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b．同时交换内外项
（比例基本定理）
合比性质：
cd
等比性质：
m
n
0）
（b
等比性质:
1、如果
＝
，那么
＝＿＿＿＿＿。
A．1
B．4
C．5
D．7
3
a＋b
7
4
a＝3
a＋b的值是（
，则
x
x+y
2、若b5
8
5.若3x-4y=0，则y=
，y=.
A、5
B、5
C、2
D、8
1.下列各组数中，成比例的是（
3、已知：
a
a，求
a:
b:
c的值
6.
10
11
15
A.-7,-5，14，5
B.-6
，-8，3，4
4．（2015东营）若y
3，则x
y的值为（
C.3，5，9，12
D.2
，3，6，12
★知识点二：
相似三角形
1、定义：
如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
如△
ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
几种特殊三角形的相似关系：
两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
1、下列四组图形中，一定相似的是
（）
A.
正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.
菱形与菱形
D.正五边形与正五边形
2.给出下列四个命题，其中真命题有（）
（1）等腰三角形都是相似三角形；
（2）直角三角形都是相似三角形；
（3）等腰直角三角形都是相似三角形；
（4）等边三角形都是相似三角形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
★知识点三：
相似三角形的判定
1、定义法：
相等，
2、平行法：
平行于三角形一边的直线和其它两边
成比例的两个三角形相似．
（或两边的延长线）相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：
两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：
三边对应成比例，两三角形相似．
6.直角三角形相似：
（1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
归纳总结：
可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知
识掌握的方法。
1如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC和△AED相似。
在图上标示或
写出你添加的条件，并说说理由。
（想到的越多越厉害哟！
）
AA
DD
BCBC
交流：
要使有公共角（或一对角相等）的两个三角形相似，选用的判定是（）
尽管所填的条件不同，两个三角形的对应关系只有（）种。
如何寻找有利的角？
有利的角包含哪些：
3.数学口诀----证等积式或比例式
证相似，比线段，添线平行成习惯；
等积式子比例换，寻找线段很关键；
直接证明有困难，等量代换少麻烦；
斜边上面作高线，比例中项一大片.
平行法：
1.
如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（
B.
D.
A
D
2.
如图，AB与CD相交于点O，AD∥BC，AD∶BC=1∶3，AB=10，则AO的长是___________.
O
3.
如图，F是平行四边形
ABCD对角线BD上的点，BF:
FD=1:
3，则BE:
EC=（
C
B
4.
如图所示，在?
ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（
A.3对
B.4
对
C.5
D.6
5.
如图，在△
ABC中，∠ACB=90°
，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（
A．6
．5
．4
．3
如图，
（1）
若AE:
AB=________,则△ABC∽△AEF；
（2）
若∠E=_______，则△ABC∽△AEF.
7.
如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC边中点，AP交BD于点Q.则
的值为________．
两角相等：
1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°
，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：
△DBA∽△DAC．
2、如图，CD是直角三角形ABC斜边上的高，已知AB=25cm，BC=15cm，求BD的长。
DB
两边夹角：
1．（2015
随州）如图，在△
ABC
中，点
D、E分别在边
AB、AC
上，下列条件中不能判断△
ABC∽△AED
的是
A．∠AED=∠B
B．∠ADE=∠C
AD
AC
AE
C．
D．
2．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且
，若△AEF的面积为2，则
四边形EBCF的面积为
．
三边比例：
1、给出下列条件，判断
ABC与ABC是否相似，并说明理由。
（1）AB
2,BC
2,AC
10,AB
2,BC1,AC5
（2）AB
1.5,BC
6,AC
5,AB3,BC12,AC
直角三角形斜、直分别成比例：
1．如图，∠ACB=∠ADC=90AC=°
，，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．
综合：
1.若△ABC与△A1B1C1的相似比为2:
3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为
2:
3，那么△ABC与△A2B2C2的相似比为
2.在△ABC中，已知AB=3，BC=5。
在△A/B/C/中，已知A/B/=6，若△ABC∽△A/B/C/，则B/C/=
3．（2015荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（
A．∠ABP=∠C；
B．∠APB=∠ABC；
C．AP
AB；
D．AB
BP
CB
4．已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上。
下列条件中，
不能推断△ADE与△ABC相似的是（
．．
（A）∠ADE=∠B；
（B）∠ADE=∠C；
（C）
DE
；
（D）AD
AE；
BC
★知识点四：
相似三角形的几种基本图形
注意
1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“X”型。
ADDEAE
2、在利用定理证明时要注意A型图的比例，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个
ABBCAC
三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成
的错误。
DB
EC
（1）如图：
称为“平行线型”的相似三角形（有“
A型”与“X型”图）
E
（2）
（有“反A共角型”、
B如图：
其中∠
（3）
1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（1）
“反A共角共边型”、
“蝶型”）
1
（3）如图：
称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”
）”“三垂直型”）
C（D）
（补充图）
补充：
如图（射影定理型公式）①
②
③
（4）如图：
∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明三角形相似及比例式或等积式。
4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
★知识点五：
相似三角形的性质定理：
（1）相似三角形的____________
（2）相似三角形的______________
（3）相似三角形的对应_________的比，对应_____的比和对应___________的比都等于相似比。
（4）相似三角形的周长比等于_______。
（5）相似三角形的面积比等于__________。
（6）相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2
1.两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（）
2若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（）
A．1∶4
B．1∶2
C．2∶1
D．１∶2
两个相似三角形的周长之比为
3：
4，则这两个三角形的面积之比为：
。
4两相似三角形的相似比为
1:
3，面积和为
80，则较大的三角形面积为
5.一个三角形三边长之比为
4：
5：
6，三边中点连线组成的三角形的周长为
30cm，则原三角形最大边长为
A、44厘米
B、40厘米
C、36厘米
D、24厘米
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，BD＝2，则△ADE与四边形DBCE的面积比是（
（A）3︰2；
（B）3︰5；
（C）9︰16；
（D）9︰4．
7.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（
A．1：
2
．1：
3
．1：
4
1
8、ABC中，DE//BC，且SADE:
S梯形BCED=1:
2，则DE:
BC的值是（
A．1:
B．1:
．1:
D．1:
9、如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，下列结论不正确的是（）
．．．
A、BF=1DF
、S△FAD=2S△FBE
F
C、四边形AECD是等腰梯形
、∠AEB=∠ADC
★知识点六：
相似三角形的应用
1如图,铁路道口的栏杆短臂长
1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）
A.4m
B.6m
C.8m
D.12m
2．（2013．北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边
选定一个目标点
A，在近岸取点
B，C，D，使得AB⊥
BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得
BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则
河的宽度AB
等于
A．60m
B．40m
C．30m
D．20m
3．（2015天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光
4CDCABIBDCDIBDAB=2BP=3
米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是______米
4．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一
部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，求木竿PQ的长度
5.小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：
如图，在地面上放一面镜子（镜子高度忽略不计），他刚好能从
镜子中看到教学楼的顶端B，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米，
已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。
（根据光的反射定律：
反射角等于
入射角）
6．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的
直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？
变长或变短了多少米？
7.如图△ABC中,AB=8,AC=6,如果动点D以每秒2个单位长的速度,从点B出发沿BA方向向点A运动,同时点E以
每秒
1个单位的速度从点
A出发测
AC方向向点
C运动,设运动时间为
t（单位：
秒）.问
t
为何值时△
ADE与△ABC
相似.
8.如图所示，九年级
（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1．6m，人与标杆
CD
已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．
9.在Rt△ABC中，∠C=90°
，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点
C出发，沿线段
CB也向点
B方向运动，如果点
P的速度是
4cm/秒，点
Q的速度是
2cm/秒，它们同时出发，当有
一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的
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