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1、 |xx*|0.0015260.51013即 l3，故 x3.14 有 3 位有效数字。x3.14 准确到小数点后第 2 位。 又近似值 x3.1416，它的误差是 0.0000074，有 |xx*|0.00000740.51015即 m1，l5，x3.1416 有 5 位有效数字。 而近似值 x3.1415，它的误差是 0.0000926，有 |xx*|0.00009260.51014即 m1，l4，x3.1415 有 4 位有效数字。 这就是说某数有 s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有 s 位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有 s 位或 s1 位有效数字。 例

2、2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 0.002 00 9 000 9 000.00 解 因为 x12.000 40.200 04101，它的误差限 0.000 050.510 15，即 m1，l5，故 x12.000 4 有 5 位有效数字。相对误差限 x20.002 00，误差限 0.000 005，因为 m2，l3，x20.002 00 有 3 位有效数字。相对误差限 r0.000 005/0.002 000.25%。 x39 000，绝对误差限为 0.5，因为 m4，l4，x39 000 有 4 位有效数字，相对误差限 r0.5/9 0000.

3、005 6%。 x49 000.00，绝对误差限 0.005，因为 m4，l6，x49 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为 r0.005/9 000.000.000 056%。 由 x3 与 x4 可以看到小数点之后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的。 例3 ln20.69314718，精确到 103 的近似值是多少？ 解 精确到 1030.001，即绝对误差限是 0.05，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln20.693。 三、练习题 1. 设某数 x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是 。 2. 设某数 x*，它的精确到 104 的近似值应取小数点后 位。 3.

4、 （ ）的 3 位有效数字是 0.236102。 （A） 235.54101 （B） 235.418 （C） 2354.82102 （D） 0.0023549103 4. 设 a*2.718181828，取 a2.718，则有（ ），称 a 有四位有效数字。 （A） |aa*|0.5104 （B） |aa*|0.5 （C） |aa*|104 （D） |aa*|0.0003 5. 设某数 x*，对其进行四舍五入的近似值是（ ），则它有 3 位有效数字，绝对误差限是 0.5104。 （A） 0.315 （B） 0.03150 （C） 0.0315 （D） 0.00315 6. 以下近似值中，保留四

5、位有效数字，相对误差限为 0.25103。 （A） 0.01234 （B） 12.34 （C） 2.20 （D） 0.2200 7. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。 （1） 2.1514 （2） 392.85 （3） 0.003922 8. 已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差： （1） 13267 e r0.1% （2） 0.896 e r10%9. 已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。 （1） 0.3941 e0.25102 （2）293.481 e0.1 （3） 0.00381 e0.1104 10. 已知各近似值及其相对误差，试确定各数

6、的有效位数。 （1） 1.8921 e r0.1102 （2） 22.351 e r0.15 （3） 48361 e r1% 四、练习题答案 1该数有效数字第四位的一半。 2 . 五 3. （A） 4. （B） 5. （C） 6. （D） 7. （1）2.15, e0.14102，e r0.65103；（2） 393，e0.15，e r0.38（3）0.00392，e0.2105，e r0.51103 8. （1） e0.1310 2；（2） 0.9101 9. （1） 2；（2）3；（3）2 10.（1） 3；（2）1；（3）2 第15章 线性方程组的数值解法 1. 高斯顺序消去法 解线性方

7、程组AXb，对增广矩阵 顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中， 注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。 2. 高斯列主元消去法 在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元 ， （ k1，2，3，n1） 把第r行作为主方程，做第k次消元。 把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。 3. 雅可比迭代法（简单迭代法） 解线性方程组AXb的雅可比迭代法公式为 （ k0，1，2，） 4. 高斯赛德尔迭代法 解线性方程组AXb的高斯赛德尔迭代法公式为 （i1，2，n；k0，1，2，） 5解的收敛性定理 【定理1

8、】 高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。 【定理4】（迭代法基本定理） 设线性方程组XBXf对于任意初始向量X （0）及任意f，对应此方程组的迭代公式 X （k1）B （k）Xf 收敛的充分必要条件是 ,其中 i （ i1，2，n）为迭代矩阵B的特征根。当 i为复数时，| i|表示 i的模。 【定理6】（迭代法收敛的充分条件）设线性方程组AXb， （1） 若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法收敛； （2） 若A为对称正定矩阵，则高斯赛德尔迭代法收敛。 注：设矩阵A a

9、ij n，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵。 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x31，x21，x11，原线性方程组的解为X（1，1，1）T。 例2 取初始向量X（0）（0，0，0）T，用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 （k1，2，3，） 第1次迭代，k0 X（0）0，得到X（1）（1，3，5）T 第2次迭代，k1 X（2）（5，3，3）T 第3次迭代，k2X（3）（1，1，1）T 第4次迭代，k3 X（4）（1，1，1）T 例3 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。 解 选a212为主元

10、，作行互换，第1个方程变为：2x12x23x33，消元得到是应填写的内容。 2. 用选主元的方法解线性方程组AXb，是为了（ ） （A） 提高计算速度 （B） 减少舍入误差 （C） 减少相对误差 （D） 方便计算 答案：选择（B） 3. 用高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 （k0，1，2，） 解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。 4. 当a （ ）时，线性方程组 的迭代解一定收敛。 （A） 6 （B） 6 （C） 6 （D） 6或6（D）当|a|6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛。 2. 用高斯

11、赛德尔迭代法求解线性方程组取初始值（4.67，7.62，9.05）T，求二次迭代值。 3. 证明线性方程组的迭代解收敛。 4. 用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是 5. 用列主元消去法解线性方程组 ，第1次消元，选择主元为（ ） （A） 3 （B） 4 （C） 4 （D）9 1. X（4，1，2）T 2. （4.666 19，7.618 98，9.047 53）T 3. 提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。 4. 线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。 5. （C）第2章 函数插值与最小二乘拟合 1. 函数插值 已知函数f（x）的n个函数值ykf（xk），k0，

12、1，2，n。构造一个多项式P（x），使得P（xk）yk。P（x）就是插值多项式，f（x）就是被插函数，xk就是插值节点。误差R（x）f（x）P（x）。 2. 拉格朗日多项式 称n次多项式Pn （x）y0l0y1l1ynln 为拉格朗日插值多项式，其中基函数 （i0，1，2，n） 当n1时，线性插值 P1（x）yklk（x）yk+1lk+1（x）其中基函数 当n2时，得到二次多项式，就是二次插值。 拉格朗日插值多项式的余项为 : ,其中（a，b） 注意：过n1个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n的多项式。 3. 均差与牛顿插值多项式 函数值与自变量的差商就是均差， 一阶均差 （或记作fx0，

13、x1）； 二阶均差 （或记作fx0，x1，x2） 均差有两条常用性质：（1）均差用函数值的线性组合表示；（2）均差与插值节点顺序无关。 用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式Nn（x）f（x0）fx0，x1（xx0）fx0，x1，x2（xx0）（xx1） fx0，x1，x2，xn（xx0）（xx1）（xx2） （xxn-1） 牛顿插值多项式的余项为：R n（x）f（x）Nn（x） fx，x0，x1，x2，xn（xx0）（xx1）（xx2） （xxn1）（xxn） 4. 分段线性插值 已知n1个互异节点x0，x1，xn构造一个分段一次的多项式P（x），且满足：（1）P（x）在a，b上连续；（

14、2） P（xk）yk （k0，1，2，n）；（3）P（x）在xk，xk+1上是线性函数。 分段线性插值函数 其中lk（x）（k0，1，2，n）是分段线性插值基函数。 （i1，2，n1） 5. 三次样条插值函数 （k0，1，2，n1） （xkxxk1）其中S（xk）mk （k0，1，2，n），hkxk+1xk （k0，1，2，n1），m 0，m1，mn满足的方程组是 （*） 其中： （k1，2，n1） （1） 当已知S（x0）y0，S（xn）yn时，（*）式中 01，n1， （2） 当已知S（x0）y0m0，S（xn）ynmn时，（*）式化为 6. 最小二乘法 用（x）拟合数据（xk，yk） （

15、k1，2，n），使得误差的平方和 为最小，求（x）的方法，称为最小二乘法。 （1） 直线拟合 若 ，a0，a1满足法方程组 （2） 二次多项式拟合 若 ，a0，a1，a2满足法方程组 例1 已知函数yf（x）的观察数据为xk 245yk 13试构造拉格朗日多项式Pn（x），并计算P（1）。 只给4对数据，求得的多项式不超过3次 解 先构造基函数所求三次多项式为 P3（x）= P3（1） 例2 已知函数yf（x）的数据如表中第1，2列。计算它的各阶均差。 解 依据均差计算公式，结果列表中。k f（xk）一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0.400.410 750.550.578 151.1

16、16 0020.650.696 751.168 000.280 0030.800.888 111.275 730.358 930.197 330.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34 计算公式为（k0，1，2，3） （k0，1，2） 三阶均差 （k0，1） 四阶均差 例3 设x0，x1，x2，xn是n1个互异的插值节点，lk（x） （k0，1，2，n）是拉格朗日插值基函数，证明： （1） ；（2） （m0，1，2，n） 证明 （1） Pn（x）y0l0y1l1ynln 当f（x）1时，1 由于 ，故有 （2） 对于f（x）xm，m0，1，2，n，

17、对固定xm （0mn），作拉格朗日插值多项式，有当nm1时，f （n+1） （x）0，Rn（x）0，所以 对于次数不超过n的多项式 ，利用上结果，有 = 可见，Qn（x）的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。 例4 已知函数ex的下列数据，用分段线性插值法求x0.2的近似值。x 0.100.150.250.30ex 0.904 8370.860 7080.778 8010.740 818 解 用分段线性插值，先求基函数。 所求分段线性插值函数为所以，e0.2P（0.2）0.819 070.20.983 5690.819 755

18、例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。xkyk 4.59618816328.52542.5153155105.5 n5。a0，a1满足的法方程组是 解得a02.45，a11.25。所求拟合直线方程为 y2.451.25x 例6 选择填空题 1. 设yf（x），只要x0，x1，x2是互不相同的3个值，那么满足P（xk）yk （k0，1，2）的f（x）的插值多项式P（x）是 （就唯一性回答问题）唯一的因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设P（x）a2x2a1xa0，其中a2，a1，a0是待定数。P（xk）yk，即这是关于a2，a1，a0的线性方程组，它

19、的解唯一，因为系数行列式所以，不超过2次的多项式是唯一的。 2. 通过四个互异节点的插值多项式P（x），只要满足（ ）, 则P（x）是不超过一次多项式。 （A） 初始值y00 （B） 一阶均差为0 （C） 二阶均差为0 （D）三阶均差为0（C）因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N（x）f（x0）fx0，x1（xx0）它是不超过一次的多项式。 3. 拉格朗日插值多项式的余项是（ ），牛顿插值多项式的余项是（ ） （A） （B） fx，x0，x1，x2，xn（xx1）（xx2） （xxn1）（xxn） （C） （D） fx，x0，x1，x2，xn（xx0）（xx1）（xx2） （xxn1）（x

20、xn）（A），（D）。见教材有关公式。 4. 数据拟合的直线方程为ya0a1x，如果记那么系数a0，a1满足的方程组是（ ） （A） （B） （D） （B）因为法方程组为 由第1个方程得到 ，将其代入第2个方程得到整理得 故（B）正确。1. 已知函数yf（x），过点（2，5），（5，9），那么f（x）的线性插值多项式的基函数为 。 2. 过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4（x） 。 3. 已知多项式P（x），过点（0，0），（2，8），（4，64），（11，1331），（15，3375），它的3阶均差为常数1，一阶，二阶均差均不为0，那么P（x）是（ ） （A）二次多项式 （B）不

21、超过二次的多项式 （C） 三次多项式 （D） 四次多项式 4. 已知yf（x）的均差 那么fx4，x2，x0（ ） （A） 5 （B） 9 （C）14 （D） 8 5. 求数据拟合的直线方程ya0a1x的系数a0，a1是使 最小。 6. 求过这三个点 （0，1），（1，2），（2，3）的拉格朗日插值多项式。 7. 构造例2的函数f（x）的牛顿插值多项式，并求f（0.596）的近似值。 8. 设l0（x）是以n1个互异点x0，x1，x2，xn为节点的格朗日插值基函数试证明： 9. 已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。y 12y1 10. 已知数据对（7，3.1），（8，4.9），（9，5

22、.3），（10，5.8），（11，6.1）， （12，6.4），（13，5.9）。试用二次多项式拟合这组数据。 四、练习题答案 1. 2. 3. C 4. B 5. 6. x1 7. 给定五对点，牛顿多项式是不超过4次的多项式。N4（x）0.410751.11600（x0.40）0.28000（x0.40）（x0.55） 0.19733（x0.40）（x0.55）（x0.65）0.03134（x0.40）（x0.55）（x0.65）（x0.80） 将x0.596代入牛顿多项式N4（x）中，得到：f（0.596）N（0.596）0.631 92 8. 提示：求l0（x）的牛顿插值多项式。 9. 10. y0.145x23.324x12.794 第4章 数值积分与微分 1. m次代数精度 求积公式 对于任意不超过m次的代数多项式都准确成立，而对某一个m1次代数多项式不成立。 2. 牛顿科茨求积公式： 截断误差 （1）科茨系数： （k0，1，2，n），有两条性质。 （2） 牛顿科茨求积公式的求积系数：Ak （k0，1，2，n） （3） 常见牛顿科茨求积公式 梯形公式 截断误差： R1 f 复化梯形公式 ，M2 抛物线公式 复化抛物线公式