非线性控制理论Word格式文档下载.docx

1、是拓扑学和微分几何中的一个重要概念。从概念上 来讲，n维流形可理解为由多个同为n维的曲面（或超曲 面）经拼接所得到的曲面（或超曲面）。 流形的一个特征：是它的各局域可以与n维空间之间建立 起点与点间的一对一的映射关系，并根据此关系建立起适 用于各局部的流形局部坐标系。 微分流形：具有微分结构的流形，这种结构，是指参与拼 接的曲面（或超曲面）彼此拼接得如此之好，以至于流形 作为一整体与n维空间之间的映射能达到任意次可微的程 5 度，即达到光滑的程度。它也称为光滑流形或简称流形。C. 光滑向量场和对偶向量场 光滑向量场：P3中的映射f，g1，gm是将U中的每个点x 指派到Rn中的一个向量的光滑映射

2、，即f（x， g1 （x， gm（x，因此，它们就是定义在U上的光滑向量场。 对偶向量场：对偶向量场是一个能使n维光滑向量变换为 一个实数的同维向量。对偶向量场是光滑映射，该映射将 U中的每个点x指派到对偶空间（Rn*中的一个元素。 6 内积 内积：光滑向量v和其对偶向量场w*的如下运算称为内 积。 w （v = w （ v = w1 v1 L w n L v 2 一个重要的对偶向量场是定义在Rn的一个开子集上的实值 函数的微分或梯度。此对偶向量场以d表示，其具体形 式为： d （ x = x 1 x 2 = T L x n x 7 D. 三种类型的微分运算 D.1、函数的李导数 函数沿光滑向

3、量场f方向的李导数可具体表示为： L f （ x = x1 f1 L L = x n f2 i =1 n fi = T f = d , x i x f 该李导数有时又称为沿f的导数。 函数的李导数具有如下性质：函数原来是一个光滑函 数，对它求李导数的运算之后，所得结果仍然是一个光 滑函数。 8 D.1、函数的李导数 函数的高阶李导数用以下梯推公式来定义： Lkf （ x = （ Lkf1 x T f 同时约定零阶李导数为： L0f （ x = （ x 如果先取沿光滑向量场f的导数，再取沿向量场g的导 数，那么其新函数为： Lg L f （ x = （ L f x T g 9 实例：函数的李导数

4、 & x1 = a sin x 2 a sin x 2 f （ x = x2 1 例如：系统 2 & x 2 = x1 + u y = x2 L0f h（ x = x 2 0 g（ x = 1 h（ x = x 2 a sin x h 0 1 2 2 = x12 L f h（ x = T f （ x = x1 x L h（ x = 2 f （ L f h（ x x T f （ x = 2 x1 a sin x 2 0 2 = 2ax1 sin x 2 x1 Lg L f h（ x = （ L f h（ x x T g （ x = 2 x1 0 0 = 0 1 10 D.2、向量场的李积或李括号

5、 两个向量场f和g，它们均定义于Rn的一个开子集U上。此 时，我们构造一个记为f，g的新光滑向量场，它在U中 的每一点x处定义为： g f ad f g （ x = f , g （ x = T f T g 李积或李括号 x x g1 x 2 g 2 x 2 g n x 2 g1 L x n g 2 L x n g n L x n f 1 x 1 f 2 f = x1 T x M f n x1 f 1 x 2 f 2 x 2 f n x 2 f 1 x n f 2 L x n f n L x n 11 L 其中： g x T g1 x 1 g 2 = x1 M g n x1 D.2、向量场的李积

6、或李括号 向量场g可对同一个向量场f重复进行李括号运算。其递归 形式为： ad k g （ x = f , ad k 1 g （ x f f 0 同时约定零阶李括号为： ad f g（ x = g（ x 李括号的性质 性质1: （双线性 r1 f1 + r2 f 2 , g1 = r1 f1 , g1 + r2 f 2 , g1 f1 , r1 g1 + r2 g 2 = r1 f1 , g1 + r2 f1 , g 2 12 李括号的性质 性质2: （反对称性 f , g = g , f 性质3: （雅可比恒等式 f , g , h + g , h, f + h, f , g = 0 D.3

7、、对偶向量的李导数 向量场f与对偶向量场，在U中的每一点x处，定义： T T f L f （ x = f （ x （ T + （ x T x x T 该李导数有时又称为沿f的导数。 13 向量场的李积或李括号 & x1 = a sin x 2 2 & x 2 = x1 + u 例如：系统 a sin x 2 f （ x = x2 1 y = x2 ad 0 g （ x = g （ x f ad f g （ x = 0 g（ x = 1 h（ x = x 2 f g 0 0 a sin x 2 0 f T g= 2 x T x 0 0 x1 2 x1 a cos x 2 0 a cos x 2

8、= 0 1 0 ad g （ x = 2 2 （ad f g （ x x T 0 2 x1 f f 0 a sin x 2 a sin x 2 ad f g （ x = x2 x T 0 0 1 2 = ax1 sin x 2 + 2ax1 cos x 2 a cos x 2 a cos x 2 0 0 14 D.4、三种微分运算具有的性质 （1 如果和为实值函数，f为一个向量场，那么 Lf （ x = （ L f （ x （ x （2 如果和为实值函数，f和g为向量场，那么 f , g （ x = （ x （ x f , g （ x + （ L f （ x （ x g （ x （ Lg （

9、x （ x f （ x （3 如果为实值函数，f和g为向量场，那么 L f , g （ x = L f Lg （ x Lg L f （ x 15 D.4、三种微分运算具有的性质 （4 如果和为实值函数，f为向量场，而为对偶 向量场，那么 Lf （ x = （ x （ x （ L f （ x + （ x （ x , f （ x d （ x + L f （ x （ x （ x （5 如果为实值函数，f为向量场，那么 L f d （ x = dL f （ x （6 如果f和g为向量场，而为对偶向量场，那么 L f , g （ x = L f （ x , g （ x + （ x , f , g （ x

10、 16 证明性质3 （3 如果为实值函数，f和g为向量场，那么 L f , g （ x = L f Lg （ x Lg L f （ x 证明 g f L f , g （ x = T f , g = T （ T f T g x x x x 2 g 2 f = gT f + T f fT g T g T T T T xx x x xx x x = （ T g f T （ T f g x T x x x = L f Lg （ x Lg L f （ x 17 . 全局微分同胚和局部微分同胚 设线性系统： 坐标变换： x = Ax + Bu z = Tx 在新坐标描述下的系统方程为： z = TAT 1

11、 z + TBu & z = Az + Bu 如系统是非线性的，考虑非线性坐标变换，非线性变换 可描述为： 1 （ x 1 （ x1 , 2 （ x 2 （ x1 , z = （ x = = L （ x （ x , n 1 n L, xn L, xn L L, xn 18 全局微分同胚和局部微分同胚 定义在Rn中的全局微分同胚具有如下性质： （1 （x是可逆的，即存在 -1（z，使得对于Rn中的 所有x,有 x = 1 （ x = 1 （ z （2 （x和 -1（z均为光滑映射，即具有任意阶的连 续偏导数。 局部微分同胚：在给定点的一个领域内，具有上述两条性 质的变换。 19 F. 分布 F.

12、1 分布的定义 前面提到：定义在Rn中的开子集U上的的光滑向量场f可以 直观地解释为一个光滑映射，该映射将U 中的每一点x，指 派到n维向量f（x。 假设给定的d个光滑向量场f1，fd都定义在同一开子集U 上，那么，对于U中的任意固定点x，向量 f1 （x，fd（x 张成一个向量空间，定义为分布，即分布为： （x=span f1 （x，fd（x 或， =span f1，fd 20 分布 =span f1，fd 注意：符号span的含义是“通过向量场的线性组合来张 成”，组合的结果因所采用的系数不同而有多种可能，系数 的连续变化将形成一定的散布，分布即由此得名。即使分 布只由一个向量张成，也并不

13、等同于该向量场本身，其系 数的改变将形成一组一维向量场。 例：一个由三个向量场构成分布的非线性系统。 x1 x1 x 2 x1 & x = 1 + x 2 + （1 + x 3 x 2 u + x1 w x1 x1 x 2 x1 1 0 （ x = span 1 + x , （1 + x x , x x2 2 3 2 1 1 0 x2 21 F.2 分布的运算 一个分布是一个向量空间，即Rn中的一个子空间。基于这 点，可以将分布扩张，以引入与向量空间概念有关的一些 基本概念。 分布的并： （12（x= 1（x 2（x 分布的交： （12（x=1（x 2（x 例：（分布的并和交 设 0 0 1

14、（ x = span 0 , x 2 x 0 3 x1 x1 2 （ x = span 0 , 0 0 x 3 22 0 0 1 （ x = span 0 , x 2 x 0 3 x1 x1 2 （ x = span 0 , 0 0 x 3 0 0 x1 0 0 x1 x1 = span 0 , x 2 , 0 （ 1 U 2 （ x = span 0 , x 2 , 0 , 0 x 0 0 x 0 0 x 3 3 3 0 （ 1 I 2 （ x = span 0 x 3 23 F.3 分布的奇异性和正则性 维数定义：x点子空间（x的维数称为分布在x点的维数， 记为：dim（x。 =span

15、f1，fd 奇异性定义：如果对开集上任意点xU, 都有dim（x=d， 则称定义在U上的分布是非奇异的，否则就为奇异的。 正则点定义：如果U上的x点存在领域U0, 在U0上非奇 异，则称x为分布的正则点，否则就为奇异点。非奇异分布可称为不变维分布；而正则点可称为不 变维点；奇异点为变维点。 24 F.4 光滑性分布及其性质 光滑分布定义：如果分布是由一些C向量场，以C 函 数为系数张成，则称为光滑分布。 性质1：两个光滑分布的并都是光滑分布。例P23 性质2：两个光滑分布的交不一定是光滑分布。 例 考虑定义在R2上两个分布 1 1 （ x = span 1 1 + x1 2 （ x = spa

16、n 1 x1 0 x1 = 0 25 则两分布之交为 0 （ 1 I 2 （ x = 1 （ x F.5 分布的对合性 对合的定义：一个光滑分布，如果属于的任意二个向量 场fi，fj的李积fi ，fj仍属于，即 fi fj fi , f j 则称分布是对合的。 = span f 1 , f 2 例 考虑R3上的一个分布 2 x2 f1 （ x = 1 0 1 f2 （ x = 0 x2 该分布对每个R3上的 点，都是维数为2。 0 0 0 2 x 2 0 2 0 1 0 f 1 , f 2 （ x = 0 0 0 1 0 0 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 x 1 2 26 分布的

17、对合性 2 x2 f1 （ x = 1 0 1 f2 （ x = 0 x2 0 0 0 2 x 2 0 2 0 1 0 f 1 , f 2 （ x = 0 0 0 1 0 0 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 x 1 2 2 x2 f 1 , f 2 （ x = 1 0 1 0 x2 0 它的维数为3。 0 1 27 f1 f2 所以，该称分布不是对合的。分布的对合性 2 2 例：域 U = x R 3：x1 + x 3 0 上定义一分布 = span f 1 , f 2 2 x3 f1 （ x = 1 0 x1 f 2 （ x = 2 x2 x3 该分布对每个R3上的 点，都是维数

18、为2。 1 0 0 2 x 3 0 0 2 x1 f 1 , f 2 （ x = 0 2 0 1 0 0 0 2 x 2 0 0 1 0 0 0 0 x 3 4 x3 = 2 = 2 f 2 0 它的维数也为2。 28 所以，该称分布是对合的。F.6 光滑对偶分布 假设给定的d个光滑向量场f1，fd都定义在同一开子集U 上，那么，对于U中的任意固定点x，向量 f1 （x，fd（x 张成一个向量空间，定义为分布。 对应的对偶向量场 对偶向量场为1，d都定义在同一开子集U上，那么， 对于U中的任意固定点x，向量 1 （x，d（x张成一个向 量空间，定义为光滑对偶分布。 （x=span 1 （x，d

19、（x 29 F.7 分布的零化子 分布的零化子又称为正交对偶分布 零化子的定义：给定一个分布，对开子集U上的每一点x， 考虑 （x的零化子，即一组零化（x中所有向量的全体对偶 向量的集合，即 （ x = w （ R n : w , v = 0, v （ x 2 2 例：x1 + x 3 0 上定义一分布 = span f 1 , f 2 2 x3 f1 （ x = 1 0 x1 f 2 （ x = 2 x2 x3 （ x = x3 2 2 x3 x1 + 4 x 2 x 3 30 G. Frobenius定理 本小小节基于分布和对偶分布概念来研究放射非线性系统的 可积性问题。并指出对偶分布法是

20、问题求解的一个合理且可 行的途径，以此方法为依据定义了分布可积性。而分布可积 性的充要条件是Frobenius定理。 在初始条件x（0=x0下， 非线性系统： x = f （ x f 0 的解x（t称为向量场f（x的积分曲线，表示为：t （ x 不同的初始条件对应不同的积分曲线，所有的积分曲线就 形成了一个积分曲线束，表示为：tf （ x 它是t和x的光滑函数，被称为向量场f（x下的流。 31 G.1. 用分布的零化子研究分布的可积性 & x 非线性系统： = f （ x 研究其解的问题是针对单个向量场。 而非线性系统：x = f （ x + g（ x u 研究其解的问题是针对两个向量场。而且

21、此组合向量场 中的两个向量场的组合关系会随控制的大小而改变。事 实上，分布的概念就是为表征组合向量场而提出的。 在多个向量场f1，fd共同作用下，同时在各向量间的组 合关系时刻改变的情况下，状态方程的积分曲线是否存在， 积分曲线所在解空间如何求得，积分曲线如何求得，与此有 关的这些问题就构成了方程可积性问题。 32 G.1.1 间接法 间接法：借助分布的零化子（正交对偶分布来求解方程的 积分曲线的求解方法。 设是在Rn的开集U上的一个d维非奇异光滑分布， 因此，在U上每点x0的领域U0上都存d个独立的光滑向量 场，即： =span f1，fd 这样一来，在x0的领域的U0上可找到n-d个独立的

22、对偶向 量场（分布的零花子，即： （ x = span1 （ x ,L , n d （ x 33 间接法 由分布和正交对偶分布应满足的正交性，有如下关系： j （ x , f i （ x = 0 i = 1,L , d j = 1,L , n d 或 j （ x FM （ x = 0 j = 1,L , n d 光滑对偶向量场j 作为一个光滑向量场，可用一个实值函 数j（x的梯度来表达，即： j = grad j = j x T j x j （ x FM （ x = 0 f d （ x = 0 j = 1,L , n d FM （ x = j x T f1 （ x L （1-2 34 间接法

23、j x T FM （ x = j x T f1 （ x L f d （ x = 0 j = 1,L , n d 上式是关于未知的j（x，j=1，n-d的偏微分方程。 这里j（x，j=1，n-d是为求解状态方程可积性问题 而特别定义的n-d个光滑函数。解此方程组，可以求得 j（x，j=1，n-d。 35 j x T FM （ x = j x T f1 （ x L f d （ x = 0 G.1.2 积分曲线所在的解空间 （1-2 首先，式（1-2中，当j为一固定值时，根据j（x，按下述 方法可确定积分曲线所在的解空间。 假设时刻t在积分曲线上对应的位置是流形上的一点x（t， 函数j 在该点取值为j（x。在该点上j变化最陡的方向是 梯度方向，也就是对偶向量场所在方向。变化为零的方向 是梯度方向的正交方向，也就是向量场所在的方向。 因此，积分曲线每时每刻只能沿j 保持常值的方向运动。 假设积分曲线的出发点是x0，其解空间应该满足：