第1章 简单的逻辑联结词文档格式.docx
《第1章 简单的逻辑联结词文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第1章 简单的逻辑联结词文档格式.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![第1章 简单的逻辑联结词文档格式.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/31/99c1b191-ff1f-4b48-9031-c5652084e054/99c1b191-ff1f-4b48-9031-c5652084e0541.gif)
y=tanx是偶函数,q:
y=tanx不是偶函数.
答案 两组命题中,命题q都是命题p的否定.
(1)中p真,q假.
(2)中p假,q真.
一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作“綈p”,读作“非p”或“p的否定”.
(2)命题綈p的真假判断
因为命题p与命题綈p互为否定,所以它们的真假一定不同,真值表如下:
綈p
命题綈p的真值表可以归纳为“不可同真同假”.
1.逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中.( ×
)
2.“p∨q为真命题”是“p为真命题”的充分条件.( ×
3.命题“p∨(綈p)”是假命题.( ×
4.平行四边形的对角线相等且平分是“p∨q”形式的命题.( ×
类型一 用逻辑联结词联结组成新命题
例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题:
π是无理数,q:
e不是无理数;
方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:
方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;
(3)p:
正△ABC的三内角都相等,q:
正△ABC有一个内角是直角.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
解
(1)p∨q:
π是无理数或e不是无理数;
p∧q:
π是无理数且e不是无理数;
綈p:
π不是无理数.
(2)p∨q:
方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等;
方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等;
方程x2+2x+1=0没有两个相等的实数根.
(3)p∨q:
正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角;
正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角;
正△ABC的三个内角不都相等.
反思与感悟 解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义,用“或”“且”“非”联结p,q构成新命题时,在不引起歧义的前提下,可把命题p,q中的条件或结论合并.
跟踪训练1 分别写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题.
梯形有一组对边平行,q:
梯形有一组对边相等;
-1是方程x2+4x+3=0的解,q:
-3是方程x2+4x+3=0的解.
解
(1)p∧q:
梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
p∨q:
梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
梯形没有一组对边平行.
(2)p∧q:
-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.
-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.
-1不是方程x2+4x+3=0的解.
类型二 含有逻辑联结词命题的真假
例2 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假:
6<
6,q:
6=6;
梯形的对角线相等,q:
梯形的对角线互相平分;
函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:
不等式x2+x+2<
0无解;
(4)p:
函数y=cosx是周期函数,q:
函数y=cosx是奇函数.
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
解
(1)∵p为假命题,q为真命题,
∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为真命题.
(2)∵p为假命题,q为假命题,
∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,綈p为真命题.
(3)∵p为真命题,q为真命题,
∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,綈p为假命题.
(4)∵p为真命题,q为假命题,
∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为假命题.
反思与感悟 判断含逻辑联结词命题的真假的步骤
(1)逐一判断命题p,q的真假.
(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假.
跟踪训练2 指出下列命题的形式及命题的真假:
(1)48是16与12的公倍数;
(2)方程x2+x+3=0没有实数根;
(3)相似三角形的周长相等或对应角相等.
解
(1)这个命题是“p∧q”的形式.其中p:
48是16的倍数,是真命题;
q:
48是12的倍数,是真命题,所以“48是16与12的公倍数”是真命题.
(2)这个命题是“綈p”的形式.其中p:
方程x2+x+3=0有实数根,是假命题,所以命题“方程x2+x+3=0没有实数根”是真命题.
(3)这个命题是“p∨q”的形式.其中p:
相似三角形的周长相等,是假命题;
相似三角形的对应角相等,是真命题,所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题.
类型三 用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围
例3 (2018·
南通中学月考)设命题p:
幂函数y=
在(0,+∞)上单调递减,命题q:
a=-
+
在(0,3)上有解;
若p∧q为假,p∨q为真,求a的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q,p∧q,綈p的真假,求参数范围
解 若p正确,则a2-a-2<
0,∴-1<
a<
2.
若q正确⇔y=a与y=-
的函数图象在(0,3)上有交点⇔a≤1.
∵p∧q为假,p∨q为真,∴p,q一真一假,
∴
或
∴a≤-1或1<
2,
即a的取值范围为(-∞,-1]∪(1,2).
反思与感悟 由真值表可判断p∨q,p∧q,綈p命题的真假.反之,由p∨q,p∧q,綈p命题的真假也可判断p,q的真假情况.一般求满足p假成立的参数的范围,应先求p真成立的参数的范围,再求其补集.
跟踪训练3 已知p:
函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:
函数y=4x2+4(m-2)x+1大于零恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.
解 若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-
≤-1,∴m≥2,即p:
m≥2.
若函数y=4x2+4(m-2)x+1恒大于零,
则Δ=16(m-2)2-16<
0,
解得1<
m<
3,即q:
1<
3.
因为p或q为真,p且q为假,所以p,q一真一假,
当p真q假时,由
得m≥3.
当p假q真时,由
得1<
综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<
2}.
1.把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为___________________________.
答案 x>
5或x=5
2.已知p:
∅⊆{0},q:
{1}∈{1,2},则在四个命题p,q,p∧q,p∨q中,真命题有_____个.
答案 2
解析 ∵p真,q假,∴p∧q为假,p∨q为真,
故真命题有2个.
3.命题s具有“p或q”的形式,已知“p且r”是真命题,那么s是________命题.(填“真”“假”)
答案 真
解析 ∵p且r为真命题,∴p为真命题,
∴p或q为真命题.
4.已知命题p:
若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为零;
命题q:
若a>b,则
<
.
给出下列四个命题:
①p且q;
②p或q;
③非p;
④非q.
其中真命题是________.(填序号)
答案 ②④
解析 由于命题p是真命题,命题q是假命题,由真值表可知:
p且q为假;
p或q为真;
非p为假;
非q为真,所以真命题是②④.
5.已知命题p:
关于x的方程x2-ax+4=0有实根;
关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,若p∧q是真命题,则实数a的取值范围为________________.
答案 [-12,-4]∪[4,+∞)
解析 若命题p是真命题,则Δ=a2-16≥0,
即a≤-4或a≥4;
若命题q是真命题,
则-
≤3,即a≥-12.
∵p∧q是真命题,∴p,q均为真,
即-12≤a≤-4或a≥4,
∴a的取值范围为[-12,-4]∪[4,+∞).
1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.
2.若命题p为真,则“綈p”为假;
若p为假,则“綈p”为真.类比集合知识,“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集∁UP.因此(綈p)∧p为假,(綈p)∨p为真.
3.命题的否定只否定结论,否命题既否定结论又否定条件,要注意区别.
一、填空题
1.下列命题:
①矩形的对角线相等且互相平分;
②10的倍数一定是5的倍数;
③方程x2=1的解为x=±
1;
④3∉{1,2}.
其中使用逻辑联结词的命题有________个.
答案 3
解析 ①中有“且”,②中没有,③中有“或”,④中有“非”.
2.已知命题p,q,则命题“p或q为真”是“p且q为真”的______________条件.
答案 必要不充分
解析 p或q为真命题推不出p且q为真命题,而p且q为真命题可以推出p或q为真命题.
3.给出命题p:
3≥3;
函数f(x)=
在R上的值域为[-1,1].在下列三个命题:
“p∧q”“p∨q”“綈p”中,真命题的个数为________.
答案 1
解析 由p真q假知,p∨q为真,p∧q为假,綈p为假.
4.命题“若a<
b,则2a<
2b”的否命题为______________________________________,命题的否定为______________.
考点 “非”命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
答案 若a≥b,则2a≥2b 若a<
b,则2a≥2b
解析 命题“若a<
2b”的否命题为“若a≥b,则2a≥2b”,命题的否定为“若a<
b,则2a≥2b”.
5.设命题p:
2x+y=3;
x-y=6,若p∧q为真命题,则x=________,y=________.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p∧q命题的真假,求参数(或其范围)
答案 3 -3
解析 由题意有
解得
6.已知命题p:
{2}∈{1,2,3},q:
{2}⊆{1,2,3},则下列结论:
①p或q为真;
②p或q为假;
③p且q为真;
④p且q为假;
⑤非p为真;
⑥非q为假.
其中所有正确结论的序号是________.
答案 ①④⑤⑥
解析 因为p:
{2}⊆{1,2,3},所以p假q真,故①④⑤⑥正确.
7.若命题p:
不等式ax+b>
0的解集为
,命题q:
关于x的不等式(x-a)(x-b)<
0的解集为{x|a<
x<
b},则“p且q”“p或q”“非p”中真命题是________.
答案 非p
解析 因为命题p,q均为假命题,
所以“p或q”“p且q”均为假命题,而“非p”为真命题.
8.对于命题p,q,若p且q为真命题,则下列四个命题:
①p或綈q是真命题;
②p且綈q是真命题;
③綈p且綈q是假命题;
④綈p或q是假命题.
其中真命题是________.
答案 ①③
解析 ∵p且q为真命题,则p真,q真,∴綈p假,綈q假,所以只有①③为真命题.
9.已知p:
x2-x≥6,q:
x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题,则x的值组成的集合为________________.
答案 {-1,0,1,2}
解析 因为“p∧q”为假,綈q为假,所以q为真,p为假.故
即
因此x的值可以是-1,0,1,2.
10.已知命题p:
m∈R,且m+1≤0,命题q:
x∈R,x2+mx+1>
0恒成立,若p且q为假命题,p或q为真命题,则m的取值范围为____________.
答案 (-∞,-2]∪(-1,2)
解析 ∵x2+mx+1>
0恒成立,
∴Δ=m2-4<
0,即-2<
∴q:
-2<
2.又p:
m≤-1.
由题意知,p与q为一真一假,
当p真q假时,
得m≤-2;
当p假q真时,
得-1<
综上所述,m的取值范围为(-∞,-2]∪(-1,2).
二、解答题
11.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”及“綈p”的形式,并判断真假:
2n-1(n∈Z)是奇数,q:
2n-1(n∈Z)是偶数;
集合中的元素是确定的,q:
集合中的元素是无序的.
解
(1)p或q:
2n-1(n∈Z)是奇数或是偶数;
(真)
p且q:
2n-1(n∈Z)既是奇数又是偶数;
(假)
2n-1(n∈Z)不是奇数.(假)
(2)p或q:
集合中的元素是确定的或是无序的;
集合中的元素是确定的且是无序的;
集合中的元素是不确定的.(假)
12.已知命题p:
1∈{x|x2<
a},命题q:
2∈{x|x2<
a}.
(1)若“p或q”为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围.
解 若p为真,则1∈{x|x2<
a},
所以12<
a,即a>
若q为真,则2∈{x|x2<
a},即a>
4.
(1)若“p或q”为真,则a>
1或a>
4,
即a>
1.故实数a的取值范围是(1,+∞).
(2)若“p且q”为真,则a>
1且a>
4.故实数a的取值范围是(4,+∞).
13.已知a>
0,设命题p:
函数y=ax在R上单调递增;
不等式x2-ax+1>
0对x∈R恒成立,若p∨q为真命题,(綈p)∨(綈q)也为真命题,求实数a的取值范围.
解 ∵y=ax在R上为增函数,
∴命题p:
a>
1.
∵不等式x2-ax+1>
0在R上恒成立,
∴应满足Δ=a2-4<
0,即0<
∴命题q:
0<
由p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,
由(綈p)∨(綈q)也为真,则綈p,綈q中至少有一个为真,
∴p,q中有一真、一假.
①当p真,q假时,
∴a≥2;
②当p假,q真时,
∴0<
a≤1.
综上可知,a的取值范围为{a|a≥2或0<
a≤1}.
三、探究与拓展
14.已知实数a满足1<
2,命题p:
y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,命题q:
|x|<
1是x<
a的充分不必要条件,则下列命题:
①p∨q为真;
②p∧q为假;
③(綈p)∧q为真;
④(綈p)∧(綈q)为假.
其中正确的命题是________.(填序号)
答案 ①④
解析 由y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,得a>
1且2-a>
0,即1<
2,所以p是真命题.由|x|<
1,得-1<
1.又1<
2,所以|x|<
a的充分不必要条件,所以q也是真命题,所以①④正确.
15.设函数f(x)=lg
的定义域为A,若命题p:
3∈A与q:
5∈A有且只有一个为真命题,则实数a的取值范围为________.
答案
∪[9,25)
解析 A=
,
若p:
3∈A为真,则
>
0,即
<
9;
若q:
5∈A为真,则
25;
若p真q假,则
所以a无解;
若p假q真,则
a≤
或9≤a<
25.
所以实数a的取值范围为
∪[9,25).