解析分类汇编系列四北京高三期末文数5数列.docx
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解析分类汇编系列四北京高三期末文数5数列
【解析分类汇编系列四：
北京2013高三（期末）文数】：
专题5：
数列
一、选择题
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在数列中，则的值为（ ）
A．7B．8C．9D．16
B
因为点生意，即数列是公比为2的等比数列，所以，选B.
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（ ）
A．B．C．D．
C
因为，，所以，解得，所使用，解得，选C.
二、填空题
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在等比数列中，，则公比；．
在等比数列中，所以，即。
所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知是等差数列的前项和，其中则
6；9
由得。
所以。
。
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知数列是等比数列，数列是等差数列，则的值为.
因为是等比数列，所以，所以。
是等差数列。
所以。
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
①，②若，；③
则；.
根据定义得。
，，，所以根据归纳推理可知。
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于，．
由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。
由题意知，，所以第行的公比为，所以
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）数列是公差不为0的等差数列，且，则
在等差数列中，由得，即，所以。
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）任給实数定义设函数，则=___；若是公比大于的等比数列，且，则
；
因为，所以。
因为，所以，所以。
若，则有，所以。
此时，即，所以，所以。
而。
在等比数列中因为，所以，即，所以，所以，若，则，即，解得。
若，则，即，因为，所以，所以方程无解。
综上可知。
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在等差数列中，若，前5项的和，则 ．
在等差数列中，，解得，所以。
．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前年的总利润（单位：
万元）与之间的关系为.当每辆客车运营的年平均利润最大时，的值为.
由题意知年平均利润，因为，当且仅当，即时取等号。
所以，所以。
三、解答题
．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习
（二）数学（文）试题）已知函数,当时,的值中所有整数值的个数记为.
（Ⅰ）求的值,并求的表达式;
（Ⅱ）设,求数列的前项和;
（Ⅲ）设,,若对任意的,都有
成立,求的最小值.
（共14分）
解:
（Ⅰ）当时,在上递增,
所以,,
因为在上单调递增,
所以,,
从而
（Ⅱ）因为,
所以
.---------------------
当是偶数时,
;
当是奇数时,
（Ⅲ）,
错位相减得,
所以,
因为,
若对任意的,都有成立,则,
所以,的最小值为
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）定义：
如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．
（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的
“保三角形函数”，求的取值范围；
（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?
（解题中可用以下数据:
）
（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列．
因为，显然有，
由得
解得.
所以当时，
是数列的保三角形函数.…………………3分
（Ⅱ）由，得，
两式相减得，所以……5分
经检验，此通项公式满足.
显然,
因为,
所以是三角形数列.…………………8分
（Ⅲ）,
所以是单调递减函数.
由题意知，①且②,
由①得，解得,
由②得，解得.
即数列最多有26项.…13分
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，
（Ⅰ）设数列，
①求；②求的值；
（Ⅱ）若中最大的项为50，比较的大小.
（I）①因为数列，
所以，
所以.………8分
②……….10分
（II）一方面，，
根据的含义知，
故，即，
当且仅当时取等号.
因为中最大的项为50，所以当时必有，
所以
即当时，有；当时，有.14分
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合，记其“特征值”为，求证：
证明：
（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.
得到数表的不同特征值是或……………………………………………3分
7
1
4
5
8
2
3
6
9
（Ⅱ）当时，数表为
此时，数表的“特征值”为……………………………………………………4分
13
1
5
9
10
14
2
6
7
11
15
3
4
8
12
16
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为.………………………………………………………5分
21
1
6
11
16
17
22
2
7
12
13
18
23
3
8
9
14
19
24
4
5
10
15
20
25
当时，数表为
此时，数表的“特征值”为.………………………6分
猜想“特征值”为.…………………………………………………………………7分
（Ⅲ）设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为
所以，从而…………………………………………13分
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知为等比数列，其前项和为，且.
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
（Ⅰ）当时，.……………………………………1分
当时，.……………………………………………3分
因为是等比数列，
所以，即..…………………………………5分
所以数列的通项公式为.…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设数列的前项和为.
则.①
.②
①-②得……………………9分
……………………………………11分
.…………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………13分
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知实数组成的数组满足条件：
①；②.
（Ⅰ）当时，求，的值；
（Ⅱ）当时，求证：
；
（Ⅲ）设,且，
求证：
.
（Ⅰ）
由
（1）得，再由
（2）知，且.
当时，.得，所以……………………………2分
当时，同理得………………………………………………4分
（Ⅱ）证明：
当时，
由已知,.
所以
.………………………………………………9分
（Ⅲ）证明：
因为，且.
所以,
即.……………………………11分
）
.……………………………………………………………14分
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）（本题共14分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形.
（Ⅰ）求、的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由.
（Ⅰ）∵∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，
∴直线B0A1的方程为y=x．
由得，，得A1（2，2），．….…….…….…......3分
（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可得，，即．（*）…….………………………..5分
∵和均在曲线上，
∴，
∴，代入（*）式得，
∴（）．……………………………………………..…..….…..7分
∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，
故其通项公式为（）．…………....…………………………...……..8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，….……………………………………………9分
∴，……………………..……………………………….…10分
∴，，
∴
==，…………….……..11分
．…………………….……12分
欲使，只需<，
只需，………………………………………………….…………13分
，
∴不存在正整数N，使n≥N时，成立．…………………….14分
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中．记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；
（Ⅲ）证明：
当时，．
（Ⅰ），………………………………2分
；………………………………4分
（Ⅱ）解：
，．………………………………6分
因为 ，
所以 ．………………………………8分
（Ⅲ）证：
由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明．…………9分
事实上，当时，
．
下面证明．
法一：
对任何，
………………10分
……………………………………11分
…………………………12分
所以 ．…………………………13分
法二：
对任何，
当时，
；………………………………………10分
当时，
综上，．………………………………………13分
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．
对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．
（Ⅰ）对如下数表，求的值；
（Ⅱ）证明：
存在，使得，其中；
（Ⅲ）给定为奇数，对于所有的，证明：
．
（Ⅰ），；，，
所以．………………3分
（Ⅱ）证明：
（ⅰ）对数表：
，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
依此类推，将数表中的由变为，得到数表．
即数表满足：
，其余．
所以，．
所以，其中．……………7分
【注：
数表不唯一】
（Ⅲ）证明：
用反证法．
假设存在，其中为奇数，使得．
因为，，
所以，，，，，，，这个数中有个，个．
令．
一方面，由于这个数中有个，个，从而．①
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