创新设计一轮复习 第四章 第5节Word格式文档下载.docx

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3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝Asinωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），A表示纯音振动的振幅（对应音强）.

4.交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin（ωx＋φ），其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）将函数y＝3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.（　　）

（2）利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.（　　）

（3）函数y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.（　　）

（4）由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.（　　）

解析　

（1）将函数y＝3sin2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos2x.

（2）“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.

答案　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）√

2.（必修4P56T3改编）y＝2sin的振幅、频率和初相分别为（　　）

A.2，4π，B.2，，

C.2，，－D.2，4π，－

解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.

答案　C

3.（必修4P62例4改编）某地农业监测部门统计发现：

该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：

月份x

1

2

3

4

收购价格y（元/斤）

6

7

5

选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系为________________________.

解析　设y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A>

0，ω>

0），

由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，

所以y＝sin＋6.

因为当x＝2时，y＝7，所以sin（π＋φ）＋6＝7，即sinφ＝－1，则φ＝－＋2kπ（k∈Z），可取φ＝－.

所以y＝sin＋6＝6－cosx.

答案　y＝6－cosx

4.（2019·

北京通州区模拟）函数y＝2cos的部分图象是（　　）

解析　由y＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；

又因为函数图象过点，故排除B；

又因为函数图象过点，故排除C.

答案　A

5.（2016·

全国Ⅰ卷）若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（　　）

A.y＝2sinB.y＝2sin

C.y＝2sinD.y＝2sin

解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D.

答案　D

6.（2018·

济南模拟改编）y＝cos（x＋1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.

解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.

答案　

考点一　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换

【例1】某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

Asin（ωx＋φ）

－5

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ>

0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象.若y＝g（x）图象的一个对称中心为，求θ的最小值.

解　

（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

且函数解析式为f（x）＝5sin.

（2）由

（1）知f（x）＝5sin，

得g（x）＝5sin.

因为函数y＝sinx图象的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）.

令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ（k∈Z）.

由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝（k∈Z），解得θ＝－（k∈Z）.

由θ>

0可知，当k＝1时，θ取得最小值.

规律方法　作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象常用如下两种方法：

（1）五点法作图，用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；

（2）图象的变换法，由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象有两种途径：

“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

【训练1】

（1）（2017·

全国Ⅰ卷）已知曲线C1：

y＝cosx，C2：

y＝sin，则下面结论正确的是（　　）

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

（2）（2018·

青岛调研）若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的一个可能取值是（　　）

A.2B.C.D.

解析　

（1）易知C1：

y＝cosx＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，因此D项正确.

（2）y＝sin和函数y＝cosωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.

∴2是ω的一个可能值.

答案　

（1）D　

（2）A

考点二　求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式

【例2】

（1）（一题多解）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为________.

（2）（2019·

长郡中学、衡阳八中联考）函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，已知A，B，则f（x）图象的对称中心为（　　）

A.（k∈Z）B.（k∈Z）

C.（k∈Z）D.（k∈Z）

解析　

（1）由题图可知A＝，

法一　＝－＝，

所以T＝π，故ω＝2，

因此f（x）＝sin（2x＋φ），

又对应五点法作图中的第三个点，

因此2×

＋φ＝π＋2kπ（k∈Z），所以φ＝＋2kπ（k∈Z）.

又|φ|<

，所以φ＝.故f（x）＝sin.

法二　以为第二个“零点”，为最小值点，

列方程组解得

故f（x）＝sin.

（2）T＝2＝π＝，∴ω＝2，

因此f（x）＝sin（2x＋φ）.

由五点作图法知A是第二点，得2×

＋φ＝，

2×

＋φ＝＋2kπ（k∈Z），所以φ＝－＋2kπ（k∈Z），又|φ|<

，所以φ＝－，∴f（x）＝sin.

由2x－＝kπ（k∈Z），得x＝＋（k∈Z）.

∴f（x）图象的对称中心为（k∈Z）.

答案　

（1）f（x）＝sin　

（2）C

规律方法　1.已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定.

2.y＝Asin（ωx＋φ）中φ的确定方法

（1）代入法：

把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入.

（2）五点法：

确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.

【训练2】

（1）（2019·

衡水中学一模）已知函数f（x）＝－2cosωx（ω>

0）的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为（　　）

A.B.C.D.

山东省重点中学质检）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象的一部分如图所示，则f（x）图象的对称轴方程是________.

解析　

（1）由题图知，T＝2＝π，

∴ω＝＝2，∴f（x）＝－2cos2x，

∴f（x＋φ）＝－2cos（2x＋2φ），

则由图象知，f＝－2cos＝2.

∴＋2φ＝2kπ＋π（k∈Z），则φ＝＋kπ（k∈Z）.

又0<

φ<

，所以φ＝.

（2）由图象知A＝2，

又1＝2sin（ω×

0＋φ），即sinφ＝，

，∴φ＝.

又×

ω＋＝2π，∴ω＝2，

∴f（x）＝2sin，

令2x＋＝＋kπ（k∈Z），得x＝＋（k∈Z）.

∴f（x）＝2sin的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.

答案　

（1）C　

（2）x＝＋（k∈Z）

考点三　y＝Asin（ωx＋φ）图象与性质的应用　

多维探究

角度1　三角函数模型的应用

【例3－1】如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米.

解析　以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一周，设∠OO1P＝θ，运动t（秒）后与地面的距离为f（t），

又周期T＝12，所以θ＝t，

则f（t）＝3＋2sin＝3－2cost（t≥0），

当t＝40s时，f（t）＝3－2cos＝4.

答案　4

角度2　三角函数性质与图象的综合应用

【例3－2】已知函数f（x）＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－（ω>

0）的最小正周期为π.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0，b]（b>

0）上至少含有10个零点，求b的最小值.

解　

（1）f（x）＝2sinωxcosωx＋（2sin2ωx－1）

＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin.

由最小正周期为π，得ω＝1，

所以f（x）＝2sin，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

整理得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）.

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin2x＋1的图象；

所以g（x）＝2sin2x＋1.

令g（x）＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋（k∈Z），

所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.

所以b的最小值为4π＋＝.

规律方法　1.三角函数模型的应用体现在两方面：

一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.

2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.

3.研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.

【训练3】

（1）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos（x＝1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温为________℃.

解析　因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；

当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，

所以y＝f（x）＝23＋5cos，

所以当x＝10时，f（10）＝23＋5cos

＝23－5×

＝20.5.

答案　20.5

（2）已知函数f（x）＝5sinxcosx－5cos2x＋（其中x∈R），求：

①函数f（x）的最小正周期；

②函数f（x）的单调区间；

③函数f（x）图象的对称轴和对称中心.

解　①因为f（x）＝sin2x－（1＋cos2x）＋

＝5（sin2x－cos2x）＝5sin，

所以函数的最小正周期T＝＝π.

②由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以函数f（x）的递增区间为

（k∈Z）.

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以函数f（x）的递减区间为

③由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），

所以函数f（x）的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.

由2x－＝kπ（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），

所以函数f（x）的对称中心为（k∈Z）.

[思维升华]

1.五点法作图及图象变换问题

（1）五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；

（2）图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.

2.由图象确定函数解析式

解决由函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.

[易错防范]

1.由函数y＝sinx的图象经过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.

2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0）的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.若ω<

0，要先根据诱导公式进行转化.

3.求函数y＝Asin（ωx＋φ）在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asint的值域.

逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解

数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；

而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.

类型1　三角函数的周期T与ω的关系

【例1】为了使函数y＝sinωx（ω>

0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为（　　）

A.98πB.πC.πD.100π

解析　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·

≤1，所以ω≥π.

答案　B

评析　解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系.

类型2　三角函数的单调性与ω的关系

【例2】若函数f（x）＝sinωx（ω>

0）在区间上单调递减，则ω的取值范围是（　　）

A.0≤ω≤B.0≤ω≤

C.≤ω≤3D.≤ω≤3

解析　令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ（k∈Z），得＋≤x≤＋，因为f（x）在上单调递减，

所以得6k＋≤ω≤4k＋3.

又ω>

0，所以k≥0，

又6k＋<

4k＋3，得0≤k<

，所以k＝0.

故≤ω≤3.

评析　根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f（x）的单调递减区间，根据函数f（x）＝sinωx（ω>

0）在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围.

类型3　三角函数对称性、最值与ω的关系

【例3】

（1）（2019·

枣庄模拟）已知f（x）＝sinωx－cosωx，若函数f（x）图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（π，2π），则ω的取值范围是________.（结果用区间表示）

（2）已知函数f（x）＝2sinωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.

解析　

（1）f（x）＝sinωx－cosωx＝sin，

令ωx－＝＋kπ（k∈Z），解得x＝＋（k∈Z）.

当k＝0时，≤π，即≤ω，

当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.

综上，≤ω≤.

（2）显然ω≠0，分两种情况：

若ω>

0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.

因函数f（x）＝2sinωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.

若ω<

0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，

因函数f（x）＝2sinωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.

综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥.

答案　

（1）　

（2）

评析　这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则（　　）

A.y＝2sin

B.y＝2sin

C.y＝2sin

D.y＝2sin

解析　由题图可知，A＝2，T＝2＝π，

所以ω＝2，由五点作图法知2×

＋φ＝＋2kπ（k∈Z），

所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.

2.（2019·

杭州期中）将函数y＝sin·

cos的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（　　）

A.－B.－C.D.

解析　将y＝sincos＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin，由题意得＋φ＝kπ＋（k∈Z），∴φ＝kπ＋（k∈Z），当k＝－1，0，1时，φ的值分别为－，，，φ的取值不可能是－.

3.（2019·

咸阳模拟）已知点P（，－）是函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>

0）图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，若∠MPN＝60°

，则该函数的最小正周期是（　　）

A.3B.4C.5D.6

解析　由P是函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>

0）图象上的一个最低点，M，N是与P相邻的两个最高点，知|MP|＝|NP|，

又∠MPN＝60°

，所以△MPN为等边三角形.

由P（，－），得|MN|＝×

2＝6.

∴该函数的最小正周期T＝6.

4.（2018·

天津卷）将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）

A.在区间上单调递增

B.在区间上单调递减

C.在区间上单调递增

D.在区间上单调递减

解析　y＝sin＝sin2，将其图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin2x的图象.由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.令k＝0，可知函数y＝sin2x在区间上单调递增.

5.（2019·

张家界模拟）将函数f（x）＝sin2x－cos2x的图象向左平移t（t>

0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若g（x）＝g，则实数t的最小值为（　　）

A.B.C.D.

解析　由题意得，f（x）＝2sin，

则g（x）＝2sin，

从而2sin＝2sin＝－2sin（2x－2t）＝2sin（2x－2t＋π），又t>

0，

所以当2t－＝－2t＋π＋2kπ（k∈Z）时，即t＝＋（k∈Z），实数tmin＝π.

二、填空题

6.将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是________________.

y＝sin.

答案　y＝sin

7.（2018·

沈阳质检）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>

0，0<

π）的部分图象如图所示，则f＝________.

解析　由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2.

∵当x＝时，函数f（x）取得最大值，

∴2×

＋φ＝＋2kπ（k∈Z），∴φ＝＋2kπ（k∈Z），

∵0<

π，∴φ＝，∴f（x）＝2sin，

则f＝2sin＝2cos＝.

8.已知f（x）＝sin（ω>

0），f＝f，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.

解析　依题意，x＝＝时，y有最小值，

∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋（k∈Z）.

∴ω＝8k＋（k∈Z），

因为f（x）在区间上有最小值，无最大值，

所以－≤，即ω≤12，

令k＝0，得ω＝.

三、解答题

9.某实验室一天的温度（单位：

℃）随时间t（单位：

h）的变化近似满足函数关系：

f（t）＝10－cost－sint，t∈[0，24）.

（1）求实验室这一天上午8时的温度；

（2）求实验室这一天的最大温差.

解　

（1）f（8）＝10－cos－sin

＝10－cos－sin＝10－×

－＝10.

故实验室上午8时的温度为10℃.

（2）因为f（t）＝10－2（cost＋sint）

＝10－2sin，

又0≤t<

24，所以≤t＋<

，－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f（t）在[0，24）上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

10.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.

（1）求f的值；

（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得到y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间.

解　

（1）因为f（x）的图象上相邻最高点的距离为π，

所以f（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又f（x）的图象关于直线x＝对称，

所以2×

＋φ＝kπ＋（k∈Z），

因为－≤φ＜，所以k＝0，

所以φ