数值分析讲义优选Word文档格式.docx

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|x－x*|＝0.001526…≤0.5×

101－3

即l＝3，故x＝3.14有3位有效数字。

x＝3.14准确到小数点后第2位。

又近似值x＝3.1416，它的误差是0.0000074…，有

|x－x*|＝0.0000074…≤0.5×

101－5

即m＝1，l＝5，x＝3.1416有5位有效数字。

而近似值x＝3.1415，它的误差是0.0000926…，有

|x－x*|＝0.0000926…≤0.5×

101－4

即m＝1，l＝4，x＝3.1415有4位有效数字。

这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；

若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s位或s－1位有效数字。

例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：

2.0004－0.0020090009000.00

解因为x1＝2.0004＝0.20004×

101，它的误差限0.00005＝0.5×

101―5，即m＝1，l＝5，故x1＝2.0004有5位有效数字。

相对误差限

x2＝－0.00200，误差限0.000005，因为m＝－2，l＝3，x2＝－0.00200有3位有效数字。

相对误差限εr＝0.000005/0.00200＝0.25%。

x3＝9000，绝对误差限为0.5，因为m＝4，l＝4，x3＝9000有4位有效数字，相对误差限εr＝0.5/9000＝0.0056%。

x4＝9000.00，绝对误差限0.005，因为m＝4，l＝6，x4＝9000.00有6位有效数字，相对误差限为εr＝0.005/9000.00＝0.000056%。

由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。

例3ln2＝0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？

解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。

ln2≈0.693。

三、练习题

1.设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是。

2.设某数x*，它的精确到10－4的近似值应取小数点后位。

3.（）的3位有效数字是0.236×

102。

（A）235.54×

10－1（B）235.418

（C）2354.82×

10－2（D）0.0023549×

103

4.设a*＝2.718181828…，取a＝2.718，则有（），称a有四位有效数字。

（A）|a－a*|≤0.5×

10－4（B）|a－a*|≤0.5×

（C）|a－a*|≤10－4（D）|a－a*|≤0.0003

5.设某数x*，对其进行四舍五入的近似值是（），则它有3位有效数字，绝对误差限是0.5×

10－4。

（A）0.315（B）0.03150（C）0.0315（D）0.00315

6.以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为0.25×

10－3。

（A）0.01234（B）–12.34（C）–2.20（D）0.2200

7.将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。

（1）2.1514

（2）－392.85（3）0.003922

8.已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：

（1）13267er＝0.1%

（2）0.896er＝10%

9.已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。

（1）0.3941e＝0.25×

10－2

（2）293.481e＝0.1

（3）0.00381e＝0.1×

10－4

10.已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。

（1）1.8921er＝0.1×

10－2

（2）22.351er＝0.15

（3）48361er＝1%

四、练习题答案

1．该数有效数字第四位的一半。

2.五3.（A） 

4.（B）5.（C）6.（D）

7.

（1）2.15,e＝－0.14×

10－2，er＝0.65×

10－3；

（2）－393，

e＝－0.15，er＝0.38×

（3）0.00392，e＝－0.2×

10－5，er＝

0.51×

10－3

8.

（1）e＝0.13×

102；

（2）0.9×

10－1

9.

（1）2；

（2）3；

（3）2

10.

（1）3；

（2）1；

（3）2 

第15章线性方程组的数值解法

1.高斯顺序消去法

解线性方程组AX＝b，对增广矩阵

顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。

要求作初等行变换消元过程中，

注意：

本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。

2.高斯列主元消去法

在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元

，

（k＝1，2，3，…，n－1）

把第r行作为主方程，做第k次消元。

把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。

3.雅可比迭代法（简单迭代法）

解线性方程组AX＝b的雅可比迭代法公式为

（k＝0，1，2，…）

4.高斯――赛德尔迭代法

解线性方程组AX＝b的高斯――赛德尔迭代法公式为

（i＝1，2，…，n；

k＝0，1，2，…）

5．解的收敛性定理

【定理1】高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；

AX＝b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。

【定理4】

（迭代法基本定理）

设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X（0）及任意f，对应此方程组的迭代公式X（k＋1）＝B（k）X＋f收敛的充分必要条件是

其中λi（i＝1，2，…，n）为迭代矩阵B的特征根。

当λi为复数时，|λi|表示λi的模。

【定理6】

（迭代法收敛的充分条件）设线性方程组AX＝b，

（1）若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法收敛；

（2）若A为对称正定矩阵，则高斯――赛德尔迭代法收敛。

注：

设矩阵A＝[aij]n，若

则称矩阵A是严格对角占优矩阵。

例1用顺序消去法解线性方程组

解顺序消元

于是有同解方程组

回代得解

x3＝－1，x2＝1，x1＝1，原线性方程组的解为X＝（1，1，－1）T。

例2取初始向量X（0）＝（0，0，0）T，用雅可比迭代法求解线性方程组

解建立迭代格式

（k＝1，2，3，…）

第1次迭代，k＝0

X（0）＝0，得到X

（1）＝（1，3，5）T

第2次迭代，k＝1

X

（2）＝（5，－3，－3）T

第3次迭代，k＝2

X（3）＝（1，1，1）T

第4次迭代，k＝3

X（4）＝（1，1，1）T

例3填空选择题：

1.用高斯列主元消去法解线性方程组

作第1次消元后的第2，3个方程分别为。

解选a21＝2为主元，作行互换，第1个方程变为：

2x1＋2x2＋3x3＝3，消元得到

是应填写的内容。

2.用选主元的方法解线性方程组AX＝b，是为了（）

（A）提高计算速度（B）减少舍入误差

（C）减少相对误差（D）方便计算

答案：

选择（B）

3.用高斯――赛德尔迭代法解线性方程组

的迭代格式中

＝（k＝0，1，2，…）

解答：

高斯――赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。

4.当a（）时，线性方程组

的迭代解一定收敛。

（A）＞6（B）＝6（C）＜6（D）＞6或＜－6

（D）

当|a|＞6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛。

2.用高斯――赛德尔迭代法求解线性方程组

取初始值（4.67，7.62，9.05）T，求二次迭代值。

3.证明线性方程组

的迭代解收敛。

4.用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是

5.用列主元消去法解线性方程组

，第1次消元，选择主元为（）

（A）3（B）4（C）－4（D）－9

1.X＝（－4，1，2）T

2.（4.66619，7.61898，9.04753）T

3.提示：

系数矩阵是严格对角占优矩阵。

4.线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。

5.（C）

第2章函数插值与最小二乘拟合

1.函数插值

已知函数f（x）的n个函数值yk＝f（xk），k＝0，1，2，…，n。

构造一个多项式P（x），使得P（xk）＝yk。

P（x）就是插值多项式，f（x）就是被插函数，xk就是插值节点。

误差R（x）＝f（x）－P（x）。

2.拉格朗日多项式

称n次多项式Pn（x）＝y0l0＋y1l1＋…＋ynln＝

为拉格朗日插值多项式，其中基函数

（i＝0，1，2，…，n）

当n＝1时，线性插值P1（x）＝yklk（x）＋yk+1lk+1（x）

其中基函数

当n＝2时，得到二次多项式，就是二次插值。

拉格朗日插值多项式的余项为:

其中ξ∈（a，b）

注意：

过n＋1个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n的多项式。

3.均差与牛顿插值多项式

函数值与自变量的差商就是均差，

一阶均差

（或记作f[x0，x1]）；

二阶均差

（或记作f[x0，x1，x2]）

均差有两条常用性质：

（1）均差用函数值的线性组合表示；

（2）均差与插值节点顺序无关。

用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式

Nn（x）＝f（x0）＋f[x0，x1]（x－x0）＋f[x0，x1，x2]（x－x0）（x－x1）＋

…＋f[x0，x1，x2，…，xn]（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn-1）

牛顿插值多项式的余项为：

Rn（x）＝f（x）－Nn（x）

＝f[x，x0，x1，x2，…，xn]（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）

4.分段线性插值

已知n＋1个互异节点x0，x1，…，xn构造一个分段一次的多项式P（x），且满足：

（1）P（x）在[a，b]上连续；

（2）P（xk）＝yk（k＝0，1，2，…，n）；

（3）P（x）在[xk，xk+1]上是线性函数。

分段线性插值函数

其中lk（x）（k＝0，1，2，…，n）是分段线性插值基函数。

（i＝1，2，…，n－1）

5.三次样条插值函数

（k＝0，1，2，…，n－1）（xk≤x≤xk＋1）

其中S"

（xk）＝mk（k＝0，1，2，…，n），hk＝xk+1－xk（k＝0，1，2，…，n－1），m0，m1，…，mn满足的方程组是

（*）

其中：

（k＝1，2，…，n－1）

（1）当已知S'

（x0）＝y'

0，S'

（xn）＝y'

n时，（*）式中μ0＝1，λn＝1，

（2）当已知S"

（x0）＝y"

0＝m0，S"

（xn）＝y"

n＝mn时，（*）式化为

6.最小二乘法

用ϕ（x）拟合数据（xk，yk）（k＝1，2，…，n），使得误差的平方和

为最小，求ϕ（x）的方法，称为最小二乘法。

（1）直线拟合若

，a0，a1满足法方程组

（2）二次多项式拟合若

，a0，a1，a2满足法方程组

例1已知函数y＝f（x）的观察数据为

xk

－2

4

5

yk

1

－3

试构造拉格朗日多项式Pn（x），并计算P（－1）。

[只给4对数据，求得的多项式不超过3次]

解先构造基函数

所求三次多项式为

P3（x）=

＝

P3（－1）＝

例2已知函数y＝f（x）的数据如表中第1，2列。

计算它的各阶均差。

解依据均差计算公式，结果列表中。

k

f（xk）

一阶均差

二阶均差

三阶均差

四阶均差

0.40

0.41075

0.55

0.57815

1.11600

2

0.65

0.69675

1.16800

0.28000

3

0.80

0.88811

1.27573

0.35893

0.19733

0.90

1.20152

1.38410

0.43348

0.21300

0.03134

计算公式为

（k＝0，1，2，3）

（k＝0，1，2）

三阶均差

（k＝0，1）

四阶均差

例3设x0，x1，x2，…，xn是n＋1个互异的插值节点，lk（x）（k＝0，1，2，…，n）是拉格朗日插值基函数，证明：

（1）

；

（2）

（m＝0，1，2，…，n）

证明

（1）Pn（x）＝y0l0＋y1l1＋…＋ynln＝

∴

当f（x）≡1时，

1＝

由于

，故有

（2）对于f（x）＝xm，m＝0，1，2，…，n，对固定xm（0≤m≤n），作拉格朗日插值多项式，有

当n＞m－1时，f（n+1）（x）＝0，Rn（x）＝0，所以

对于次数不超过n的多项式

，

利用上结果，有

=

可见，Qn（x）的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n＋1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。

例4已知函数e－x的下列数据，用分段线性插值法求x＝0.2的近似值。

x

0.10

0.15

0.25

0.30

e－x

0.904837

0.860708

0.778801

0.740818

解用分段线性插值，先求基函数。

所求分段线性插值函数为

所以，e－0.2＝P（0.2）＝－0.81907×

0.2＋0.983569＝0.819755

例5已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。

解计算列入表中。

xkyk

4.5

9

6

18

8

16

32

8.5

25

42.5

∑

15

31

55

105.5

n＝5。

a0，a1满足的法方程组是

解得a0＝2.45，a1＝1.25。

所求拟合直线方程为y＝2.45＋1.25x

例6选择填空题

1.设y＝f（x），只要x0，x1，x2是互不相同的3个值，那么满足P（xk）＝yk（k＝0，1，2）的f（x）的插值多项式P（x）是（就唯一性回答问题）

唯一的

因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。

设P（x）＝a2x2＋a1x＋a0，其中a2，a1，a0是待定数。

P（xk）＝yk，即

这是关于a2，a1，a0的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式

所以，不超过2次的多项式是唯一的。

2.通过四个互异节点的插值多项式P（x），只要满足（）,则P（x）是不超过一次多项式。

（A）初始值y0＝0（B）一阶均差为0

（C）二阶均差为0（D）三阶均差为0

（C）

因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N（x）＝f（x0）＋f[x0，x1]（x－x0）

它是不超过一次的多项式。

3.拉格朗日插值多项式的余项是（），牛顿插值多项式的余项是（）

（A）

（B）f[x，x0，x1，x2，…，xn]（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）

（C）

（D）f[x，x0，x1，x2，…，xn]（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）

（A），（D）。

见教材有关公式。

4.数据拟合的直线方程为y＝a0＋a1x，如果记

那么系数a0，a1满足的方程组是（）

（A）

（B）

（D）

（B）

因为法方程组为

由第1个方程得到

，将其代入第2个方程得到

整理得

故（B）正确。

1.已知函数y＝f（x），过点（2，5），（5，9），那么f（x）的线性插值多项式的基函数为。

2.过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4（x）＝。

3.已知多项式P（x），过点（0，0），（2，8），（4，64），（11，1331），（15，3375），它的3阶均差为常数1，一阶，二阶均差均不为0，那么P（x）是（）

（A）二次多项式（B）不超过二次的多项式（C）三次多项式（D）四次多项式

4.已知y＝f（x）的均差

那么f[x4，x2，x0]＝（）

（A）5（B）9（C）14（D）8

5.求数据拟合的直线方程y＝a0＋a1x的系数a0，a1是使最小。

6.求过这三个点（0，1），（1，2），（2，3）的拉格朗日插值多项式。

7.构造例2的函数f（x）的牛顿插值多项式，并求f（0.596）的近似值。

8.设l0（x）是以n＋1个互异点x0，x1，x2，…，xn为节点的格朗日插值基函数

试证明：

9.已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。

y

12

y'

－1

10.已知数据对（7，3.1），（8，4.9），（9，5.3），（10，5.8），（11，6.1），（12，6.4），（13，5.9）。

试用二次多项式拟合这组数据。

四、练习题答案

1.

2.

3.C4.B 

5.

6.x＋1

7.给定五对点，牛顿多项式是不超过4次的多项式。

N4（x）＝0.41075＋1.11600（x－0.40）＋0.28000（x－0.40）（x－0.55）

＋0.19733（x－0.40）（x－0.55）（x－0.65）

＋0.03134（x－0.40）（x－0.55）（x－0.65）（x－0.80）

将x＝0.596代入牛顿多项式N4（x）中，得到：

f（0.596）≈N（0.596）＝0.63192

8.提示：

求l0（x）的牛顿插值多项式。

9.

10.y＝－0.145x2＋3.324x－12.794

第4章数值积分与微分

1.m次代数精度求积公式

对于任意不超过m次的代数多项式都准确成立，而对某一个m＋1次代数多项式不成立。

2.牛顿――科茨求积公式：

截断误差

（1）科茨系数：

（k＝0，1，2，…，n），有两条性质。

（2）牛顿――科茨求积公式的求积系数：

Ak＝

（k＝0，1，2，…，n）

（3）常见牛顿――科茨求积公式

梯形公式

截断误差：

R1[f]＝

复化梯形公式

，M2＝

抛物线公式

复化抛物线公式