全国课标 理科数学.docx

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全国课标理科数学

2014年全国课标1理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一．选择题：

共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合，则

A．B．C．D．

解析：

，，故选A

2．

A．B．C．D．

解析：

，故选D

3．设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是

A．是偶函数B．是奇函数

C．是奇函数D．是奇函数

解析：

是奇函数，是偶函数，则是奇函数，排除A

是奇函数，是偶函数，是偶函数，则是偶函数，排除B

是奇函数，是偶函数，则是奇函数，C正确

是奇函数，是偶函数，是奇函数，则是偶函数，排除D，故选C

4．已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为

A．B．C．D．

解析：

双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b，故距离，选A

5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

A．B．C．D．

解析：

周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，故选D

6．如图，圆的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数，则在的图像大致为

解析：

由已知，又，所以，故选C

7．执行右面的程序框图，若输入的分别为1，2，3，则输出的

A．B．C．D．

解析：

当时，；

当时，；当时，；

此时运算终止，，故选D

8．设且,则

A．B．C．D．

解析:

由得

即,所以,由已知所以,在上单调递增,所以,故选C

9.不等式组的解集记为D,有下面四个命题

其中的真命题是

A．B．C．D．

解析:

令,所以

解得,所以,因而可以判断为真,故选B

10.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则

A．B．C．D．

解析:

由已知又,则,,过Q作QD垂直于l，垂足为D，所以，故选B

11．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是

A．B．C．D．

解析：

当时，有两个零点，不满足条件

当时，，令，

解得，

当时，在，为极小值，为极大值，若存在唯一的零点，且，只需;

当时，在，为极大值，为极小值，不可能有满足条件的极值，故选C

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

..6..4

解析：

几何体为如图所示的一个三棱锥，底面ABC为等

腰三角形，顶点B到AC的距离为4，面，且三角形为以A为直角的等腰直角三角形，所以棱最长，长度为6，故选B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：

本大题共四小题，每小题5分。

13.的展开式中的系数为.（用数字填写答案）

解析：

，故展开式中的系数为

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：

我没去过C城市；

丙说：

我们三人去过同一个城市.

由此可判断乙去过的城市为.

解析：

乙没去过C城市，甲没去过B城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A，C，三人都去过同一个城市，一定是A，所以填A

15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为.

解析：

，如图所示，O为中点，即

为圆O的直径，所以与的夹角为

16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为.

解析：

，因为=2，所以

面积，而

三.解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？

并说明理由.

解析:

（Ⅰ）证明：

当时，，-得

（Ⅱ）存在，证明如下：

假设存在，使得{}为等差数列，

则有，而=1，，

所以，此时{}为首项是1，

公差为4的等差数列

18.（本小题满分12分）

从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间（,）的产品件数，利用（i）的结果，求.

附：

≈.

若～，则=，=.

解析:

（Ⅰ）

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知,==150,所以,

（ii）100件产品中质量指标值为于区间（,）的产品件数服从二项分布,所以

19.（本小题满分12分）

如图三棱柱中，侧面为菱形，.

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）若，，AB=BC，求二面角的余弦值.

解析:

（Ⅰ）证明：

侧面为菱形,令又,

又O为中点,所以三角形为等腰三角形,所以

（Ⅱ），，AB=BC，令,

又由已知可求

如图所示建立空间直角坐标系

设为平面的一个法向量,则

设为平面的一个法向量,则

则,所以二面角的余弦值为

20.（本小题满分12分）

已知点（0，-2），椭圆：

的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.

解析:

（Ⅰ）由已知得

（Ⅱ）当直线垂直于x轴时，不存在

令直线的方程为与联立消去y有：

令

整理得，令点O到直线l的距离为d,则

所以的面积，令

此时直线l的方程为或

21.（本小题满分12分）

设函数，曲线在点（1，）处的切线

为.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：

.

解析：

（Ⅰ）

因为曲线在点（1，）处的切线为，所以

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知，欲证，只需证

，即证，即证

令

当

所以成立，所以

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：

只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）

选修4—1：

几何证明选讲

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE

（Ⅰ）证明：

∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：

△ADE为等边三角形.

解析：

（Ⅰ）证明：

四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

（Ⅱ）证明：

取中点，连接，由MB=MC得

，由AD的中点为M得

△ADE为等边三角形.

23.（本小题满分10分）

选修4—4：

坐标系与参数方程

已知曲线：

，直线：

（为参数）.

（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.

解析：

（Ⅰ）曲线的参数方程为，直线的普通方程为；

（Ⅱ）令点坐标为,点P到直线l的距离为d

所以

24.（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

若，且.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？

并说明理由.

解析：

（Ⅰ）

法二:

令，

所以

（Ⅱ）不存在，使得

因为,所以不存在