种表示形式，相互之间可以互化。
百分数:
是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。
百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“％”（叫做百分号）来表示.例如：
25%。
约数和倍数：
当甲数能被乙数整除时，就说甲数是乙数的倍数，乙数是甲数的约数。
这两个概念都是相对而存在。
一个自然数，不存在是否倍数与约数。
“3是约数”，就是一个错误说法。
只能是对3、6、9、……等数而言，是其中某个数的约数。
公倍数：
几个数公有的倍数，叫做公倍数。
它的个数是无限的，只有最小的，没有最大的。
最大公约数：
几个数公有的约数中，最大的一个就叫做这几个数的最大公约数。
最小公倍数：
几个数公有的无限个倍数中，最小的一个，就叫做这几个数的最小公倍数。
奇数与偶数：
凡是能被2整除的数叫偶数，反之，不能被2整除的数叫奇数。
质数（素数）与合数：
一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。
反之，一个数的约数除了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。
1是否质数
由于1的约数只有1个，所以1既不是质数，也不是合数。
公约数：
几个数公有的约数，叫做公约数。
它的个数是有限的，既有最大的，也有最小的。
互质数：
两个数的公约数只有1，而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。
质数与互质数：
这两个概念没有什么联系。
两个质数，不能肯定就是互质数。
只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。
另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。
质因数：
把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这样的质数叫做质因数。
分解质因数：
把一个合数分解成几个质数相同的形式，就叫做分解质因数。
三：
明确数的结构
（一）整数的构成
根据这个图表我们可以很清楚的知道：
整数可以根据整数位数的多少来认识它，而我们来探讨整数的结构时，就可以把整数分一位数、两位数、三位数、四位数等更多位数来分析，对照上表我们可以一一解释整数的数位和它的计数单位。
3它表示一位数，它就只是一个个位数；
25它是一个两位数，那么对于这个数而言后面的5是存在于个位数上，而前面的2是在十位数上；
125它是一个三位数，对于他而言最后面的5同样是存在于个位数上的，2是存在于十位数上的，而最前面的1是存在于百位的，依此类推我们就可以更深层次的认识更大的数和它的结构了。
（二）小数的构成
由上表我们同样可知：
小数是由整数部分、小数点、小数部分构成。
我们在认知小数的结构时就是根据小数点前后数的位数多少来分析的，例如0.2这个数的0是处在个位上的，2是处在十分位上的；
再例如0.15，这个数的0同样是处在个位上的，1是处在十分位上的，而5却是处在百分为上的；
再如10.1这个数在小数点前面有两位，那么最前面的1就是处在十位上的，0是处在个位上的，小数点后面的1是处在十分位上的，等等。
（三）分数的构成
分数：
是由分子、横线、分母构成的，我简单以1/2为例做了以下的解释：
对于分数而言，分数的分子和分母都必须是整数（其中分母不能为0）。
其中分数又分假分数和真分数，假分数又可以转化为带分数，而带分数的构成又由整数部分和分数部分组成，例如
其中前面的1就是整数部分，而后面的
是分数部分。
四：
发现数之间的转换关系
数学的转换关系就是数的运算，在小学的所有数学学习中我们会学到数与数之间的加减法、乘除法，在学加法之前我们要先了解十进制的概念和意义。
十进制：
十进制计数法是世界各国常用的一种记数方法。
特点是相邻两个单位之间的进率都是十。
10个较低的单位等于1个相邻的较高单位。
常说“满十进一”，这种以“十”为基数的进位制，叫做十进制。
（一）加减乘除法的基本概念和定义
加法：
把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，其中两个数都叫“加数”，结果叫“和”。
减法：
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
减法是加法的逆运算。
其中“和”叫“被减数”，已知的加数叫“减数”，求出的另一个加数叫“差”。
乘法：
求n个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。
其中相同的这个数及n个这样的数都叫“因数”，结果叫“积”。
除法：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
除法是乘法的逆运算。
其中“积”叫做“被除数”，已知的一个因数叫做“除数”，求出来的另一个因数叫做“商”
加、减法的运算定律
加法交换律：
两个数相加，交换两个加数的位置，和不变，叫做加法交换律。
加法结合律：
三个数相加，先把前二个数相加，再加第三个数，或者，先把后二个数相加，再加上第一个数，其和不变。
这叫做加法结合律。
在减法中，被减数、减数同时加上或者减去一个数，差不变。
在减法中，被减数增加多少或者减少多少，减数不变，差随着增加或者减少多少。
反之，减数增加多少或者减少多少，被减数不变，差随着减少或者增加多少。
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