张益唐天才的证明Word文档格式.docx
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他曾大胆猜想：
存在无穷多对之差为2的素数。
由于人们把这种素数对称为“孪生素数”，如（3,5），（11,13），因此这一猜想被称作“孪生素数猜想”。
1849年，法国数学家阿尔方·
波利尼亚克提出了更一般的猜想（即“波利尼亚克猜想”）：
对所有正整数k，存在无穷多个素数对（p，p+2k）。
k=1时就是孪生素数猜想，而k等于其他正整数时就称为弱孪生素数猜想。
1900年，德国数学家大卫·
希尔伯特在巴黎举行的第2届国际数学家大会上发表题为《数学问题》的著名讲演。
他根据过去特别是19世纪数学的研究成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题（通称“希尔伯特问题”）；
孪生素数猜想是希尔伯特问题的第8个的一部分（和“孪生素数猜想”一起被提出的，是著名的“哥德巴赫猜想”和“黎曼猜想”）。
张益唐的论文《素数间的有界距离》就是“孪生素数猜想”的弱化版，他证明了在数字趋于无穷大的过程中，存在无穷多个之差小于7000万的素数对。
此前最接近证明孪生素数猜想的一次努力，是圣何塞州立大学的教授丹尼尔·
戈德斯通（DanielGoldston）、布达佩斯阿尔弗雷德·
莱利（Alfré
dRé
nyi）数学研究所研究员平兹（Já
nosPintz）和伊斯坦布尔海峡大学的伊尔迪里姆（CemYildirim）教授于2005年共同开展的一项工作。
不过，一直到2011年，关于孪生素数猜想的研究仍没有取得任何进展。
Goldston认为，他在有生之年可能都看不到答案，“我曾以为解开这个难题是不可能的了。
”
尽管张益唐得到的7000万这个结果看起来与2还有很大差距，但国际数学界公认这是一项伟大的成就。
英国《自然》杂志称张益唐的工作为一个“重要的里程碑”。
美国数学家丹尼尔·
戈德斯坦说：
“从7000万到2的距离相比从无穷大到7000万的距离来说是微不足道的。
”他认为，每缩小一段范围，都是在获得终极答案（k=1）道路上的一个脚印。
“你必须想像这完全是从无到有，”麻省大学波士顿分校的数学系主任埃里克·
格林贝格（EricGrinberg）说。
“我们确实不知道。
这就像我们以为宇宙无限大，没有界限，却发现它在某个地方存在终点。
”想象有一把度量绿色与红色数字的尺子。
张益唐选择了一把长度为7000万的尺子，因为这么大的数字更容易证明他的猜想。
（如果他已能证明孪生素数猜想，这把尺子的长度就是2。
）我们可以拿这把尺子沿数轴移动，无数次地将两个素数圈起来。
但圈住无穷多个数不一定就是圈住了所有的数，因为有一些情况，比如有无穷多个数是偶数，但还有无穷多个数是奇数。
同样道理，这把尺子也能沿着数轴移动无数次时，但圈不到两个素数。
从张益唐的结果来看，他的推导是成立的，存在无穷多个之差小于7000万的素数对。
接受《纽约客》采访的一位数学家解释说，这是根据鸽巢原理推出的。
假设有7000万个鸽巢和无穷多只鸽子，每只鸽子代表一个素数对。
把之差为2的素数对（鸽子）放进一个鸽巢，之差为3的放进另一个鸽巢，以此类推，把所有间隔不同的素数对（鸽子）都放进一个鸽巢。
最后，会有放了无穷多只鸽子的鸽巢，但无法知道具体是哪一个鸽巢有无穷多只鸽子，不过至少有一个鸽巢里有无穷多只鸽子。
引来全球数学家开展竞赛
发现存在无穷多个素数对的那个最大的素数间隔后，张益唐对找到间隔的最小数并不感兴趣。
他觉得这种工作纯粹只是个技术活，一种体力劳动——一位杰出的数学家把这种行为叫做“追赶救护车”。
不过，张益唐研究成果面世不到一周，就引来全世界数学家的围观，他们竞相刷新这个最小距离数。
围观者当中就有31岁即获得“菲尔茨”奖（数学界的最高荣誉）的著名数学家陶哲轩（TerenceTao，生于澳大利亚的华人家庭），他现在是加州大学洛杉矶分校的教授。
他希望建立一个合作项目，让数学家一起工作去寻找更小的数字，而不是“抢夺领先的位置”。
他建立的这个项目名为Polymath-8（博学者8号难题），于2013年6月正式启动，持续了大约一年时间。
凭借英国一位年轻数学家JamesMaynard的贡献，项目参与者逐渐将无穷多个素数的差缩减到246。
但“数字减小的同时也发现一些问题，”陶哲轩说，“需要越来越多的计算机资源——有人为了做一个计算要让一台高性能的计算机运行两周。
此外也有些理论上的问题。
用现在的方法，我们不可能得到比6（即k=3）更好的数字。
因为存在奇偶校正问题，没有人知道如何绕过这个槛。
”陶哲轩说：
“我们并没有强烈地认为，我们可以把数值减小到2，从而证出孪生素数猜想，但这是段有趣的旅程。
张益唐对数学最重要的贡献
张益唐的方法，本质上是筛法，而筛法的一大问题，是所谓的“奇偶性问题”。
有学者撰文介绍称，简单来说，如果一个集合中所有数都只有奇数个素因子，那么用传统的筛法无法有效估计这个集合至少有多少元素。
而素数组成的集合，恰好属于这种类型。
要想打破奇偶性问题的诅咒，可以将合适的新手段引入传统筛法，藉此补上筛法的缺陷。
张益唐的出发点——之前提到的Goldston、Pintz和Yildirim的结果——正是这种新思路的成果。
当张益唐在办公室被问到当时是如何找到解开问题的钥匙的。
他在白色黑板上写下：
“Goldston-Pintz-Yildirim”和“Bombieri-Friedlander-Iwaniec”。
他说：
“第一篇论文是关于有界距离的，第二篇是关于在等差数列中的素数分布的。
我把这两篇论文做了比较，加上我自己的创新，这些创新是基于我在图书馆多年阅读而来的。
普林斯顿高等研究院（IAS）教授、2014年沃尔夫奖得主彼得·
萨纳克（PeterSarnak）在谈到张益唐是如何取得现在的结果时说：
“他所做的事看起来都遥不可及。
这个问题在40年前或许毫无希望，但2005年，Goldston-Pintz-Yildirim三人的工作使这个问题有了解决的曙光，让每个人都觉得已经非常接近结果了。
但直到2011年，都还没人取得任何进展。
Bombieri、Friedlander与Iwaniec（伊万尼克，解析数论大师）做了其他方面的重要研究，但似乎无法将他们的成果与此前Goldston的研究联系起来。
因为他们的研究不够灵活——带有某些附加条件。
然后张益唐出现了。
很多人像使用电脑那样使用定理。
他们认为，如果定理是正确的，那很好，我就可以用它。
但是你不能使用Bombieri-Friedlander-Iwaniec的工作，因为它不够灵活。
你得相信我的话，因为即便对一个认真的数学家来说，这也很难解释。
张益唐对技巧理解得足够深刻，所以他才能够修正Bombieri-Friedlander-Iwaniec的工作，跨越这个门槛。
这是他对数学最重要的贡献。
他将Bombieri-Friedlander-Iwaniec对素数分布的分析技术改进成研究任何种类的素数的工具。
始于18世纪的理论因他而得到了进一步发展。
“我们的条件需要放宽，”Iwaniec说，“我们尝试过，但是我们无法去掉这些条件。
我们尝试的时间不长，因为失败后你就开始思考是不是存在一些天然的屏障，所以我们放弃了。
当他被问到对张益唐的结果是否感到意外时，Iwaniec说：
“张益唐的工作很轰动”，“他的工作是绝无仅有的。
谈起数论，有大量的美是（钟表般）精密的。
某种程度上，张益唐对解决问题的形势完全心知肚明，即便他独自一人工作，这是他惊喜的原因，随后他就令人惊讶地改进了那些论文中的参数。
张益唐利用的筛法是一种非常复杂的寻找素数的形式。
筛法是阿基米德时代的希腊数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）发明的。
其方法是，比如要找出1000以内的素数，就要写下所有的数字，然后划掉2的倍数，再划掉3的倍数，5的倍数，以此类推，最后剩下素数。
在“埃氏筛法”后，有一些数学家陆陆续续做过一些改进。
而张益唐使用的筛法不同于别人用过的筛法。
随着素数间隔的增大，先前的筛法网出的素数对的间隙越来越大，因为他们用来估计的不等式参数不精确。
Goldston-Pintz-Yildirim三人用先前的筛法已经证明，存在无穷多个素数对，它们之间的距离总是小于连续素数的平均距离，但不能确定这个距离是多少。
张益唐部分成功地精细化了筛法的选择性。
部分孪生素数。
灵感来临的刹那
张益唐曾经在素数的有界距离问题上埋头苦干了三两年而一无所获。
他说那时看不到任何希望。
“我一直在想，解决问题的大门在哪。
”张益唐说：
“历史上许多数学家相信这个问题是能解决的，但他们都没找到门路。
我尝试过几种办法后，开始有点担心这个问题没有解决的办法。
“你那时沮丧吗？
“我觉得很疲倦。
”他说：
“但很多时候我很平静。
我喜欢散步时思考，这就是我的工作办法。
我妻子来看我时会问我在做什么，我回答她说，我的工作就是思考（I’mworking，I’mthinking）。
然而转机出现了。
2012年7月3日下午，灵感突然而至，只有5-10分钟的时间，解决问题的大门向他敞开了。
彼时，张益唐正在科罗拉多州普韦布洛的朋友指挥家齐光（JacobChi，华人指挥家）家中做客。
齐光是科罗拉多州立大学普韦布洛分校的音乐教授。
几个月之前，齐光请张益唐来家兑现他早前承诺教齐光儿子朱利尔斯（Julius）微积分的承诺，因为Julius那时正要升入高中。
就这样，张益唐在齐光家中住了一个月。
每天早上，他教Julius大约一小时数学。
“他没有固定的教程，”Julius说，“所有东西都在他脑子里。
他甚至连电话号码本都没有，所有人的电话他都记得。
张益唐来科罗拉多前在数学上一筹莫展，本打算休息一下，所以没带任何书本。
7月3日那天，他在齐光家的后院里转悠。
“我们住在山里，有时候会有梅花鹿来我的院子，他当时抽着烟等着看是否会有鹿来”齐光说。
“那天没等来鹿，我就像往常一样边走边想事。
”张益唐说，他就这么漫无目的地走，大约转悠了半个小时。
数学家雅克·
阿达玛（JacquesHadamard）在1945年出版的著作《数学领域的发明心理学》里引用另一位数学家的话说：
“通常当我独处的时候，我会发现自己进入了另一个世界。
有关数的灵感似乎萌发了出来。
一瞬间，各种问题的答案都出现在眼前。
”在齐光家的后院，张益唐经历的正是与此相仿的一番体验。
“我明白了数字、方程一类的东西，虽然很难说清到底是什么。
”张益唐说，“有时候感觉非常奇特。
可能是数字、可能是方程，也可能是幻觉。
我知道还有很多细节有待填补，但我应该做出证明。
想到这，我就回屋了。
张益唐没和齐光谈起他的意外发现。
那天晚上，齐光指挥了为纪念美国独立日7月4日举行的美国音乐会的彩排演出，张益唐和他一起去了。
“音乐会结束后，张益唐情不自禁地不断哼唱美国国歌《星条旗永不落》。
”齐光说：
“他全部想说的就是：
‘这曲子太好了！
’”
被震惊的《数学年刊》
2012年底，距在齐光家后院里得到重要灵感后大约半年，张益唐完成了论文《素数间的有界距离》（“BoundedGapsBetweenPrimes”），并开展了几个月“枯燥”的系统性检查。
2013年4月17日，没有告诉任何人，张益唐将论文投给世界数学界最负声誉的《数学年刊》（AnnalsofMathematics）。
在此之前，张益唐唯一发表过的论文就是2001年在《杜克数学学报》上发表的关于黎曼猜想的论文，和一篇1985年在中国读书期间发在国内《数学学报》上的文章，而其关于“雅可比猜想”的博士论文则由于涉及的引理不能确认正确而没有发表。
《数学年刊》保留有很多未发表的论文，它们都声称解决了人们能够想到的每一个数学难题，以及并不存在的问题。
其中一些作者“知道很多数学知识，然后变得癫狂了。
”一位数学家说，这些人常常声称，其他人解决数学难题的努力都是错误的；
或宣布他们一次解决了好几个难题，或声称利用物理学的统一场论解决了一个著名难题。
诸如像《数学年刊》这样的期刊总是对那些从未听说过的投稿人的成果持怀疑态度。
2013年，《数学年刊》收到950篇论文，接受37篇。
接受与出版之间的等待通常是一年左右。
收到一篇论文时，“要快速浏览，找有价值的看，”普林斯顿大学教授、《数学年刊》的编辑尼古拉斯·
卡茨（NicholasKatz）说，然后才是花上几个月的细读。
“我没法随随便便评价这篇论文，我的任务是知道问谁。
”Katz说，“在这种情况下，对方很快回信说，‘如果这是正确的，那真的太棒了。
但你得小心点。
这家伙曾贴出过一次论文，而且是错的。
他从未发表它，但也没把它撤下。
”这位审稿人指的是张益唐曾在2007年于arxiv.org网站上贴出来的一篇论文。
在把论文交给正式期刊发表前，数学家通常将论文贴在这个网站上，以便让别人更快看到。
张益唐贴出的这篇论文，当时未能达成证明。
这篇论文涉及另外一个著名问题——Landau-Siegel零点猜想，张益唐把这篇文章留在arxiv上就是希望有人能修正它。
卡茨将《素数间的有界距离》寄送给两位审稿人。
其中一位是解析数论大师，格罗斯大学的数学教授伊万尼克。
“我粗略看了几分钟，”伊万尼克说，“第一印象是：
有太多的错误判断。
我还有其他工作要做，或许可以推迟评审。
要知道他可是个寂寂无名的家伙。
然后我接到一个朋友的电话，他正好也在阅读这篇论文。
我们本来要在普林斯顿高等研究院（IAS）待上一周做些其他的工作，但审阅这篇论文打断了我们的计划。
伊万尼克和多伦多大学的教授约翰·
弗里德兰德（JohnFriedlander）开始更加专注地阅读这篇论文。
“这种情况下，你不能从头读到尾，”伊万尼克说，“首先要看它的要点在哪。
2005年以来就没人写这个问题的文章了。
它太难了。
但随着我们读得越来越多，我们发现这篇论文真的越来越可能是正确的。
大概两天后，我们开始寻求论文的完整性，寻求每个环节之间的关联。
几天后，我们开始逐行核对。
此时这个工作就不好干了，我们要看看论文是不是全部正确。
几周后，伊万尼克和弗莱兰德写信给卡茨，“我们已经完成对张益唐所著论文《素数间的有界距离》的研究，”他们写道，“这项研究是一流的。
作者成功证明了一个关于素数分布的里程碑式的定理。
”同时，“尽管我们非常仔细地研究论文，我们也很难找到哪怕最小的错误…我们很高兴地强烈推荐贵刊接受并发表此论文。
张益唐接到《数学年刊》的消息后，他给在圣何塞市的妻子打电话说：
“你最近留意一下媒体和报纸，也许会看到我的名字。
”妻子说：
“你喝多了吧？
又胡说什么？
犹如“文艺复兴之美”
张益唐天生迷恋数学。
他1955年出生在上海。
母亲在机关工作，父亲是电气工程方面的教授，但由于工作关系，父亲没有机会教他数学。
张益唐还是个孩子的时候，开始“试着了解所有跟数学有关的东西”，并且“变得对数学充满渴求。
”后来他的父母因为工作迁居北京，将他留在上海随外婆生活。
“文革”开始后，学校教育中断，他把大部分时间花在看数学书上，这些数学书全是他从书店弄来的便宜货。
他还非常喜欢看《十万个为什么》，这套书分别有物理、化学、生物和数学卷。
当他遇到弄不懂的东西时，他说“我试着自己解决问题，因为没人能帮我。
13岁的时候，张益唐搬到了北京，15岁随母亲下放农场，他父亲也被下放到另一个农场。
在农场，如果别人发现你在看书就会阻止你，因为“数学对阶级斗争没用”。
几年后，张益唐回到北京，后在一家锁具厂当工人。
不久后，他开始琢磨参加北京大学的入学考试，“我花了几个月时间自学了所有高中物理和化学，也学了点历史，但时间不太够。
”23岁时，张益唐终于成为北大数学系“78级”的学生。
“第一年我们学微积分和线性代数，我非常兴奋。
”张益唐说，“最后一年时，我选了数论作为我的专业方向。
”然而，非常欣赏张益唐的老师丁石孙（时任北大数学系主任，后出任北大校长），坚持让他把专业方向换到自己的领域代数几何上来。
“我学过代数几何，不太喜欢。
”张益唐说，“但那时中国人的观念是，个人必须得服从集体和国家利益。
他认为代数几何比数论重要，所以让我换方向，他又是系主任，他有这个权威。
1984年夏季，台裔数学家，代数几何专家莫宗坚（T.T.Moh）从普渡大学访问北大，见到了张益唐和其他几个学生。
当时莫宗坚想找个国内的学生帮他做，丁石孙就把张益唐推荐给了他。
莫宗坚的主要工作之一就是雅可比猜想，而张益唐对雅可比猜想很有热情，后来就跟随莫宗坚去普渡大学读博士。
雅可比猜想于1939年提出，是代数几何领域中的一个难题，至今未得到证明，远不是硕博研究生水平的人能解决的，必须得最优秀的代数几何专家才行。
一位数学家将雅可比猜想称为“灾难性问题”，因为它引发更多的棘手问题。
后来的事，张益唐不愿意多讲。
他的博士论文就是证明雅可比猜想。
然而他博士论文用到的一个由莫宗坚证明的引理后来被他认为不一定正确，这导致师生关系变得微妙。
拿到博士学位后，张益唐告诉莫宗坚，他将重回数论领域。
“我当时不太高兴，”莫宗坚在发给《纽约客》记者的信里说：
“然而我护卫学生改换研究领域的权利，所以我友好地跟他告别了。
这22年来，我对他的情况一无所知。
数论是纯数学的一个分支，与应用数学相反，纯数学只是头脑游戏，不带有实际目的。
纯数学近于艺术和哲学，张益唐说“我的工作百无一用”。
英国数学家哈代1940年时曾在其具有自传性质的《一个数学家的自白》中写道，数学是“所有艺术和科学中最简朴和最出世的”。
罗素说，数学是流落现实世界之外的避难所。
哈代非常信奉数学所能具有的精确美感。
就像张益唐所做的工作，哈代说数学证明“应该像夜空中轮廓清晰的星座，而非银河系中四散分布的星团。
”加州大学伯克利分校的数学教授爱德华·
弗伦克尔（EdwardFrenkel）说，张益唐的证明拥有“文艺复兴之美”，尽管深邃繁复，但思路清晰明了。
简朴出世的个性犹如数学
由于博士论文有点问题所以未发表，莫宗坚也没给张益唐写推荐信，这两点导致张益唐找工作时四处碰壁，只好“流浪”各州。
其间他关于雅可比猜想的论文被一位教授评价为是该领域中水平最高的，但追求完美的张益唐认为其中一个问题没有解决，只是个普通成果，坚持不肯发表。
他在肯塔基州干过一份临时工，有时住在那里的朋友家，他也在纽约打临时工时蹭过朋友的住处。
在肯塔基的时候，他介入一个口号“自由、民主、法治、多党制”的华人团体。
其中一位成员是某实验室的化学家，他开了一家赛百味加盟店。
“自从发现Tom（张益唐的英文名）在数字上的天赋后，”该团体的另一名成员说，“就有人请他帮助张益唐”。
于是，张益唐就在他的店里管账。
“有时店里非常忙，我还帮着收银，”张益唐说，“即便我会做三明治，我也不想做。
”张益唐不工作的时候，常去肯塔基州大学的图书馆读代数几何和数论方面的期刊文献。
但张益唐说：
“那些年，我确实没再追求我的数学梦想”，“我经常过得不太容易。
毕业后，大多数中国学生进入计算机或金融领域工作，张益唐在北大数学系的师弟唐朴祁（PerryTang）就是其中之一，他在英特尔公司工作。
1999年，他打了个电话给张益唐想要帮助他。
他说“我认为张益唐没有一份有专业性工作是不公平的”。
正好，北大的另一名同学，已成为新罕布什尔大学教授的葛力明，有次说起正寻觅一位教微积分的讲师时，唐朴祁立刻向他推荐了张益唐。
但讲师职位只是编外的，并不稳定，而且薪水很低，更别提能有研究经费，但张益唐总说非常感激在新罕布什尔的岁月，因为这份工作让他有了学校图书馆的资源可以利用。
哪怕是张益唐出名后被跳级直升教授后，他在接受一些采访时也说，不大关心金钱和荣誉，最看重是否有个合适的环境能安心做自己的数学。
格林贝格于2003年—2010年间在新罕布什尔大学和张益唐做过同事，他说“Tom特别谦逊，不爱出风头，也从不要求什么。
张益唐总是很低调，他的举止也显得拘谨而谦恭有礼。
接受《纽约客》采访时，记者发现他常用“可能”、“不太”、“可能不太”来作答。
他还有点内向，经常用“我们”来指代“我”，比如他会说“我们可能不认为这种方法有多重要”。
在开口说话前，他偶尔还要沉吟一下。
他的朋友齐光说：
“有时我带他去参加聚会，他不跟人说话，但把每个人都记在心里了。
有回我跟他说，‘出于礼貌，去跟大家说说话吧。
’而他回答：
‘我喜欢听你们说。
’没想到过了六个月，他还可以说出当时谁坐在哪里，谈话由谁起头的，而且还能复述别人都说了些什么。
“我大概是觉得社交太浪费时间，”张益唐说，“也可能我多少有点害羞。
在投出自己论文后，张益唐被邀请访问IAS六个月。
一部名叫“大海捞针”（CountingfromInfinity）的关于张益唐的纪录片里，IAS的彼得·
萨纳克说，有一天他偶然碰见了张益唐，于是跟他打招呼，张益唐回应过他的招呼后说，这是10天来他第一次跟别人说话。
萨纳克想，即便是对一个数学家来说，这也太过了点，于是他邀请张益唐每周来和他共进一顿午餐。
芝加哥大学数学教授MatthewEmerton也在IAS碰到过张益唐。
“他不是一个平常人，”Emerton说，“他不合群，我印象里他非常内向。
可能大多数数学家对拿奖的事都非常低调，但他看上去实在太低调了，好像得奖对他一点影响都没有。
纽约大学理工学院教授杨鼎（DeaneYang）2013年时于哥伦比亚大学参加过三次张益唐的报告会。
“你以为你会看到一个想显示自己有多么聪明的这么一个人，但张益唐在他无比出色的报告会上，一点都没显摆过什么。
”在投出论文之后，张益唐受哈佛大学教授丘成桐的力邀，第一次将他的成果拿出来在该校讲学。
那次大约有50个人出席了报告会。
出席者之一，一位哈佛数学教授觉得张益唐的报告“相当地难以理解”，他说“这些材料很难通过语言描述，因为每一个关键的要害处都是建筑在对精巧的技术理解之上的。
”另一位哈佛的教授BarryMazur则说，自己完全被张益唐所表现出的坚韧和勇敢独立的样子震撼了。
几年前，张益唐卖掉了他的汽车，因为他确实用不上。
他在离学校4英里远的地方租了间公寓，和学生一起搭校车往返。
他经常坐在公交车上思考。
每周7天，他总是在早上八九点钟到办公室，晚上六七点回家。
最长一次没考虑数学问题的时间是两个星期。
有时，他想着数学问题睡着了，早上又在对这个数学问题的思考中醒来。
他喜欢在办公室外的一个长走廊上来回踱步，或者干脆去外边走走。
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