托勒密定理与三弦定理的关系Word文件下载.docx
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我們若將圓的半徑看成可以無限增大,當半徑趨向無限大時,這時,托勒密定理中的共圓四點（即圓內接四邊形的四個頂點）,可
以看成一條直線上的四點,圓轉化成直線。
顯
........
..
....
..
....
.
......
......
...
然,尤拉定理就成為托勒密定理的特例了。
....
...
...
我們若將上述的命題置於球面上來看,
...
球面上的直線是一個大圓,也就是說是封閉
....
O•.....
...
....
的。
由此,也可以清楚地看到尤拉定理與托勒
....
....
.....
.....
A..
密定理的統一,是直線與圓的統一。
現在舉一個例子:
設ABCD為圓內接凸四邊形,則
ACDA·
AB+BC·
CD
圖1
=,
BDAB·
BC+CD·
DA
54
托勒密（Ptolemy）定理與“三弦定理”的關係55
如圖2
............
..........
得到了證明。
同樣,我們可以將ABCD的外接圓半徑趨於無窮大（即這時∠B→180◦,∠C→180◦,∠A→0◦,∠D→0◦）這時凸四邊
.....
形ABCD已經轉化為在一直線上順序之四
....
....
...
點A,B,C,D。
此時,其結論仍舊不變,當
然,我們也可以直接把它證明。
.......
.......
..
....
由此,我們可以導出一個新命題（定理）:
.....
....
若A,B,C,D,為一直線上順序的四
點,則
AC
DA·
=.
圖2
證:
設ABCD凸四邊形的外接圓半徑為R,作BE⊥AC交AC於E,作DF⊥AC交AC於F,如圖2,
∵AC（AB·
DA）
=AC（2R·
BE+2R·
DF）
=2R·
AC（BE+DF）
=2R（AC·
BE+AC·
當然,我們也可以說,若將圓的半徑趨於無限
大,則後面的新命題（定理）就是前面定理的特例。
下面我們再舉一個例子（亦即不久前在浙江日報刊登的遼寧省侯明輝老師發現的
“三弦定理”
=2R（2
∫△ABC
+2∫△ACD）
...
=4R·
∫.
ABCD
同理,BD（DA·
CD）
∫ABCD。
∴AC（AB·
DA）.
=BD（DA·
CD）.
但BD=ƒ0,AB·
DAƒ=0,圖3
∴BD=AB·
如圖3,設A為圓O的圓周上一點,過
56數學傳播26卷1期民91年3月
A任作三弦AB,AC,AD,則
AC·
sin∠BAD
=AB·
sin∠CAD+AD·
sin∠BAC。
很明顯,這是將托勒密定理中的邊與邊之間
的關係轉化為邊與角之間的關係。
事實上,我們只要應用托勒密定理來證
即可得到這個“三弦定理”。
既然有過A點的三弦AB,AC,
AD,則連結BC、CD,必得到一個圓內接
如果有同一頂點的三條線段AB,AC,
AD,它們的夾角分別為∠BAC,∠CAD,
∠BAD,且具有下列關係:
AC·
sin∠BAC,則A,B,C,D,這四點必共圓。
也即線段AB,AC,AD為同一圓上且有公共頂點A的三條弦。
現在來證明“三弦定理”的逆命題。
.....
....
四邊形ABCD,如圖3。
.....
.....
又.....C.
∵△ABD,△ABC,△ACD都內
接於同一個圓。
設該圓的半徑為R,則應用正
......
.....
..O•
弦定理即可得到
.......
.....
BC
2R·
sin∠CAD
+AD·
sin∠BAC
BD=AC·
圖4
由托勒密定理知,
BC=AC·
BD。
∴2R·
ABsin∠CAD+2R·
AD·
sin∠BAC
sin∠BAD。
即
=AC·
於是得出了“三弦定理”,並得到了證明。
所以可以說,“三弦定理”是一個新命題
（定理）,也是托勒密定理的一個推論。
“三弦定理”的逆命題也是可以證明的。
如圖4,有公共端點A的三條線段AB,AC,AD,且它們的長度與相互間的夾角具有下列關係:
sin∠BAC.
則A,B,C,D四點共圓。
過不在一直線上的三點A,B,D作一圓O,交AC（或延長線上）於C′點,並設圓O的半徑為R,連結BC′,DC′,構成一個圓內接四邊形ABC′D,於是,由“三弦
托勒密（Ptolemy）定理與“三弦定理”的關係57
定理”可得,
AC′·
sin∠C′AD+AD·
sin∠BAC′
但已知
而A,C,C′共線,
∴∠BAC=∠BAC′,∠CAD=∠C′AD
∴AC′·
sin∠BAD=AC·
sin∠BAD.
∴AC′=AC,即C′≡C.
但A,B,C′,D共圓,∴A,B,C,D
共圓。
這就是說,AB,AC,AD為過同一頂
點A在圓O上的三條弦,得到了證明。
由此可知,“三弦定理”的逆定理也是存在的。
當然,我們若把“三弦定理”當作原始的定理則也可以推出托勒密定理。
後者同樣可以成為前者的推論,然而托勒密定理發現於公元後二世紀,距今已有一千八百多年,因而我們只能說“三弦定理”是托勒密定理的推論。
由於“三弦定理”敘述簡明,且在計算上便於應用,稱它為三弦定理也是合乎情理的。
正像托勒密定理與尤拉定理的關係相類似。
以上只是我個人的一點看法,不知妥當
否?
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