河南省洛阳市届高三上学期尖子生第一次联考数学文试题Word版含答案.docx
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河南省洛阳市届高三上学期尖子生第一次联考数学文试题Word版含答案
河南省洛阳市2020届高三上学期尖子生第一次联考
数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2.考试结束，将答题卡交回.
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，B={x|y=ln（2-x）}，在A∩B=
A.（1，3）B.（1，3]C.[-1，2）D.（-1，2）
2.设复数（i为虚数单位），则z的虚部为
A.-1B.1C.–iD.i
3.为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：
元）都在[10，50]，期中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n=
A.180B.160
C.150D.200
4.已知，则
A.B.C.D.
5.已知实数x，y满足，则的最大值为
A.3B.C.2D.
6.已知双曲线（t＞0）的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为
A.B.2C.4D.
7.已知函数，则的图像大致为
A.B.C.D.
8.已知菱形ABCD的对角线AC长为2，则
A.1B.C.2D.
9.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为
A.
B.
C.
D.
11.设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为
A.B.C.D.
12.已知函数，则关于x的不等式
的解集为
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知矩形ABCD的边AB=2，AD=1，则__________.
14.直线ax-y+3=0与圆相交于A、B两点且，则a=__________.
15.已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式
__________.
16.已知A，B，C，D四点在半径为的球面上，且AC=BD=4，AD=BC=，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是__________.
三、解答题：
本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC，
.
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
在2018年3月洛阳第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图:
（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人.
①从
（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率.
②根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
数学不特别优秀
合计
参考数据：
①；
②
0.50
0.40
…
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
…
6.635
7.879
10.828
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，
.
（1）求证：
AB1⊥CC1；
（2）若，D1为线段A1C1上的点，且三棱锥C-B1C1D1的体积为，求.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个焦点为N，△F2MN的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P、Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当a=4时，求曲线在（1，f
（1））处的切线方程；
（2）若时，，求a的取值范围.
选考部分：
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程（10分）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程是
（为参数）.
（1）求曲线C1的直角坐标方程及C2的普通方程；
（2）已知点，直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与曲线C1相交于M，N两点，求的值.
23.选修4-5：
不等式选讲（10分）
已知函数.
（1）求函数的最小值k；
（2）在
（1）的结论下，若正实数a，b满足，求证：
.
河南省洛阳市2020届高三上学期尖子生第一次联考
数学（文）试题参考答案
一、选择题
1-5CBABD6-10BBCBA11-12CC
二、填空题
13.414.115.16.
三、解答题
17.
（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：
（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，……1分
所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，……3分
因为sinA≠0，所以.……4分
因为，所以.……6分
（2）因为，
由正弦定理得：
，所以，……8分
因为，且三角形为锐角三角形，……10分
所以，所以.……12分
18.解：
（1）我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，
语文成绩特别优秀的概率为P1=1-0.95=0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，数学成绩特别优秀的概率为P2=0.002×20=0.04，数学成绩特别优秀的同学有100×0.04=4人；
……2分
（2）①语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有3人，……3分
记两科都优秀的3人分别为A1，A2，A3，单科优秀的3人分别为B1，B2，B3，从中随机抽取2人，共有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），共15种，其中这两人两科成绩都优秀的有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）3种，则这两人两科成绩邰优秀的概率为：
……7分
②2×2列联表:
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
3
1
4
数学不特别优秀
2
94
96
合计
5
95
100
……10分
∴
∴有95%的把握认为语文特别优秀的同学，数学页特别优秀.……12分
19.证明：
（1）连AC1，CB1，
∵在三棱锥ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，
∴△ACC1和△B1CC1皆为正三角形.……2分
取CC1的中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，
∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，
∵平面OAB1，∴CC1⊥AB1.……5分
（2）解：
∵，
∴又
（1）知，OA=OB1=3，∴，
∴OA⊥OB1，∴OA⊥平面B1C1C，……8分
，
∴，……10分
∵D1为线段A1C1上的点，且三棱锥C-B1C1D1的体积为，
∴，……11分
∴.……12分
20.解：
（1）因为△F1MN的周长为，所以即，……1分
由直线MF1的斜率1，得，因为，所以b=1，c=1，……2分
所以椭圆的标准方程为.……3分
（2）由题意可得直线MF1方程为y=x+1，联立得
解得，所以，因为，即
所以，所以……7分
当直线l的斜率为0时，不符合题意.……8分
故设直线l的方程为x=my-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，
则，……9分
联立
所以，所以，……10分
消去y1得，，所以，
得，，……11分
又点P在点Q的上方不符合题意，所以，
故直线l的斜率为.……12分
21.解：
（1）的定义域为，当a=4时，
，，……1分
∴
曲线在（1，f
（1））处的切线方程为2x+y-2=0……3分
（2）当时，等价于……4分
设，则，
①当a≤2，时，，
故，在上单调递增，因此；……8分
②当a＞2时，令，得，，
由，和得，
故当时，，在单调递减，
此时，综上a的取值范围是.……12分
22.解：
（1）因为，所以，
所以……2分
因为，所以……4分
（2）将直线l的参数方程代入得，
设M，N两点对应的参数为t1，t2，则……6分
所以
……10分
23.解：
（1）因为
所以函数的最小值为3.……5分
（2）由
（1）知，
因为
所以
所以.……10分
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