九年级中考二轮专题证明三角形专题.docx

九年级中考二轮专题证明三角形专题.docx

《九年级中考二轮专题证明三角形专题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级中考二轮专题证明三角形专题.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

九年级中考二轮专题证明三角形专题

状元廊学校秋季班数学思维方法讲义之一年级：

九年级

2019-2020年九年级中考二轮专题：

证明--三角形专题

【学习目标】

1、牢记三角形的有关性质及其判定；

2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。

【考点透视】

1、全等三角形的性质与判定；

2、等腰（等边）三角形的性质与判定；

3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；

4、相似三角形的性质与判定。

【精彩知识】

专题一三角形问题中的结论探索

【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一

起，且∠DAB=30°。

有以下四个结论：

①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：

DE=：

4，其中正确结论的序号是.

●变式练习

1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：

①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　　．

★考点感悟：

专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索

【例2】如图

（1），Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F

（1）求证：

CE=CF．

（2）将图

（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图

（2）所示．试猜想：

BE'与CF有怎样的数量关系?

请证明你的结论．

图

（1）图

（2）

【例3】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图

（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图

（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图

（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．

★考点感悟：

●变式练习：

如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：

①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【】

A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③

【例4】如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．

①求证：

BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．

★考点感悟：

专题三几何动态问题

【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．

（1）若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；

（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．

①若a＝，求PQ的长；

②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？

若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

★考点感悟：

●变式练习：

已知线段AB=6，C．D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为．

专题四几何与函数结合问题

【例6】如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=，PE=.

（1）当时，求的值；

（2）当CQ=CE时，求与之间的函数关系式；

（3）①当CQ=CE时，求与之间的函数关系式；

②当CQ=CE（为不小于2的常数）时，求直接与之间的函数关系式。

★考点感悟：

【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？

最大值为多少？

（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？

请直接写出t的值．

★考点感悟：

【课后测试】

一、选择题：

1、下列判断正确的是（）

A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B.有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2、在平面直角坐标系xoy中，已知A（2，–2），在y轴上确定点P，使△AOP为等到腰三角形，则符合条件的点P共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题：

3、在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，

M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是。

4、如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为　▲　（结果用含有π的式子表示）

三、解答题：

5、在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）。

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；

（2）探究：

将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

①的值是否发生变化？

请说明理由；

②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长。

图①图②

6、如图

（1），将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起。

（1）操作：

如图

（2），将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合）。

FE交DA于点G（G点不与D点重合）。

求证：

BH·GD=BF2

（2）操作：

如图（3），△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG。

探究：

FD+DG=__________。

请予证明。

（1）

（2）（3）

学生对本次课的评价：

○特别满意○满意○一般○不怎么样

家长意见或建议：

家长签字：

部分答案：

【例3】解：

（1）图

（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE。

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：

∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE。

∵AB=AC，∴∠B=∠C。

∴△BDF∽△CED。

∴。

∵BD=CD，∴，即。

又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF。

∴△BDF∽△CED∽△DEF。

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=BC=6。

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，

∴AD=8。

∴S△ABC=•BC•AD=×12×8=48，

S△DEF=S△ABC=×48=12。

又∵•AD•BD=•AB•DH，∴。

∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD。

∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF。

又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）。

∴DH=DG=。

∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12，∴EF=5。

例3变式：

A。

【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。

【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。

∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。

∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。

∴△BO′A≌△BOC。

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。

故结论①正确。

连接OO′，

∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。

∴OO′=OB=4。

故结论②正确。

∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形。

∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB=900＋600=150°。

故结论③正确。

。

故结论④错误。

如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，

点O旋转至O″点．

易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的

直角三角形。

则。

故结论⑤正确。

综上所述，正确的结论为：

①②③⑤。

故选A。

【例4】解：

（1）BD=CF成立。

理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°。

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。

在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。

∴BD=CF。

（2）①证明：

设BG交AC于点M．

∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM。

又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG。

∴∠BGC=∠BAC=90°。

∴BD⊥CF。

②过点F作FN⊥AC于点N。

∵在正方形ADEF中，AD=DE=，

∴。

∴AN=FN=AE=1。

∵在等腰直角△ABC中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，。

∴在Rt△FCN中，。

在Rt△ABM中，。

∴AM=。

∴CM=AC﹣AM=4﹣，。

∵△BMA∽△CMG，∴，即，∴CG=。

∴在Rt△BGC中，。

【例5】解：

（1）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，∴BD=CD=BC=6。

∵a=2，∴BP=2t，DQ=t。

∴BQ=BD－QD=6－t。

∵△BPQ∽△BDA，∴，即，解得：

。

（2）①过点P作PE⊥BC于E，

∵四边形PQCM为平行四边形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。

∴PB：

AB=CM：

AC。

∵AB=AC，∴PB=CM。

∴PB=PQ。

∴BE=BQ=（6－t）。

∵a=，∴PB=t。

∵AD⊥BC，∴PE∥AD。

∴PB：

AB=BE：

BD，即。

解得，t=。

∴PQ=PB=t=（cm）。

②不存在．理由如下：

∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM