福师《近世代数》20春在线作业2Word下载.docx

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I）（I：

F）

B、（F：

E）=（I：

F）（E：

I）

C、（I：

F）=（E：

F）（F：

D、（E：

D

3.18阶循环群的生成元有（）个。

A、3

B、4

C、5

D、6

4.Z₄[x]中次数不超过2的所有可逆多项式的个数是（）。

A、6

B、7

C、8

D、9

5.关于循环群的非生成元（）。

A、生成元的个数要比非生成元多

B、非生成元的个数要比生成元多

C、非生成元只能生成一个子群

D、非生成元的逆元一定不是它自身的幂

6.环Zm是无零因子环的充要条件m是一个素数。

（）

A、错误

B、正确

B

7.设G是一个群，则G的任意商群都是G的一个满同态像。

A

8.如果换R的阶≥2，那么R的单位元【14】。

9.对模n剩余类环Zn，其中n＞1，则

（1）Zn是整环；

（2）n是素数；

（3）Zn是域等价。

10.元素周期都为2的群是可换群。

11.设R是一个元素个数大于1的有限数集，则关于数的加法和乘法，R不能构成环。

12.设S₄中的两个元素【13】。

13.设R是交换环，则R中的可逆元与幂零元的和是可逆元。

14.群G的子群H是不变子群的充要条件为【7】。

15.设B₄={

（1），（1，2）（3，4）,（1，3）（2，4），（1，4）（2，3）}是克莱因四元群，则B₄是S₄的不变子群。

16.设G=（Z，+），N∈Z，H={nk|k∈Z}，则G是群，H是G的一个子群。

17.f：

A→B，S⊆A，则f⁻¹

[f（S）]=S成立。

18.若群G的每一个元都适合方程x²

=e，那么G就是交换群。

19.当等价关系R=R₁∪R₂，其中R₁{（3，3）}，R₂={（11），（22），（12）}，可使A在关系R下的分类恰为S={{1，2}，{3}}。

20.4次交错群A₄是对称群S₄的子群，则A₄中存在阶为6的子群。

21.在Z₆中f（x）=3x²

+4x+2，g（x）=2x³

+4x²

-5x-5，则f（x）·

g（x）=2x⁴+5x³

+3x²

+2。

22.下面4个矩阵【18、19】确定的3个元素集合A上的关系，

（1），（4）确定的是等价关系，

（2），（3）确定的关系都有不是等价关系。

23.A={

（1），（12）}，B={

（1），（13）}，AB={

（1），（12），（13），（132）}都是3次对称群S₃的子群。

24.A={0}表示一个集合。

25.在Z₅₃中元素【15】的逆元为【16】。

26.设f：

A→B和g：

B→C是映射，如果gf是单射，则f是单射。

27.一个变换群的单位元不一定是恒等变换。

（）。

。

28.按数的通常运算，Q[i]={a+bi|a，b∈Q}是一个域。

29.射f：

Z→Z：

n→2n，则f是单映射和环同态。

30.在Z₂[x]中，多项式x⁴+1分解为既约多项式乘积为x⁴+1=（x+1）⁴。

31.一个集合A到集合【1】的满射φ，若【20】是S的象，S也是【20】的逆象。

32.图中所示的命题是否正确【21】。

33.设R′=Zn是模n的剩余类环，令【22】，则f是Z到Zn的同态，且这个同态保持单位元不变。

34.有消去律的半群是群。

35.在环Z₂₉中元素【2】。

36.A=B=R，f=Sin：

A→B：

【24】Sinx，是映射。

37.一般情况下，如果f：

R→R′是环同态，则有f

（1）=1′。

38.设α=（2314）∈S₄，则α⁻¹

=（1234），α²

=（12）（34）。

39.若|a|=m，|b|=n，且ab=ba，（m，n）=1，则|ab|=mn。

40.只要f是A到【1】的一一映射，那么必有唯一的逆映射f⁻¹

41.A={1，2，3，4，5}，在【25】中定义~：

S~T⇔|S|=|T|，则~是等价关系。

42.设f：

R→R′是环的满同态，如果R′是交换环，R是交换环。

43.主理想环和欧氏环都是唯一分解环。

44.模n剩余类构成的交换群【26】是整数加群Z关于不变子群nZ的商群。

45.阶数为6的群一定有一个3阶子群。

46.在Z₆[x]中，当f（x）=3x²

+2x+5，g（x）=2x³

+4x+1时，f（x）+g（x）=sx³

，f（x）·

g（x）=4x⁴+4x³

+5x²

+4x+5。

47.S₃的全体元素用循环置换的方法写出来就是

（1），（12），（13），（23），（123）。

48.如果循环群G=（a）中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。

49.若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z/（p）同构的子域，这里Z是整数环（p）是由素数p生成的主理想。

50.设A={x|x∈R，x²

=-1}，因此，A为空集。