完整版概率论第四章答案Word文档格式.docx
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解已知X在[0,60]上服从均匀分布,其概率密度为
1
0≤x≤60,
ca，
Y
c,
X1,
X0.
于是E（Y）（ca）P{X
1}cP{X0}
ap
c.
据题意有apca10%,因此应要求顾客角保费c
（0.1
p）a.
习题4-2
1.选择题
（1）已知E（X）1,D（X）
3则E[3（X
2）2]（
）.
（A）9.（B）6.
（C）30.
（D）
36
解E[3（X2）2]3E（X
24X4）
3[E（X2）
4E（X）
4]
3{D（X）
[E（X）]2
4}
3（31
44）36.
可见，应选（D）.
（2）设X~B（n,p）,E（X）
6,D（X）
3.6,则有（
（A）n10,p0.6.
（B）n20,
p0.3
（C）n15,p0.4.
（D）n12,
p0.5
解因为X~B（n,p）,所以
E（X）=np,D（X）=np（1-p）,
得到np=6,np（1-p）=3
n=15,p=0.4.可见，应选（C）.
（3）设X与Y相互独立，且都服从
N（,2）
则有（
（A）E（XY）E（X）
E（Y）.
（B）E（X
Y）2.
（C）D（XY）D（X）
D（Y）.
（D）D（X
Y）22.
解注意到E（XY）E（X）E（Y）
0.由于X与Y相互独立,所以
D（XY）D（X）D（Y）2
2.选（D）.
（4）在下列结论中,错误的是（
6.解之,
（A）若X~B（n,p）,则E（X）np.
（B）若X~U1,1，则D（X）0.
（C）若X服从泊松分布,则D（X）E（X）.
（D）若X~N（,）,则X~N（0,1）.
32
1x22
E（|XY|）E（|U|）|x|e2dx0xe
E（|U|2）E（U2）D（U）[E（U）]2
2dx
02
故而D（|XY|）D（|U|）E（|U|2）[E（|U|）]2
2e
1.
12
5.设随机变量X~U[1,2],随机变量
1,X0,
Y0,X0,
1,X0.求期望E（Y）和方差D（Y）.
解因为X的概率密度为
1≤x≤2,
fX（x）3
于是Y的分布率为
P{Y1}P{X
P{Y
P{Y1}P{X
因此
0,其它.
01
0}
-fX（x）dx
dx
-13
P{X0}0,
+
21
0fX（x）dx
故有
6.设随机变量U
1,
求E（X+Y）,D（X+Y）.
E（Y）
E（Y2）（
1）2
D（Y）E（Y2）
[E（Y）]2
8
9.
在区间[-2,2]上服从均匀分布若U≤1,若U1.
9
随机变量
1,若U≤1,Y1,若U1.
-111
P{X1,Y1}
P{U
≤1,U≤1}
≤1}
-244
P{X
1,Y
1}
P{U≤
1,U
11
P{X1,Y
≤1}
14
dx,
P{X1,Y
dx.
4
于是得X和Y的联合密度分布为
X+Y
P{X+Y=k}
（X+Y）2
P{（X+Y）2=k}
由此可见
222E（XY）0;
D（XY）E[（XY）2]2.
44
习题4-3
1.选择题
（1）在下列结论中,（）不是随机变量X与Y不相关的充分必要条件
（A）E（XY）=E（X）E（Y）.（B）D（X+Y）=D（X）+D（Y）.
（C）Cov（X,Y）=0.（D）X与Y相互独立.
解X与Y相互独立是随机变量X与Y不相关的充分条件,而非必要条件.选（D）.
（2）
设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则下列结论中不正确的是
（C）X与Y未必独立.（D）解对于正态分布不相关和独立是等价的
（3）设（X,Y）服从二元正态分布,则下列说法中错误的是（）.
（A）（X,Y）的边缘分布仍然是正态分布.
（B）X与Y相互独立等价于X与Y不相关.
（C）（X,Y）是二维连续型随机变量.
（D）由（X,Y）的边缘分布可完全确定（X,Y）的联合分布.
解仅仅由（X,Y）的边缘分布不能完全确定（X,Y）的联合分布.选（D）
2设D（X）=4,D（Y）=6,ρXY=0.6,求D（3X-2Y）.
解D（3X2Y）9D（X）4D（Y）12Cov（X,Y）
944612XYD（X）D（Y）
3624120.62624.727.
3.设随机变量X,Y的相关系数为0.5,E（X）E（Y）0,E（X2）E（Y2）2,
求E[（XY）2].
222
解E[（XY）2]E（X2）2E（XY）E（Y2）
42[Cov（X,Y）E（X）E（Y）]
42XYD（X）D（Y）
420.526.
4.设随机变量（X,Y）的分布律为
解首先由pij1得ab0.4.其次由
i1j1
0.8E（XY）得b0.3.进而a
于是
故
100.420a110.221b0.22b
0.1.由此可得边缘分布律
P{Xi}
0.6
P{Yj}
0.5
E（Y）00.5
10.50.5.
0.50.1.
E（X）10.620.41.4,
Cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y）0.81.4
5.已知随机变量（X,Y）~N（0.5,4;
0.1,9;
0）,Z=2X-Y,试求方差D（Z）,协方差
Cov（X,Z）,相关系数ρXZ.
解由于X,Y的相关系数为零,所以X和Y相互独立（因X和Y服从正态分布）.因此
D（Z）D（2XY）4D（X）D（Y）44925,
Cov（X,Z）Cov（X,2XY）
2Cov（X,X）Cov（X,Y）.
1XY
关系数XY,Z.求:
（1）E（Z）,D（Z）；
（2）X与Z的相关系数ρXZ;
（3）问XY232
X与Z是否相互独立?
为什么?
22解
（1）由于X~N（1,32）,Y~N（0,42）,所以
（3）由XZ0知X与Z不相关,又X与Z均服从正态分布,故知X与Z相互独立.7．证明:
对随机变量（X,Y）,E（XY）=E（X）E（Y）或者D（XY）=D（X）+D（Y）的充要条件是X与Y不相关.
证首先我们来证明E（XY）E（X）E（Y）和D（XY）D（X）D（Y）是等价的.
事实上,注意到D（XY）D（X）D（Y）2Cov（X,Y）.因此
D（XY）D（X）D（Y）Cov（X,Y）0E（XY）E（X）E（Y）.
其次证明必要性.假设E（XY）=E（X）E（Y）,则
Cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y）0.
0.由此知
最后证明充分性.假设X与Y不相关,即XY0,则Cov（X,Y）
E（XY）E（X）E（Y）.
总习题四
1.设X和Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知X的分布律为1
P{Xi},i1,2,3.又设Umax{X,Y},Vmin{X,Y}.
（1）写出二维随机变量（U,V）的分布律;
（2）求E（U）.解
（1）下面实际计算一下P{U1,V3}.
注意到Umax{X,Y},Vmin{X,Y},因此
P{X3,Y1}3}P{X3}P{Y1}2
P{U1,V3}P{X1,Y3}
P{X1}P{Y
1111
33339类似地计算,可得（U,V）的分布律如下表
VU
（2）由（U,V）的分布律可得关于U的边缘分布律
U
P{Ui}
13522
所以E（U）11233522.
9999
2.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗.假设在各个交通岗遇到红灯的事件是
相互独立的,并且概率是.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函
数和数学期望.
27
54
125
k}
解令X表示途中遇到红灯的次数,由题设知X~B（3,2）.即X的分布律为
从而E（X）kP{X
k1
6
3.设随机变量（X,Y）的概率密度为
12y2,0≤y≤x≤1,f（x,y）
求E（X）,E（Y）,E（XY）,E（X2Y2）.
求E（X）,D（X）,E（Y）,D（Y）,E（XY）和Cov（X,Y）.
82
解E（X）
122
xf（x,y）dxdy22xsin（xy）dxdy
E（X2）
xf（x,y）dxdy
y）dxdy
2.
x2sin（x
于是有
2所以协方差Cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y）1.
216
5.设随机变量X与Y独立,同服从正态分布N（0,）,求
（1）E（XY）;
D（XY）；
（2）E（max{X,Y}）;
E（min{X,Y}）.
解
（1）记XY.由于X~N（0,）,Y~N（0,）,所以
E（）E（X）E（Y）0,D（）D（X）D（Y）1.由此~N（0,1）.所以
x2
E（|XY|）E（||）
|x|2e2dx20
xe
E（||2）
E
（2）D（）[E（）]21
故而D（|XY|）D（|
|）E（||2）[E（||）]21
021.
212
所以
（2）注意到
max（X,Y）
（XY）|XY|
min（X,Y）
XY|XY|
E[max（X,Y）]
12{E（X）
E[|XY|]}
2,
6.设随机变量（X,Y）的联合概率密度为
xy,0≤x≤2,0≤y≤2,f（x,y）8
E[min（X,Y）]
0,求:
E（X）,E（Y）,Cov（X,Y）,ρXY,D（X+Y）.
解
其它.
注意到f（x,y）只在区域G:
0≤x≤2,0≤y≤2上不为零,
xxydxdy
G8
0x（x
E（X）
xf（x,y）dxdy
因而
D（X）
0x（xy）dy4
xf（x,y）dxdy
221
0x（xy）dy4
E（X2）[E（X）]2
7
1）dx76
23
0（x3
572
362
x）dx
12212244
dxxy（xy）dy（xx）dx.
由对称性知
这样，
8004033
722511
E（X）,E（Y2）E（X2）,D（Y）D（X）.
6336
4491
Cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y）,
33636
Cov（X,Y）1
XYD（X）D（Y）115
D（XY）D（X）D（Y）2Cov（X,Y）.
7.设A,B为随机事件,且P（A）,P（B|A）
1，A发生,XY
0，A不发生,
P（AB）
解由
P（B|A）
得P（AB）
P（A）
进而由
33
412
P（A|B）
得P（B）2P（AB）
.在此基础上可以求得
P（B）
（1）P{X
P{X
0,Y
1212
126
1P（AUB）1[P（A）
P（B）P（AB）]
求:
（1）二维随机变量（X,Y）的概率分布;
（2）X与Y的相关系数
XY
1112
1[111]2.
46123
故（X,Y）的概率分布为
（2）由
（1）易得关于X和Y的边缘分布律
P{X=k}
P{Y=k}
1,E（X2）
D（X）E（X2）
16
E（Y）1,E（Y2）1,D（Y）E（Y2）
115
66
63636
又由（X,Y）的分布律可得
E（XY）000
110
E（XY）E（X）E（Y）124
15
XYD（X）D（Y）
15.
1636
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