届广东省深圳市高三第二次调研考试数学理试题.docx
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届广东省深圳市高三第二次调研考试数学理试题
绝密★启用前试卷类型：
A
2015届广东省深圳市高三第二次调研考试数学（理）试题2015．4
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：
如果柱体的底面积为，高为，则柱体的体积为；
如果随机变量服从正态分布，则，
其中，，为均值，为标准差．
一、选择题：
本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．设为虚数单位，则复数等于
A．B．C．D．
2．平面向量，，若，则等于
A．B．C．D．
3．下列四个函数中，在闭区间上单调递增的函数是
A．B．C．D．
4．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，
则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）
A．B．
C．D．
5．若实数，满足约束条件,
则的取值范围是
A．B．
C．D．
6．如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入
，，，的值依次是，，，，
则输出的值为
A．B．
C．D．
7．从，，，，，这六个数字中任取五个，
组成五位数，则不同的五位数共有
A．个B．个C．个D．个
8．设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．
给定点集，，，
其中“关于运算*对称”的点集个数为
A．B．C．D．
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：
第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．不等式的解集为．
10．已知随机变量服从正态分布，若，
则．
11．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若其渐近线与抛物线的准线围成的三角形面积为，则此双曲线的离心率等于．
12．设等差数列的前项和为，已知，，则．
13．已知△的内角、、所对的边为、、，则“”是“”
的条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）．
（二）选做题：
第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线：
（为参数）与曲线：
（为参数）相交于、两点，则_________．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，、是⊙的两条切线，切点分别为、．若，，则⊙的半径为．
三、解答题：
本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设函数（其中，）．已知．
（1）求函数的解析式；
（2）若角满足，且，求角的值．
17．（本小题满分12分）
深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：
申请意向
年龄
摇号
竞价（人数）
合计
电动小汽车（人数）
非电动小汽车（人数）
30岁以下
（含30岁）
50
100
50
200
30至50岁
（含50岁）
50
150
300
500
50岁以上
100
150
50
300
合计
200
400
400
1000
（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；
（2）在
（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；
（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图4，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，△为等边三角形，为△内部一点，点在的延长线上，且．
（1）证明：
；
（2）证明：
平面平面；
（3）若，，求二面角的余弦值．
19．（本小题满分14分）
设数列的前项和为，满足，，且成等比数列．
（1）求，，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：
对一切正整数，有…．
20．（本小题满分14分）
已知平面上的动点与点连线的斜率为，线段的中点与原点连线的斜率为，（），动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在同时满足以下条件的圆：
以曲线的弦为直径；
过点；直径．若存在，指出共有几个；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数，对任意的，满足，
其中为常数．
（1）若的图像在处切线过点，求的值；
（2）已知，求证：
；
（3）当存在三个不同的零点时，求的取值范围．
2015年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：
本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
C
B
D
B
B
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：
第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．10．11．12．13．
（二）选做题：
第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）15．（几何证明选讲选做题）
三、解答题：
本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设函数（其中，，）．已知时，取得最小值．
（1）求函数的解析式；
（2）若角满足，且，求的值．
解：
（1）由最小值且，所以．…………………………………………1分
因为，所以，……………………………………………………2分
由可得，所以，………………………………………3分
所以．……………………………………………………………………………………4分
故的解析式为．…………………………………………………5分
（2）（法1）由
（1），得，
即，， ……………………8分
所以或． ………………………………………………10分
又，所以． …………………………………………………11分
所以． ………………………………………………………………………12分
（法2）由
（1），得，
即． ………………………………………………………8分
所以或，． …………………………10分
即或，．
又，所以． …………………………………………………………11分
所以． ………………………………………………………………………12分
【说明】本题主要考查的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值，考查学生的运算能力．
17．（本小题满分12分）
深圳市于2014年12月29日起实施汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，在全市有购车意向的市民中，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了抽样调查，结果如下表所示：
申请意向
年龄
摇号
竞价（人数）
合计
电动小汽车（人数）
非电动小汽车（人数）
30岁以下
（含30岁）
50
100
50
200
30至50岁
（含50岁）
50
150
300
500
50岁以上
100
150
50
300
合计
200
400
400
1000
（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；
（2）在
（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；
（3）用样本估计总体，在全体有购车意向的市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望．
解：
（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：
、、． ………………………………………2分
所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：
人、人、人． ……………………………………4分
（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为人，
所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为． …………………………………6分
（3），的可能取值为． ………………………………………7分
因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为，……………8分
所以，随机变量服从二项分布，即～． …………………………………………9分
，，
，，
．
即的分布列为：
……………………………………………………………………………11分
的数学期望为：
．…………………………………………12分
【说明】本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识，考查了考生读取图表、数据处理的能力．
18．（本小题满分14分）
如图4，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，△为等边三角形，为△内部一点，点在的延长线上，且．
（1）证明：
；
（2）证明：
平面平面；
（3）若，求二面角的余弦值．
证明：
（1）因为，，两两垂直，
所以，．
又△为等边三角形，，
所以，
故． …………………………………………………………………………3分
（2）因为，，两两垂直，
所以，平面，
而平面，所以． …………………………………………………………5分
取中点，连结，．
由
（1）知，，所以．
由已知，所以．
所以，平面，
而平面，所以． …………………………………………………7分
所以，平面，
又，所以，平面平面． …………………………………………9分
解：
（3）（法一）由
（2）知平面，
所以平面平面，
且平面平面，
过点作平面，且交的延长线于点，连接，
因为，，
由
（1）同理可证，
在△中，，
所以，又因为，
所以平面，
所以为二面角的平面角， ………………………………………………11分
在直角△中，， ……………………………………………………12分
由
（2）知，所以△为等腰直角三角形，
所以，所以，
所以，二面角的余弦值为． …………………………………………………14分
（
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