FFT结果的物理意义Word文档格式.docx
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就可以计算出n点（n≠1，且n<
=N/2）对应的信号的表达式为：
An/（N/2）*cos（2*pi*Fn*t+Pn），即2*An/N*cos（2*pi*Fn*t+Pn）。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
即小于采样频率一半的结果。
好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
信号来做说明。
假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。
用数学表达式就是如下：
S=2+3*cos（2*pi*50*t-pi*30/180）+1.5*cos（2*pi*75*t+pi*90/180）
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=（n-1）*Fs/N，我们可以知道，每两个
点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。
我们的信号
有3个频率：
0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第50个点、
第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。
实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
图1FFT结果
从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
比较大的值。
我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点：
512+0i
2点：
-2.6195E-14-1.4162E-13i
3点：
-2.8586E-14-1.1898E-13i
50点：
-6.2076E-13-2.1713E-12i
51点：
332.55-192i
52点：
-1.6707E-12-1.5241E-12i
75点：
-2.2199E-13-1.0076E-12i
76点：
3.4315E-12+192i
77点：
-3.0263E-14+7.5609E-13i
很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。
分别计算这三个点的模值，
结果如下：
512
384
192
按照公式，可以计算出直流分量为：
512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：
384/（N/2）=384/（256/2）=3；
75Hz信号的
幅度为192/（N/2）=192/（256/2）=1.5。
可见，从频谱分析出来
的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。
直流信号没有相位可言，不用管
它。
先计算50Hz信号的相位，atan2（-192,332.55）=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是180*（-0.5236）/pi=-30.0001。
再
计算75Hz信号的相位，atan2（192,3.4315E-12）=1.5708弧度，
换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。
可见，相位也是对的。
根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。
总结：
假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
一点n（n从1开始）表示的频率为：
Fn=（n-1）*Fs/N；
该点的模值
除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
N）；
该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。
相位的计算
可用函数atan2（b,a）计算。
atan2（b,a）是求坐标为（a,b）点的角
度值，范围从-pi到pi。
要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
的信号，并做FFT。
要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
分析。
解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
具体的频率细分法可参考相关文献。
[附录：
本测试数据使用的matlab程序]
closeall;
%先关闭所有图片
Adc=2;
%直流分量幅度
A1=3;
%频率F1信号的幅度
A2=1.5;
%频率F2信号的幅度
F1=50;
%信号1频率（Hz）
F2=75;
%信号2频率（Hz）
Fs=256;
%采样频率（Hz）
P1=-30;
%信号1相位（度）
P2=90;
%信号相位（度）
N=256;
%采样点数
t=[0:
1/Fs:
N/Fs];
%采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos（2*pi*F1*t+pi*P1/180）+A2*cos（2*pi*F2*t+pi*P2/180）;
%显示原始信号
plot（S）;
title（'
原始信号'
）;
figure;
Y=fft（S,N）;
%做FFT变换
Ayy=（abs（Y））;
%取模
plot（Ayy（1:
N））;
%显示原始的FFT模值结果
FFT模值'
Ayy=Ayy/（N/2）;
%换算成实际的幅度
Ayy
（1）=Ayy
（1）/2;
F=（[1:
N]-1）*Fs/N;
%换算成实际的频率值
plot（F（1:
N/2）,Ayy（1:
N/2））;
%显示换算后的FFT模值结果
幅度-频率曲线图'
Pyy=[1:
N/2];
fori="
1:
N/2"
Pyy（i）=phase（Y（i））;
%计算相位
Pyy（i）=Pyy（i）*180/pi;
%换算为角度
end;
N/2）,Pyy（1:
%显示相位图
相位-频率曲线图'
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（By
computer00
@2008-05-15）
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测试测量
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3随机过程的基本理论
1.3.1平稳过程和各态历经过程
随机过程是大量现象的数学抽象，不能用确定的数学关系式来描述。
对随机过程x（t）
按时间历程所作的各次长时间的观测记录称为样本函数，记作小x*（t），如图1.1所示。
在同一试验条件下，所有样本函数的总体（集合）就是随机过程。
在任一采样时刻t，，
随机过程的各个样本值都不相同，构成一个随机变量x（t，）。
大一（‘）
工:
（t〕
图1.1随机过程与样本函数
F19.1.1RandomProcessandsamPlefunetion
第一章基本理论和方法
随机过程可以分为平稳随机过程和非平稳随机过程。
当总体的概率分布和统计参数
与绝对时间无关时，称这个随机过程为平稳随机过程。
例如对某一随机过程的全部样本
函数的集合选取不同的时间t、进行计算，得出的统计参数都相同，则这样的随机过程为
平稳随机过程。
如果一个随机过程，不仅总体的概率分布与绝对时间无关，而且每个子
样的概率分布也与绝对时间无关，或者说，如由平稳随机过程求得的概率分布，与由其
任何一个子样求得的概率分布都相等时，则这个子样表现了各种状态所经历的特征，可
以用它来描述整个随机过程，这种过程称为“各态历经”的过程。
即此时每个子样函数
可以完全表达随机过程总体。
很明显，如一个过程是各态历经的，它必然也是平稳的。
根据随机过程的统计特性，需要从下面三个领域来描述:
（l）幅值域—如平均值、
均方值、标准离差、概率密度函数和概率函数，都是从幅谱方面来描述随机过程的;
（2）
时间域—如自相关函数和互相关函数，前者描述同一过程的现在与将来的关系，后者
描述两个不同过程一前一后的关系;
（3）频率域—如自功率谱密度函数，互谱密度函
数和相关函数，都是从频谱方面来描述的。
随机过程的遍历性对于工程计算十分重要，因为它为根据实测的少量样本函数来估
计此随机过程的统计特性提供理论依据，但要在实践中验证遍历性条件十分困难，只能
根据过程的物理性质，先假定有遍历性，待有了足够的数据以后再去检验假定的正确性，
所以在工程上，如果不是有明显的证据证明其为非平稳或非遍历的，我们都把它看成是
平稳的和遍历的。
以下讨论的随机过程都假定是平稳的和遍历的。
3.2随机过程的统计参数
（l）均值
随机过程:
（t）在t，瞬时的集合平均值定义为:
刀，〔，）一E晰，）]-lim生兮:
。
（l，）。
_。
廿“、’‘（1.11）
式中，E表示集合平均，从令1）简称为均值，也称为数学期望，产二（t，）一般与时刻tl
有关。
对于各态历经过程，可以用某一样本记录的平均值代替集合平均值，即
从一）映心冲（1.12）X拼..力1一T
式中，x（l）—各态历经过程的样本记录，T—样本记录时间。
（2）方差
大连交通大学工学硕士学位论文
方差用以描述随机信号的动态分量，它定义为
口2=limTse）的lx（t）一、:
份（1.13）产l山1一T
方差的大小反映了随机变量对均值的离散程度，即代表了信号的动态分量，其正平
方根称为标准差。
（3）均方值
均方值的定义是
试‘呱:
’仓卜（1.14）﹃户.山1一T
它描述了随机信号的强度或平均功率，
值）。
若x（t）为随机振动过程，则均值声二
的能量，方差。
了了表示动态分量的能量。
准差。
均方值的正平方根称为均方根值（或称有效
表示静态分量，均值的平方对表示静态分量
当均值为零时，方差等于均方值，，:
称作标
1.3.3相关函数
相关函数是在时间域方面描述随机过程的一个重要统计量，分为自相关函数和互相
关函数两种。
（t）在t，和tZ一t，+:
时刻构成两个随机变量x〔，）和x（t2），对各样本x、（t，）
和x、（l2）的乘积取集合平均，得到:
R二〔I，tZ）一垂仓，）x（t2）]-嵘客硫助2，（1.15）
R:
（t，，tZ）称作随机过程x（t）在t，和‘2时刻的自相关函数，它既是时间差:
的函数，
也与时刻t，有关。
对平稳过程自相关函数仅依赖时差T
及二（l!
，，2）=天:
（T）（2.16）
式（1.15）定义的自相关函数是描述随机变量在不同时刻之间相关程度的统计量。
当
:
=o时，自相关函数及:
（0）等于平稳随机过程的均方值，即
*、（o）一:
lx，（t）J一梦了（1.17）
，，厂厂zzz一\--一7’一一\\\一了999
图1.2自相关函数
F19.1.2Autoeorrelationfunetion
见图
自相关函数有以下性质:
l）R二（r）=R，（--刃，自相关函数是时差z的偶函数;
2）R:
（0）一Elx’{一衬，时差:
为零时的自相关函数就是均方值;
3）R二间、R，（0），时差:
为零时随机过程的自相关程度最大;
4）limR:
（r）=对，自相关函数为时差:
的衰减函数，当:
二时趋于均值的平方（参
1.2）
设有两个平稳随机过程沐）和沁），它们之间相隔时差:
的相关性由互相关函数描
定义为:
凡闭一E[x〔妙〔+胡（l.l8）
互相关函数有以下性质:
1）R二闭为非奇，非偶函数，但有R。
卜）一R。
（--日;
2）{R。
（:
}三丫R:
（0）R*（0）;
3）R。
（0）一:
lx仓冲（t习=O。
性质（3）表明平稳随机过程x仓）和它的导数过程玲）在同一时刻互不相关。
功率谱密度函数
相关函数给出随机过程在时差域内的统计特性，而功率谱密度则是在频率域内表示
4
述l.3
随机振动过程在各频率成分上的统计特性。
定义平稳随机过程论）的功率谱密度函数为
自相关函数尺（T）的傅里叶变换，即:
sx回一皿尺（伞一，““（1，19）
其逆变换为
（。
·
去卫:
咏了一‘（1.20）
以上两式构成傅里叶变换对，称作维纳一辛钦关系式。
式（1.19）的积分存在条件为
尺（T）绝对可积，即:
D州枷、二
平稳随机过程玲）本身不满足绝对可积条件，
（1.21）
因此不能直接作傅里叶变换，而由于
自相关函数的衰减性，此条件自然满足。
令式（1.20）中T=0，得到
（0）·
金皿:
咖斌（1.22）
可见sx回表示随机过程的均方值在频率域内的分布密度。
由于在电学中电压或电
流的平方与功率成正比，因此将sx（动称作功率谱密度函数，或简称自谱。
在随机振动
中sx闷表示能量在各频率上的分布密度。
根据物理意义推知sx回:
o。
由于尺（动为偶函数，式（l.19）可写为:
sx（动一卫劝lco、卜、sinm恤一Zf劝）cos。
价（1.23）
可见也是口的偶函数。
与此类似，式（1.20）可写为
以动=儿fsx回c。
和枷（1.24）
在整个频率域内定义的sx问称作双边功率谱。
工程中实测得到的功率谱仅对。
的
正值有定义，称作单边功率谱，记作G，（司，
G*（。
）·
25二（。
）（0、。
、。
）（1·
25）
计算功率谱时通常用频率f（Hz）代替角频率勿（ra山s），上式可写作
G:
（f）一25:
（f）一4沼，（。
）
维纳一辛钦关系式（1.19）和（1.20）相应地改写为
sx（f）一皿以伞一撇介
一会工:
Fj示df
（1.26）
（1.27）
（1.28）
对于两个平稳随机过程论）和沁）也可利用傅里叶变换定义它们的互功率谱密度函
数，或简称互谱:
sx，（动一皿习伞一，““（1.29）
其逆变换为:
、闭一去皿、（咖/r而（1.30）
互谱没有自谱那样有明显的物理意义，但它在频率域上讨论两个平稳随机过程的相
互联系时也具有应用价值。
互谱有以下性质:
1）凡（动是复函数，其虚部不等于零;
2）凡（动一今（--动一srx’间是sx，回的共扼函数。
1.4信号测试与分析
4.1振动信号数据的采集
1.采样及采样定理
在对一记录的振动信号进行数字化处理时，首先要进行采样。
采样就是将连续变化的
模拟信号x（t）转换成离散时间序列的过程。
采样一般按等时间间隔取值，常用模一数转换
器（A/D转换器）来实现。
如图1.3所示，当连续时间信号输入模一数转换器，其输出就
是采样所得的离散时间序列。
△，称为采样时间间隔。
人=l/At为单位时间内的采样数，
称为采样频率。
采样的时间间隔At决定着采样的质量和数据处理的总时间。
△，太小，会使二（n△，）的
数目剧增，增加了数据处理的工作量，并要求计算机的容量要大;
但△t太大，会在原始
数据中引起低频及高频分量的混淆，不能真实反映原信号x（t）的全部情况，影响分析精
心）
}呼一一三一一补
{{{{{{{{{}}}
）））））））））））
{{{{{{{{{{{
输入采样器愉出
图1.3采样过程
Fig.1.3SamPlingProcess
度。
因此，必须有一个选择采样时间间隔的准则，以确定x（n△O能不失真地表示原信号:
x（t）的最大允许时间间隔△‘。
这个准则就是采样定理。
即
关=l/At全Zfc（1.31）
其中fc就是在采样时间间隔下能辫认的最高频率，称为截止频率或截断频率。
定理指出:
一个连续模拟波形，若其最高频率分量为fc，则当采样频率fs全Zfc时，采
样后的信号可以无失真地恢复成原来的信号。
为了避免谱估计发生频率混叠现象，实际采样频率人常取为信号最高频率成分的
3一5倍。
如果信号的上限频率不易估计，可以在采样前用适当的低通滤波器加以限带然
后再加采样。
低通滤波器的截止频率以不严重影响信号波形为原则，称为抗混叠滤波器。
2.量化过程
数字信号只能以有限的字长表示其幅值，对于小于末位数字所代表的幅值部分只能
采取“舍”或“入”的方法。
经采样的信号需进行“量化”。
量化就是将采样点的幅值
与一组离散电平值比较，以最接近于采样点的电平值来代替该幅值，并变成只有有限长
的二进制数字序列。
这一过程称为“量化过程”，简称“量化”，完成这一功能的器件
是模一数转换器。
1.4.2振动信号的预处理
在数据量化处理后，必须进行预处理工作，然后才一能进行计算分析，否则计算后就
难以用一般方法来检验原始信号中混入的误差。
数据的预处理包括:
定标、剔点处理、
零均值处理和消除趋势项等。
1.定标
定标就是将量化的数字单位转换成合适的工程物理单位的过程。
定标的方法上让测
量系统的传感器来拾取一个标准的已知振动量;
或是去掉传感器，代之以输入一个标准
电压，然后根据传感器的灵敏度换算成具有物理单位的己知振动量。
根据用来校正的振
动量或电压信号的性质，可以分为阶跃定标或正弦定标。
2.剔点处理
在试验数据的测量、记录、传输等过程中，有时因突然受严重噪声的干扰、信号丢
失或传感器失灵等原因，使记录信号引进一些异常的虚假值。
这些异常假值的掺入，造
成时间历程的波形产生过高或过低的突变点。
如果对这些记录进行采样，就会在采样值
中出现异常的虚假采样点.这种虚假的采样点，称为剔点。
如果剔点值很大就等于提高
了总的噪声水平。
对于一些个别点较集中的信号，还可能会被误分析为一种频率成分，
从而歪曲了数据的分析结果，因此，在信号分析中对剔点做出判断以及剔除等处理是一
项十分重要的工作。
剔点的处理方法一般是通过打印列表输出，凭经验目测分析判断，然后剔出其可疑
如精度要求较高时，可利用一些处理系统中专门配备的仪器来完成。
3.零均值处理
零均值处理也称中心化处理。
由于测试中的一些原因，所测得的信号其均值不为零。
为了简化以后的计算工作，在量化后一般要将被分析的数据转换为零均值的数据，这种
处理称为零均值处理。
设采样数据为x，（n二1，2，…，N），采样长度即为T=NA‘，其均值为
万一命菩xn
经过零均值处理后，则x。
就变为一个均值为零的新信号u。
（n二1，2，…，N），
u。
二xn一x
其均值。
=0。
以后处理信号时，就以此新信号u。
为出发点。
零均值处理对于低频端还有特殊的意义。
因为非零均值的数据相当于在信号上迭加
了一个直流分量，犹如一矩形脉冲，若不进行中心化处理，则会在低频段引起很大误差，
分析出来甚至面目全非.这在随机信号处理时应特别引起注意。
4.消除趋势项
在随机信号的分析中，往往由于测试系统中某些因素的影响而产生随时间而变化的
变值系统误差，其周期一般很长，这种周期大于记录长度的频率成分，称之为趋势项.
这种趋势项如不去掉，会在相关分析或功率谱分析中出现很大的畸变，甚至可能使低频
时的谱估计完全失去真实性。
因此，消除趋势项是数据处理的一项重要工作.
消除趋势项的方法，工程上常用的是最小二乘法，它既可以消除高阶多项式的趋势
项，也可消除线性趋势项，是一种精度较高的方法。
另一种方法是平均斜率法，但它没
有最小二乘法精确。
在作消除趋势项的处理时，还必须注意有些像是趋势项但不是误差，而是原始数据
中应含有的成分，不能作为趋势项来消除掉因此，消除趋势项的工作要特别认真谨慎。
1.4.3振动信号数据的检验
对测试所得的振动信号，选用何种方法进行分析，取决于振动信号的基本特性.对
于随机信号，只有当信号x（t）满足平稳、各态历经及高斯分布时，谱分析的方法才是正
确的，且必须首先对数据的三个基本特性进行检验:
平稳性检验、周期性检验及正态性
检验等。
1.平稳性检验
所谓平稳性，是指信号的统计参数不随时间的推移而变化。
工程上常用的检验方法
有以下三种:
（l）目视检验法
目视检验法就是将一记录的测试信号进行回放，根据信号波形的特性，凭经验来判别
是否平稳。
若振动数据的平均值波动很小，且振动波形的峰谷变化较均匀，频率结构又
比较一致，这就是平稳的，反之就是不平稳的。
目视检验法有一定的主观性，比较粗糙，
且要求分析人员有较丰富的实践经验。
（2）统计特征计算法
平稳随机过程，其统计特性不随时间而变化。
正因为如此采样及分析的起止时间
可以任意确定。
因此，从采样数据的统计特性，即可判断总体过程的平稳性。
具体做法
是把单个时间历程记录分成若千段，然后分别计算每段的均值，若每段的均值在允许误
差范围之内，即可认为是平稳的，否则是不平稳的。
虽然这种方法也不够严格，但简单
易行，在工程上较常使用。
（3）轮次检验法
轮次检验法是一种用统计原理，由子样来推断总体的方法。
由于随机信号只能取一
段来进行研究，故只能得到其子样对应参数的估值，而得不到总体参数的准确值，然而
从子样推算总体参数的可靠性必须用置信度和置信区间的概念来说明。
2.周期性检验
第
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