非线性控制理论Word格式文档下载.docx

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是拓扑学和微分几何中的一个重要概念。

从概念上来讲，n维流形可理解为由多个同为n维的曲面（或超曲面）经拼接所得到的曲面（或超曲面）。

流形的一个特征：

是它的各局域可以与n维空间之间建立起点与点间的一对一的映射关系，并根据此关系建立起适用于各局部的流形局部坐标系。

微分流形：

具有微分结构的流形，这种结构，是指参与拼接的曲面（或超曲面）彼此拼接得如此之好，以至于流形作为一整体与n维空间之间的映射能达到任意次可微的程5度，即达到光滑的程度。

它也称为光滑流形或简称流形。

C.光滑向量场和对偶向量场光滑向量场：

P3中的映射f，g1，…，gm是将U中的每个点x指派到Rn中的一个向量的光滑映射，即f（x，g1（x，…，gm（x，因此，它们就是定义在U上的光滑向量场。

对偶向量场：

对偶向量场是一个能使n维光滑向量变换为一个实数的同维向量。

对偶向量场是光滑映射，该映射将U中的每个点x指派到对偶空间（Rn*中的一个元素。

6

内积内积：

光滑向量v和其对偶向量场w*的如下运算称为内积。

w∗（v=w∗（∗v=w1[⎡v1⎤⎥∗⎢Lwn⎢L⎥⎢v2⎥⎣⎦]一个重要的对偶向量场是定义在Rn的一个开子集上的实值函数λ的微分或梯度。

此对偶向量场以dλ表示，其具体形式为：

⎛∂λdλ（x=⎜⎜∂x⎝1∂λ∂x2∂λ∂λ⎞⎟=TL∂xn⎟∂x⎠7

D.三种类型的微分运算D.1、函数的李导数函数λ沿光滑向量场f方向的李导数可具体表示为：

⎡∂λLfλ（x=⎢⎣∂x1⎡f1⎤∂λ⎤⎢⎥L⎥⎢L⎥=∂xn⎦⎢f2⎥⎣⎦∑i=1nfi∂λ∂λ=Tf=dλ,∂xi∂xf该李导数有时又称为λ沿f的导数。

函数的李导数具有如下性质：

函数λ原来是一个光滑函数，对它求李导数的运算之后，所得结果仍然是一个光滑函数。

8

D.1、函数的李导数函数λ的高阶李导数用以下梯推公式来定义：

Lkfλ（x=∂（Lkf−1λ∂xTf同时约定零阶李导数为：

L0fλ（x=λ（x如果先取λ沿光滑向量场f的导数，再取沿向量场g的导数，那么其新函数为：

LgLfλ（x=∂（Lfλ∂xTg9

实例：

函数的李导数&

x1=asinx2⎛asinx2⎞f（x=⎜⎜−x2⎟⎟1⎠⎝例如：

系统2&

x2=−x1+uy=x2L0fh（x=x2⎛0⎞g（x=⎜⎟⎜1⎟⎝⎠h（x=x2asinx∂h[01]⎡22⎤=−x12Lfh（x=Tf（x=⎢⎥−x1⎦∂x⎣Lh（x=2f∂（Lfh（x∂xTf（x=[−2x1⎡asinx2⎤0]⎢2⎥=−2ax1sinx2⎣−x1⎦LgLfh（x=∂（Lfh（x∂xTg（x=[−2x1⎡0⎤0]⎢⎥=0⎣1⎦10

D.2、向量场的李积或李括号两个向量场f和g，它们均定义于Rn的一个开子集U上。

此时，我们构造一个记为[f，g]的新光滑向量场，它在U中的每一点x处定义为：

∂g∂fadfg（x=[f,g]（x=Tf−Tg李积或李括号∂x∂x∂g1∂x2∂g2∂x2∂gn∂x2∂g1⎤L∂xn⎥⎥∂g2⎥L∂xn⎥⎥⎥∂gn⎥L∂xn⎥⎦⎡∂f1⎢∂x⎢1⎢∂f2∂f=⎢∂x1T∂x⎢M⎢⎢∂fn⎢∂x1⎣∂f1∂x2∂f2∂x2∂fn∂x2∂f1⎤∂xn⎥⎥∂f2⎥L∂xn⎥⎥⎥∂fn⎥L∂xn⎥⎦11L其中：

∂g∂xT⎡∂g1⎢∂x⎢1⎢∂g2=⎢∂x1⎢M⎢⎢∂gn⎢∂x1⎣

D.2、向量场的李积或李括号向量场g可对同一个向量场f重复进行李括号运算。

其递归形式为：

adkg（x=f,adk−1g（xff0同时约定零阶李括号为：

adfg（x=g（x[]李括号的性质性质1:

（双线性[r1f1+r2f2,g1]=r1[f1,g1]+r2[f2,g1][f1,r1g1+r2g2]=r1[f1,g1]+r2[f1,g2]12

李括号的性质性质2:

（反对称性[f,g]=−[g,f]性质3:

（雅可比恒等式[[f,g],h]+[[g,h],f]+[[h,f],g]=0D.3、对偶向量的李导数向量场f与对偶向量场ω，在U中的每一点x处，定义：

∂ωTT∂fLfω（x=f（x（T+ω（xT∂x∂xT该李导数有时又称为ω沿f的导数。

13

向量场的李积或李括号&

x1=asinx22&

x2=−x1+u例如：

系统⎛asinx2⎞f（x=⎜⎟⎜−x2⎟1⎠⎝y=x2ad0g（x=g（xfadfg（x=⎛0⎞g（x=⎜⎟⎜1⎟⎝⎠h（x=x2∂f∂g⎡00⎤⎡asinx2⎤⎡0f−Tg=⎢⎥⎢2⎥−∂xT∂x00⎦⎣−x1⎦⎢−2x1⎣⎣acosx2⎤⎡0⎤⎡acosx2⎤⎥⎢⎥=⎢0⎦⎣1⎦⎣0⎥⎦adg（x=22∂（adfg（x∂xT⎡0−⎢⎣−2x1f−∂f⎡0−asinx2⎤⎡asinx2⎤adfg（x=⎢⎥⎢−x2⎥∂xT001⎦⎦⎣⎣2=ax1sinx2+2ax1cosx2acosx2⎤⎡acosx2⎤⎥0⎦⎢0⎥⎦⎣14

D.4、三种微分运算具有的性质（1如果α和λ为实值函数，f为一个向量场，那么Lαfλ（x=（Lfλ（xα（x（2如果α和β为实值函数，f和g为向量场，那么[αf,βg]（x=α（xβ（x[f,g]（x+（Lfβ（xα（xg（x−（Lgα（xβ（xf（x（3如果λ为实值函数，f和g为向量场，那么L[f,g]λ（x=LfLgλ（x−LgLfλ（x15

D.4、三种微分运算具有的性质（4如果α和β为实值函数，f为向量场，而ω为对偶向量场，那么Lαfβω（x=α（xβ（x（Lfω（x+β（xω（x,f（xdα（x+Lfβ（xα（xω（x（5如果λ为实值函数，f为向量场，那么Lfdλ（x=dLfλ（x（6如果f和g为向量场，而ω为对偶向量场，那么Lfω,g（x=Lfω（x,g（x+ω（x,[f,g]（x16

证明性质3（3如果λ为实值函数，f和g为向量场，那么L[f,g]λ（x=LfLgλ（x−LgLfλ（x证明∂λ∂g∂f∂λL[f,g]λ（x=T[f,g]=T（Tf−Tg∂x∂x∂x∂x∂2λ∂λ∂g∂2λ∂λ∂f=gTf+Tf−fTg−TgTTTT∂x∂x∂x∂x∂x∂x∂x∂x=∂∂λ∂∂λ（Tgf−T（Tfg∂xT∂x∂x∂x=LfLgλ（x−LgLfλ（x17

Ｅ.全局微分同胚和局部微分同胚设线性系统：

坐标变换：

x=Ax+Buz=Tx在新坐标描述下的系统方程为：

z=TAT−1z+TBu~~&

z=Az+Bu如系统是非线性的，考虑非线性坐标变换，非线性变换可描述为：

⎛Φ1（x⎞⎛Φ1（x1,⎟⎜⎜⎜Φ2（x⎟⎜Φ2（x1,z=Φ（x=⎜⎟=⎜L⎟⎜⎜⎜Φ（x⎟⎜Φ（x,⎠⎝n1⎝nL,xn⎞⎟L,xn⎟⎟L⎟L,xn⎟⎠18

全局微分同胚和局部微分同胚定义在Rn中的全局微分同胚具有如下性质：

（1Φ（x是可逆的，即存在Φ-1（z，使得对于Rn中的所有x,有x=Φ−1（Φ（x=Φ−1（z（2Φ（x和Φ-1（z均为光滑映射，即具有任意阶的连续偏导数。

局部微分同胚：

在给定点的一个领域内，具有上述两条性质的变换。

19

F.分布F.1分布的定义前面提到：

定义在Rn中的开子集U上的的光滑向量场f可以直观地解释为一个光滑映射，该映射将U中的每一点x，指派到n维向量f（x。

假设给定的d个光滑向量场f1，…，fd都定义在同一开子集U上，那么，对于U中的任意固定点x，向量f1（x，…，fd（x张成一个向量空间，定义为分布∆，即分布为：

∆（x=span{f1（x，…，fd（x}或，∆=span{f1，…，fd}20

分布∆=span{f1，…，fd}注意：

符号span的含义是“通过向量场的线性组合来张成”，组合的结果因所采用的系数不同而有多种可能，系数的连续变化将形成一定的散布，分布即由此得名。

即使分布只由一个向量张成，也并不等同于该向量场本身，其系数的改变将形成一组一维向量场。

例：

一个由三个向量场构成分布的非线性系统。

⎡x1⎤⎡x1x2⎤⎡x1⎤⎥⎢⎥⎢⎥&

⎢x=⎢1+x2⎥+⎢（1+x3x2⎥u+⎢x1⎥w⎧⎡x1⎤⎡x1x2⎤⎡x1⎤⎫⎢1⎥⎢⎥⎢0⎥∆（x=span⎪⎢1+x⎥,⎢（1+xx⎥,⎢x⎥⎪x2⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎢2⎥⎢32⎥⎢1⎥⎬⎪⎢1⎥⎢⎥⎢0⎥⎪x2⎦⎣⎦⎣⎦⎭⎩⎣21

F.2分布的运算一个分布是一个向量空间，即Rn中的一个子空间。

基于这点，可以将分布扩张，以引入与向量空间概念有关的一些基本概念。

分布的并：

（∆1∪∆2（x=∆1（x∪∆2（x分布的交：

（∆1∩∆2（x=∆1（x∩∆2（x例：

（分布的并和交设⎧⎡0⎤⎡0⎤⎫⎪⎢⎥⎢⎥⎪∆1（x=span⎨⎢0⎥,⎢x2⎥⎬⎪⎢x⎥⎢0⎥⎪⎩⎣3⎦⎣⎦⎭⎧⎡x1⎤⎡x1⎤⎫⎪⎢⎥⎢⎥⎪∆2（x=span⎨⎢0⎥,⎢0⎥⎬⎪⎢0⎥⎢x⎥⎪⎩⎣⎦⎣3⎦⎭22

⎧⎡0⎤⎡0⎤⎫⎪⎢⎥⎢⎥⎪∆1（x=span⎨⎢0⎥,⎢x2⎥⎬⎪⎢x⎥⎢0⎥⎪⎩⎣3⎦⎣⎦⎭⎧⎡x1⎤⎡x1⎤⎫⎪⎢⎥⎢⎥⎪∆2（x=span⎨⎢0⎥,⎢0⎥⎬⎪⎢0⎥⎢x⎥⎪⎩⎣⎦⎣3⎦⎭⎧⎡0⎤⎡0⎤⎡x1⎤⎫⎧⎡0⎤⎡0⎤⎡x1⎤⎡x1⎤⎫⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪=span⎨⎢0⎥,⎢x2⎥,⎢0⎥⎬（∆1U∆2（x=span⎨⎢0⎥,⎢x2⎥,⎢0⎥,⎢0⎥⎬⎪⎢x⎥⎢0⎥⎢0⎥⎪⎪⎢x⎥⎢0⎥⎢0⎥⎢x⎥⎪⎩⎣3⎦⎣⎦⎣⎦⎭⎩⎣3⎦⎣⎦⎣⎦⎣3⎦⎭⎧⎡0⎤⎫⎪⎢⎥⎪（∆1I∆2（x=span⎨⎢0⎥⎬⎪⎢x⎥⎪⎩⎣3⎦⎭23

F.3分布的奇异性和正则性维数定义：

x点子空间∆（x的维数称为分布∆在x点的维数，记为：

dim（∆（x。

∆=span{f1，…，fd}奇异性定义：

如果对开集上任意点x∈U,都有dim（∆（x=d，则称定义在U上的分布∆是非奇异的，否则就为奇异的。

正则点定义：

如果U上的x点存在领域U0,在U0上∆非奇异，则称x为分布∆的正则点，否则就为奇异点。

非奇异分布可称为不变维分布；

而正则点可称为不变维点；

奇异点为变维点。

24

F.4光滑性分布及其性质光滑分布定义：

如果分布∆是由一些C∞向量场，以C∞函数为系数张成，则称∆为光滑分布。

性质1：

两个光滑分布的并都是光滑分布。

例P23性质2：

两个光滑分布的交不一定是光滑分布。

例考虑定义在R2上两个分布⎧⎡1⎤⎫∆1（x=span⎨⎢⎥⎬⎩⎣1⎦⎭⎧⎡1+x1⎤⎫∆2（x=span⎨⎢⎥⎬1⎦⎭⎩⎣x1≠0x1=025则两分布之交为⎧0（∆1I∆2（x=⎨⎩∆1（x

F.5分布的对合性对合的定义：

一个光滑分布∆，如果属于∆的任意二个向量场fi，fj的李积[fi，fj]仍属于∆，即fi∈∆fj∈∆[fi,fj]∈∆则称分布是对合的。

∆=span{f1,f2}例考虑R3上的一个分布⎡2x2⎤⎢⎥f1（x=⎢1⎥⎢0⎥⎣⎦⎡1⎤⎢⎥f2（x=⎢0⎥⎢x2⎥⎣⎦该分布对每个R3上的点，都是维数为2。

⎛000⎞⎛2x2⎞⎛020⎞⎛1⎞⎛0⎞⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜[f1,f2]（x=⎜000⎟⎜1⎟−⎜000⎟⎜0⎟=⎜0⎟⎜010⎟⎜0⎟⎜000⎟⎜x⎟⎜1⎟⎠⎝2⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝26

分布的对合性⎡2x2⎤⎢⎥f1（x=⎢1⎥⎢0⎥⎣⎦⎡1⎤⎢⎥f2（x=⎢0⎥⎢x2⎥⎣⎦⎛000⎞⎛2x2⎞⎛020⎞⎛1⎞⎛0⎞⎟⎜⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎜⎜[f1,f2]（x=⎜000⎟⎜1⎟−⎜000⎟⎜0⎟=⎜0⎟⎜010⎟⎜0⎟⎜000⎟⎜x⎟⎜1⎟⎠⎝2⎠⎝⎠⎠⎝⎠⎝⎝⎛2x2⎜[f1,f2]]（x=⎜1⎜0⎝10x20⎞⎟它的维数为3。

0⎟1⎟⎠27[f1f2所以，该称分布不是对合的。

分布的对合性22例：

域U=x∈R3：

x1+x3≠0上定义一分布∆=span{f1,f2}{}⎡2x3⎤⎢⎥f1（x=⎢−1⎥⎢0⎥⎣⎦⎡−x1⎤⎥⎢f2（x=⎢−2x2⎥⎢x3⎥⎦⎣该分布对每个R3上的点，都是维数为2。

⎛−100⎞⎛2x3⎞⎛002⎞⎛−x1⎞⎟⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜[f1,f2]（x=⎜0−20⎟⎜−1⎟−⎜000⎟⎜−2x2⎟⎜001⎟⎜0⎟⎜000⎟⎜x3⎟⎠⎝⎠⎝⎝⎠⎝⎠⎛−4x3⎞⎜⎟=⎜2⎟=−2f2∈∆⎜0⎟⎝⎠它的维数也为2。

28所以，该称分布是对合的。

F.6光滑对偶分布假设给定的d个光滑向量场f1，…，fd都定义在同一开子集U上，那么，对于U中的任意固定点x，向量f1（x，…，fd（x张成一个向量空间，定义为分布∆。

对应的对偶向量场对偶向量场为ω1，…，ωd都定义在同一开子集U上，那么，对于U中的任意固定点x，向量ω1（x，…，ωd（x张成一个向量空间，定义为光滑对偶分布Ω。

Ω（x=span{ω1（x，…，ωd（x}29

F.7分布的零化子分布的零化子又称为正交对偶分布零化子的定义：

给定一个分布∆，对开子集U上的每一点x，考虑∆（x的零化子，即一组零化∆（x中所有向量的全体对偶向量的集合，即∆⊥（x=w∗∈（Rn∗:

w∗,v=0,{}∀v∈∆（x22例：

x1+x3≠0上定义一分布∆=span{f1,f2}{}⎡2x3⎤⎢⎥f1（x=⎢−1⎥⎢0⎥⎣⎦⎡−x1⎤⎥⎢f2（x=⎢−2x2⎥⎢x3⎥⎦⎣ω（x=x3[22x3x1+4x2x330]

G.Frobenius定理本小小节基于分布和对偶分布概念来研究放射非线性系统的可积性问题。

并指出对偶分布法是问题求解的一个合理且可行的途径，以此方法为依据定义了分布可积性。

而分布可积性的充要条件是Frobenius定理。

在初始条件x（0=x0下，非线性系统：

x=f（xf0的解x（t称为向量场f（x的积分曲线，表示为：

Φt（x不同的初始条件对应不同的积分曲线，所有的积分曲线就形成了一个积分曲线束，表示为：

Φtf（x它是t和x的光滑函数，被称为向量场f（x下的流。

31

G.1.用分布的零化子研究分布的可积性&

x非线性系统：

=f（x研究其解的问题是针对单个向量场。

而非线性系统：

x=f（x+g（xu研究其解的问题是针对两个向量场。

而且此组合向量场中的两个向量场的组合关系会随控制的大小而改变。

事实上，分布的概念就是为表征组合向量场而提出的。

在多个向量场f1，…，fd共同作用下，同时在各向量间的组合关系时刻改变的情况下，状态方程的积分曲线是否存在，积分曲线所在解空间如何求得，积分曲线如何求得，与此有关的这些问题就构成了方程可积性问题。

32

G.1.1间接法间接法：

借助分布的零化子（正交对偶分布来求解方程的积分曲线的求解方法。

设∆是在Rn的开集U上的一个d维非奇异光滑分布，因此，在U上每点x0的领域U0上都存d个独立的光滑向量场，即：

∆=span{f1，…，fd}这样一来，在x0的领域的U0上可找到n-d个独立的对偶向量场（分布的零花子，即：

∆⊥（x=span{ω1（x,L,ωn−d（x}33

间接法由分布和正交对偶分布应满足的正交性，有如下关系：

ωj（x,fi（x=0i=1,L,dj=1,L,n−d或ωj（xFM（x=0j=1,L,n−d光滑对偶向量场ωj作为一个光滑向量场，可用一个实值函数λj（x的梯度来表达，即：

ωj=gradλj=∂λj∂xT∂λj∂xωj（xFM（x=0fd（x]=0j=1,L,n−dFM（x=∂λj∂xT[f1（xL（1-234

间接法∂λj∂xTFM（x=∂λj∂xT[f1（xLfd（x]=0j=1,L,n−d上式是关于未知的λj（x，j=1，…，n-d的偏微分方程。

这里λj（x，j=1，…，n-d是为求解状态方程可积性问题而特别定义的n-d个光滑函数。

解此方程组，可以求得λj（x，j=1，…，n-d。

35

∂λj∂xTFM（x=∂λj∂xT[f1（xLfd（x]=0G.1.2积分曲线所在的解空间（1-2首先，式（1-2中，当j为一固定值时，根据λj（x，按下述方法可确定积分曲线所在的解空间。

假设时刻t在积分曲线上对应的位置是流形上的一点x（t，函数λj在该点取值为λj（x。

在该点上λj变化最陡的方向是梯度方向，也就是对偶向量场所在方向。

变化为零的方向是梯度方向的正交方向，也就是向量场所在的方向。

因此，积分曲线每时每刻只能沿λj保持常值的方向运动。

假设积分曲线的出发点是x0，其解空间应该满足：

λ