正项级数敛散性的判别方法共23页文档.docx

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引言

其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?

尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。

初等数学中，我们研究有限个实数相加，其结果是一个实数，如果延伸至无限个实数相加（无穷级数），其和是否存在？

由于在实际应用中，往往是在给定的误差范围内，用部分和代替级数的和，因此判断级数的敛散性是要着力解决的问题.但用级数收敛、发散的定义来判别级数敛散性是十分困难的，因此有必要寻找判别级数敛散性的简单有效的方法.本文讨论正项级数的敛散性问题，并在教材的基础上加以进一步的研究.

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

判断正项级数的敛散性的主要方法有：

定义法、比较判别法、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法以及积分判别法六种方法.本文给出了这六种方法的证明.定义法是正项级数敛散性的基本判别法则；比较判别法常用几何级数、调和级数、P—级数作为与其它级数相比较的标准；比式判别法与根式判别法都是基于把正项级数与等比级数比较而得到的；拉贝判别法补充了比式与根式判别法的不足，但仍有其局限性；积分判别法有两种证明方法，一种放入无穷级数里处理，另一种放入定积分中处理，同时给出这种判别法的一个推广.另外，我们采用四种不同的方法讨论了P—级数的敛散性：

一是利用P—级数的部分和是否有界来判别的，此法较为简单、直观；二是利用比较判别法来判别的，需要参照物作为比较，从而根据参照物的敛散性来判定P—级数的敛散性；三是利用积分判别法来判别的，需要微积分作为工具；四是利用积分判别法的推广来判别的，该推广比积分判别法有着更广泛的应用.

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：

“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：

“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

正项级数敛散性的判别法

设，则称级数为正项级数.正项级数的特点是部分和数列单调递增，而单调递增数列收敛的充分必要条件是该数列有上界，这一点正是正项级数收敛判别法的基础.其常用的性质是：

（1）若级数收敛于，常数，则级数收敛于.

（2）如果级数发散，常数，则级数发散.

（3）添加或去掉有限项不改变级数的敛散性.

（4）级数收敛的必要条件：

.

下面着重讨论正项级数敛散性的判别法.

一定义法

定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.

证明如果正项级数的部分和数列有界，即存在正数，使，又单调增加，由单调有界数列必有极限的准则知，必有极限：

，从而级数收敛且其和为.

反之，如果正项级数收敛于和，即有，由收敛数列必有界的性质知，级数的部分和数列有界.

例1.1级数

的部分和为

就三种情况分别加以讨论.

命题1当时，有界.

证明由实数的性质，当时，一定存在两个正整数、，且使得：

，于是对于正整数，有

因此，对任何正整数，有

即有界.

命题2当时，无界.

证明由实数的性质，当时，一定存在两个正整数、，且，使得，于是对于正整数，有

因此，对于任何正整数，有

这样，当时，，即无界.

命题3当时，无界.（此时级数为调和级数）.

证明对于任意正整数、，有

由于上式对任意大的正整数都成立，所以

于是，对任何正整数，有

这样，当时，，即无界.

有了以上三个结论，再由正项级数收敛与发散的充要条件，立即得到：

当时，级数发散；当时，级数收敛.

二比较判别法

定理2设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有：

，那么

（1）若级数收敛，则级数也收敛；

（2）若级数发散，则级数也发散.

证明

（1）由于级数前加上或去掉有限项不改变其敛散性，因此不妨设对一切自然数都有成立。

令，，则有.

若收敛，其和为，则。

即有界，由定理1，收敛。

（1）成立；

（2）为

（1）的逆否命题，自然成立.

推论2.1设和是两个正项级数，

（1）若存在一个与无关的正常数，使当（固定），有，则从级数收敛可以断定收敛.

（2）若当（固定）时，都有，，是一个与无关的常数，则从级数发散，可以断定级数发散.

（3）若，使当时，有，则

（ⅰ）由收敛收敛；

（ⅱ）由发散发散.

证明

（1）由收敛，可知（为正常数）也收敛.

当（固定）时，有，由比较判别法知也收敛.

（2）由级数发散，可知（为正常数）也发散，

当（固定）时，，由比较判别法知也发散.

（3）当时，，从而对，有

故（）.

由于是常数，故当收敛时收敛，当发散时也发散.

推论2.2（比较判别法的极限形式）设和是两个正项级数，若，则

（1）当时，级数和同时收敛或发散；

（2）当且级数收敛时，级数也收敛；

（3）当且级数发散时，级数也发散.

证明

（1）当时，由，对，存在某正数，当时，恒有或，

由推论2.1中

（1）

（2）可知，当时，级数和同时收敛或发散。

（1）得证.

（2）当时，由可知，当时,有，即.于是若级数收敛，则级数也收敛.

（3）若，由可知对给定的正数，存在相应的正整数，当时，有或，于是由比较判别法知，若级数发散，则级数也发散.

例2.1讨论级数

的敛散性.

解设，这时级数的各项不小于调和级数的对应项：

，但调和级数发散，因此，根据定理2知，当时，级数发散.

设，因为当时，有，所以

考虑级数，其部分和

因,

故级数收敛，从而，由定理2知级数:

当时收敛.

综合上述结果，我们得到：

级数:

当时收敛；当时发散.

例2.2判断的敛散性.

解设,则

.

由推论2.2知级数与具有相同的敛散性，因为收敛，所以收敛.

三比式判别法

定理3设为正项级数，且存在某自然数及常数，

（1）若对一切，不等式成立，则级数收敛；

（2）若对一切，不等式成立，则级数发散.

证明

（1）由已知，当时，，而，由于当时，几何级数收敛，根据定理2可推得级数收敛.

（2）由已知，当时，。

于是当时，的极限不可能为零，所以级数发散.

推论3.1（比式判别法的极限形式）若为正项级数，且，则

（1）当时，级数收敛；

（2）当或时，级数发散；

（3）当时，级数可能收敛也可能发散.

证明由，对适当小的，，当时，有.

（1）当时，取使，于是由及定理3的

（1），推得级数收敛.

（2）若，则取使，由及定理3的

（2）推得级数发散。

若，则，当时，有，此时级数也是发散的.

（3）例如级数和，它们的比式极限都是，但是收敛的，而却是发散的.

例3.1讨论的敛散性.

解设，则

由比式判别法知级数收敛.

四根式判别法

定理4设为正项级数，且存在某正数及正常数，

（1）若对一切，不等式成立，则级数收敛；

（2）若对一切，不等式成立，则级数发散.

证明

（1）由已知，当时，有，因为几何级数，当时收敛，故由比较判别法，这时级数也收敛.

（2）由已知可推得，当时，显然的极限不可能为零。

因而由级数收敛的必要条件知，级数是发散的.

推论4.1（根式判别法的极限形式）设为正项级数，且，则

（1）当时，级数收敛；

（2）当时，级数发散；

（3）当时，级数可能收敛也可能发散.

证明

（1）由，对适当小的，存在某正数，对一切，有，即，而等比级数收敛（公比），所以收敛.

（2）当时，取适当小的，则存在，当时，，即，不趋于零，级数发散.

（3）当时，根式判别法无法对级数的敛散性作出判断，对此，也可考察级数和，它们都有，但是收敛的，而却是发散的.

例4.1判别的敛散性.

解设，则

根据推论4.1知原级数收敛.

五拉贝判别法

定理5设为正项级数，且存在某正数及正常数，

（1）若对一切，不等式成立，则级数收敛；

（2）若对一切，不等式成立，则级数发散.

证明

（1）若对一切，有或，现在我们取任意一数，使.因为，令，则和是等价的.即，于是对于充分大的有

或，

所以，这个不等式也可写成，

右边我们有收敛级数的两个相邻项之比，应用比较判别法，级数收敛.

（2）若对一切，成立，则由此立即可得,右边我们有发散级数的两个相邻项之比，应用比较判别法，级数发散.

推论5.1（拉贝判别法的极限形式）设为正项级数，且存在，则

（1）当时，级数收敛；

（2）当时，级数发散；

（3）当时，级数可能收敛也可能发散.

例5.1讨论级数，当时的敛散性.

解设，无论哪一个值，的比式极限都有，所以用比式判别法无法判别的敛散性，现在应用拉贝判别法来讨论.

当时，由于，

所以级数发散.

当时，由于，

这时拉贝判别法也无法对级数作出判断.

当时，由于，

所以级数收敛.

六积分判别法

定理6若递减函数在上非负，则级数与数列在时，同时收敛或同时发散.

积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以非正常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.下面我们给出这个判别法的两种证明，同时给出其推广.为此，我们需要以下几个引理：

引理6.1设函数在区间上连续，且，若函数在上有上界，则积分收敛.

引理6.2已知数列、，，且数列收敛，若数列与其中有一个收敛，则另一个必收敛.若数列与其中有一个发散，则另一个必发散.

证明（反证法）假设数列收敛，数列发散，则数列发散，这与已知数列收敛相矛盾.所以若数列与其中有一个收敛，则另一个必收敛.同理，若数列与其中有一个发散，则另一个必发散.

引理6.3若在递减，则

.

证明由积分中值定理，我们可以得到一个经常用来证明不等式的估计不等式.即

若，，则有

，因此，若在递减，则

.

定理6的证明

方法1利用无穷级数证明定理6.

证明由假设为上非负递减函数，对任何正数，在上可积，从而由引理6.3，

，

依次相加可得，

.

若非正常积分收敛，则由上式左端可知，对任何自然数，正项级数的前项部分和为

.

根据定理1，级数收敛.

反之，若级数为收敛级数，设其和为，则对任一自然数，有

，

因为为非负递减函数，所以单调递增且有上界，由引理6.1，收敛.因此，与同时收敛或同时发散.

方法2利用定积分证明定理6.

证明作数列，

若能证明收敛（），则由引理6.2知，积分判别法成立.为此，

（1）首先证明（递减）.

由递减和引理6.3知

故成立.

（2）次证（有下界）.

由于，知，从而，又，于是，

（据递减与引理6.3），故成立.

综合

（1）与

（2）可知单调递减有下界，所以收敛.

例6.1讨论级数的敛散性.

解函数，当时