专题22 认识三角形拓展提高解析版.docx

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专题22认识三角形拓展提高解析版

专题2.2认识三角形（拓展提高）

一、单选题

1．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（　　）

A．10B．11C．12D．13

【答案】D

【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．

【详解】解：

设第三边为a，

根据三角形的三边关系，得：

5-2＜a＜5+2，

即3＜a＜7，

∵a为整数，

∴a的最大值为6，

则三角形的最大周长为6+2+5=13．

故选：

D．

【点睛】此题考查了三角形的三边关系：

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，CD=3BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是（）．

A．10cm2B．9cm2C．8cm2D．7cm2

【答案】B

【分析】连接CF，设S△BFD=a，根据CD=3BD，点E是AC的中点，得出S△CFD=3a，S△ABF=S△CBF=4a，S△ABD=5a，即可得出S△ADC=15a，S△AFC=12a，S△ABC=20a，进而得出S四边形DCEF=9a，从而得出S四边形DCEF=S△ABC，当△ABC的面积取最大值时，四边形DCEF的面积的最大，求得△ABC的面积的最大值，即可求得结果．

【详解】解：

连接CF，

设S△BFD=a，

∵CD=3BD，

∴S△CFD=3a，S△ADC=3S△ABD，

∵点E是AC的中点，

∴S△ABE=S△CBE，S△AFE=S△CFE，

∴S△ABF=S△CBF=4a，

∴S△ABD=5a，

∴S△ADC=15a，

∴S△AFC=12a，S△ABC=20a，

∴S△EFC=6a，

∴S四边形DCEF=9a，

∴S四边形DCEF=S△ABC，

∵在△ABC中，AB=5，AC=8，

∴S△ABC的最大值为：

×5×8=20，

∴四边形DCEF的面积的最大值是9（cm2），

故选：

B．

【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等高的三角形面积的比等于它们底的比，得出S四边形DCEF=S△ABC是解题的关键．

3．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（）

A．56°B．34°C．36°D．24°

【答案】A

【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质求出∠A即可解决问题．

【详解】解：

如图，

∵a∥b，

∴∠1=∠3=58°，

∵∠3=∠2+∠A，

∴∠A=58°-24°=34°，

∵∠ACB=90°，

∴∠B=90°-34°=56°，

故选：

A．

【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

4．如图，面积为1，第一次操作：

分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到，则的面积是（）

A．4B．7C．10D．13

【答案】B

【分析】根据题意，连接A1C，得到，则，然后同理可求，，即可得到答案．

【详解】解：

连接A1C，如图

∵AB=A1B，

∴△ABC与△A1BC的面积相等，

∵△ABC面积为1，

∴．

∵BB1=2BC，

∴，

同理可得，，，

∴；

故选：

B．

【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线问题，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．

5．如图，在△ABC中，∠A＝78°，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDC，则∠BDF的度数为（　　）

A．35°B．39°C．40°D．45°

【答案】B

【分析】设，利用外角性质求出，利用角平分线性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可求出答案．

【详解】解：

设，

∵∠EBD＝∠EDB，

∴，

∵DF平分∠EDC，

∴，

∴，

∵，∠A＝78°，

∴，

解得，

故选：

B．

【点睛】此题考查三角形内角和定理，角平分线的性质定理，外角的性质，读懂图形理解各角之间的位置关系是解题的关键．

6．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】设AB与EF交于点M，根据，得到，再根据三角形的内角和定理求出结果．

【详解】解：

设AB与EF交于点M，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴,

∵,

∴=，

故选：

A．

．

【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．

二、填空题

7．如图，在中，，，将沿折叠得到，则等于__________________度．

【答案】50°．

【分析】连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求解．

【详解】解：

连接DG，根据折叠的性质，得：

，

故答案为：

50°．

【点睛】本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是作出辅助线帮助求解，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

8．如图，在中，，高BE和CH的交点为O，则∠BOC=______

【答案】

【分析】由BE、CF是△ABC的高可得，根据三角形内角和定理可得∠ABE的度数，进而可求出∠BOH的度数，根据平角的定义即可得答案．

【详解】∵BE和CH为的高，

∴，

∵，

∴在中，，

在中，，

∴．

故答案为：

．

【点睛】本题考查三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180°，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．

9．如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝__°．

【答案】52.5．

【分析】利用三角形内角和、角平分线的性质求出∠FBC+∠FCB的度数，问题即可解决．

【详解】解：

∵∠A＝40°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，

∵∠BDC＝90°，

∴∠DBC+∠DCB＝90°，

∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°，

∵BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，

∴∠FBD+∠FCD＝×50°＝37.5°，

∴∠FBC+∠FCB＝37.5°+90°＝127.5°，

∴∠F＝180°﹣127.5°＝52.5°，

故答案为52.5．

【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，关键是熟练掌握这些基本知识，这是基本的题型．

10．如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝140°，则∠A＝__°．

【答案】100

【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．

【详解】解：

如图，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，

∵∠BOC＝140°，

∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，

∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，

∴∠A＝180°﹣80°＝100°，

故答案为：

100

【点睛】本题考查了角的平分线及三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线与三角形内角和定理是解题的关键．

11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大小为____．

【答案】35°

【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的性质求得∠BAO的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可．

【详解】解：

∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，

∴OA＝OB，∠ABC＝90°，

又∵∠AOB＝70°，

∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣70°）＝55°，

∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣55°＝35°．

故答案为：

35°．

【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．

12．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．请写出∠C、∠D、∠P的数量关系____________．

【答案】2∠P＝∠D+∠C

【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义得到∠CAD+∠P＝∠CBD+∠C，∠CAD+∠D＝∠CBD+∠P，两式相减整理即可．

【详解】解：

∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，

∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C，

∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，

∴∠PAC=∠PAD＝∠CAD，∠PBC=∠PBD＝∠CBD，

∴∠CAD+∠P＝∠CBD+∠C①，

∵∠DEP＝∠PAD+∠D，∠DEP＝∠EBP+∠P，

∴∠CAD+∠D＝∠CBD+∠P②，

①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，

整理得，2∠P＝∠D+∠C，

故答案为：

2∠P＝∠D+∠C．

【点睛】本题考查角平分线定义，三角形外角性质，以及等式的性质，掌握角平分线定义，三角形外角性质，以及等式的性质是解题关键．

13．如图，点O是的对称中心，点E为边的中点，点F为边上的点，且．若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是______．

【答案】

【分析】根据三角形性质可得S1=，S2=，根据平行四边形性质可得，然后可以得到解答．

【详解】解：

如图，连结OC，则A、O、C三点在同一直线上，

∵O是AC中点，E是BC中点，

∴S1=，

∵DF=，

∴S2=，

∴S1：

S2=，

即，

故答案为．

【点睛】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中线的性质及平行四边形的对称性是解题关键．

14．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．

【答案】减少10

【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．

【详解】解：

∵∠A+∠B=50°+60°=110°，

∴∠ACB=180°-110°=70°，

∴∠DCE=70°，

如图，连接CF并延长，

∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，

∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，

∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，

要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，

若只调整∠D的大小，

由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，

因此应将∠D减少10度；

故答案为：

①减少；②10．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．

三、解答题

15．已知中，于点，平分，过点作直线，且，．

（1）求的外角的度数；

（2）求的度数．

【答案】

（1）100°；

（2）10°

【分析】

（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；

（2）根据角平分线的定义得到∠BAE=40°，根据平行线的性质求出∠GAD=90°，结合图形计算，得到答案．

【详解】解：

（1）∵GH∥BC，∠C=40°，

∴∠HAC=∠C=40°，

∵∠FA