完整版高中不等式试题和答案Word格式.docx
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f
(2)
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题:
11.
对于—1<
a<
1,使不等式
(2)^ax<
(1)2x+a_1成立的x的取值范围是
三、解答题:
16.(本题满分l2分)
设函数f(x)2|x1|x1,求使f(x)>
2J2的x取值范围.
17.(本题满分12分)
已知函数f(x)2sin2xsin2x,x[0,2].求使f(x)为正值的x的集合.
18.
(本题满分14分)
立的条件;
91
厂乞(x(0,2))的最小值,指出取最小值时x的
值.
19.(本题满分14分)
设函数f(x)=|x—m|—mx,其中m为常数且m<
0.
⑴解关于x的不等式f(x)<
0;
⑵试探求f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值
20.(本题满分14分)
已知a>
0,函数f(x)=ax—bx2.
⑴当b>
0时,若对任意x€R都有f(x)1,证明a2b;
⑵当b>
1时,证明对任意x[0,1],都有|f(x)|1的充要条件是b—1a2ib;
⑶当0<
b1时,讨论:
对任意x[0,1],都有|f(x)|1的充要条件.
21.(本题满分14分)
⑴设函数f(x)xlog2x(1x)log2(1x)(0
x1),求
⑵设正数p1,p2,p3,,p2n满足p1p2p3
p2n1,
p1log2p1p2log2p2p3log2p3
p2nlog2p2n
f(x)的最小值;
证明
n.
、选择题
[不等]符号定,比较技巧深参考答案
D
A
C
B
二、填空题11.XW0或x>
2;
12.155;
13.(3]-14;
15.②④
2'
4
三、解答题
16.解:
由于y=2X是增函数,f(x)>
22等价于|x+1|—|x—1|>
-,①2
分
(i)当x>
1时,|x+1|—|x—1|=2。
二①式恒成立5
33
(ii)当—1vxv1时,|x+1|—|x—1|=2x。
①式化为2x^2,即4三x<
18
(i)当xw—1时,|x+1|—|x—1|=—2。
・••①式无解
综上,x的取值范围是[3,+m)。
……12分
17.解:
•••f(x)1cos2xsin2x2分
1.2sin(2x-)4分
f(x)01.2sin(2x)0
sin(2x)6分
42
5八
—2k2x2k8分
444
kxk10分
又x[0,2].
37
•-x(0,)(,)12分
44
18•解:
(1)应用二元均值不等式,得
—)(xy)a2b2a2—b2-a2b22ja2—b2—(ab)2,
yxyxy
222
ab(ab)
xyxy
当且仅当亠2y'
2Xrrab
,即一
y
时上式取等旦
号.
(2)由
(1)
f(x)
22
2x
(23)2
25.
2x(12x)
当且仅当•
—时上式取最小值,即[f(X)]min25.……5
点评:
给你一种解题工具,让你应用它来解答某一问题,这是近年考试命题的一种新颖的题型之一,很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质.
,即
12x
14分
(1—m)x<
m
19.解:
(1)由f(x)<
0得,|x—m|<
mx,得—mx<
x—m<
mx,即十m)x>
①当m=—1时,
②当一1<
m<
0时,
X
③当m<
—1时,
综上所述,当m<
—1
1m
mm
1+m<
X<
1—m
1—I
时,不等式解集为{x|x<
1—
当m=-1时,不等式解集为{x|x<
—
当—1<
m<
0时,不等式解集为{x1m<
x<
―m
(1m)xm,xm(1m)xm,xm
■/m<
0,「.1—m>
0,f(x)在[m,
m)上是减函数或常数,•••—
故f(x)存在最小值的充要条件是
(2)f(x)=
+旳上单调递增,要使函数f(x)存在最小值,则
(1+m)O即m»
1,又m<
0,「.一1<
0.
—1令1<
0,且f(x)min=
f(m)=—m.
f(x)在(-
20.解:
⑴对已知二次函数应用配方法,
得f(x)
b(x
2b「4b,当X&
R时,f(x)max
a2
4b,
日对任意x€R都有f(x)1
疋,
f(X)max
a
4b
f(X)max1,
f(X)min1,
(*)
f(x)一b(x—2b
+-,
(x[0,1])
当2b
a时,0<
旦
2b
f(x)max
f(X)min=f(0)或f
(1);
当2b<
a时,
a>
1,2b
max
f
(1),f(x)
min=f(0).
是(*)
1且2b
a,
b1且2b
1,
f(0)0
f
(1)a
f
(1)
f(0)
b1,
1.
故对任意x[0,1],都有|f(x)|1的充要条件是b—1a2,b
0且0
b
0<
a2b或2b<
b+1
2ba且0b1,或f
(1)ab1,f(0)01.
b+1.
(3)由
(2)的解答知,对任意x€[0,1],都有|f(x)|1当且仅当
1的充要条件为0<
ab+1.…14分
故当0<
b1时,对任意x[0,1],都有|f(x)|
含参数的二次函数与绝对值不等式相综合,这是历年高考命题的热点之一.读者在
备考复习时,应当重视这类题型的解题技巧,掌握一些解题的套路,领悟当中的变化技能,
反复思考参数的处理艺术.
21.解:
对函数f(x)求导数:
f(x)(xlog2x)[(1x)log2(1x)]
于是
<
)0.
当x
i
-时,f(x)
log2x
log2(i
x)
0,f(x)在区间
(0,—)是减函数,
(—,i)是增函数.
所以
f(x)在x—
时取得最小值,
f(・
ii,
22
(n)证法一:
用数学归纳法证明.
(i)当n=1时,由(I)知命题成立.
(ii)假定当nk时命题成立,即若正数Pi,p2,,p2k满足Pip2p2k1,
则pilog2pi
P2log2P2
p2klog2p2k
k.
当nk
i时,
若正数
Pi,P2,
P2ki满足Pi
P2
P2kii
令xPi
p
2k,qi
Piq2
x
J
q2k
P2k
则qi,q2,
为正数,
且qi
q2
q?
k
i.
由归纳假定知q1log2p1p2log2p2q2klog2q2kk.
Pilog2Pip2log2p2p2klog2p2kx(qilog2qiq2log2q2q2klog2q2k
log2x)x(k)xlog2x,①
同理,由p2kip2k2p2kiix可得p2kilog2p2kip2kilog2p2ki
(ix)(k)(ix)log2(ix).②
综合①、②两式pilog2pip2log2p2p2kilog2p2ki
[x(ix)](k)xlog2x(ix)log2(ix)(ki).
即当nki时命题也成立.
根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立.
证法二:
令函数g(x)xlog2x(cx)log2(cx)(常数c0,x(0,c)),那么
g(x)哙0g€
xx
(i-)log2(i—)log2c],
cc
利用(【)知,当—-(即xE)时,函数g(x)取得最小值.
c22
对任意x10,x20,都有
X1log2X1
X1X2X1X2
X2log2X222log22
(XiX2)[log2(X!
X2)1].①
下面用数学归纳法证明结论•
(ii)设当n=k时命题成立,即若正数p1,p2,,p2k满足p1p2p2k1,有
口log2P1P2log2P2Lp2klog2p?
kk.
当nk1时,口,p2,L,p2k1满足P1P2Lp2k11.
令HP1log2P1P2log2P2Lp2k11log?
p2z1p2zlog?
p2z
由①得到
H(P1P2)[log2(P1P2)1]L(P2k11P2k1)[log2(P2k11P2k1)1],
因为(P1P2)L(p2k11P2k1)1,
由归纳法假设
(P1P2)log2(P1P2)L(p2k11P2k1)log2(p2k11P2k1)k,得到
Hk(P1P2Lp2k11p2k1)(k1).
即当nk1时命题也成立.
所以对一切正整数n命题成立.