高一联赛班秋季第六讲染色问题与操作问题Word文档下载推荐.docx

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点染色：

对离散的有限个点或平面上的点进行染色.

【例1】线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。

这时，图中共有1997条互不重叠的线段。

问：

两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？

为什么？

【例2】在6×

6的正方形格中，把部分小方格涂成红色。

然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的。

那么，总共至少要涂红多少小方格？

【例3】在n×

n（n≥3）方格表中，任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑.求证：

不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。

【例4】平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点称为整点。

设计一种方法，将所有整点涂色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得

每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；

对任意白点A、红点B及黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形。

证明你设计的的方法符合上述要求。

【例5】设平面上任一点都染上红、蓝、黄三色中的一种，求证：

一定存在一条端点同色且长度为1的线段。

【例6】平面上有6点，任何三点都是一个不等边三角形的顶点，求证：

这些三角形的边中一定有一条，它在一个三角形中是最长边，而在另一个三角形中是最短边.

【例7】用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：

一定存在一个边长为1或

的正三角形，它三个顶点是同色的.

6.2操作问题

操作问题是发源于博弈论的组合趣题；

有不少操作问题是以染色形式呈现；

但更多的操作问题涉及到单人与双人的胜负，对推理能力要求很高.由于联赛中出现操作问题相对较少，我们只举数例简单介绍之.

【例8】有1987块玻璃片，每块上涂有红、黄、蓝三色之一，进行下列操作：

将不同颜色的两块玻璃片擦净，然后涂上第三种颜色。

求证：

无论开始时红、黄、蓝色玻璃片各有多少块，总可以经过有限次操作而使所有的玻璃片涂有同一种颜色；

玻璃片最后变成哪种颜色，与操作顺序无关。

【例9】

在黑板上写上1，2，3，…，1998。

按下列规定进行“操作”：

每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。

黑板上剩下的数是奇数还是偶数？

有三堆石子，每堆分别有1998，998，98粒。

现在对这三堆石子进行如下的“操作”：

每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。

按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？

如行，请设计一种取石子的方案；

如不行，请说明理由。

【例10】已知三个数

，任取其中两数a,b（a>

b）,并用

代替a,b，问能否经过有限步，使三个数变成

？

【例11】正25边形的顶点上顺时针放置数字

，其中

，

做变换

，如此100次之后，证明必出现一个大于

的数.

【例12】设圆周上放若干堆小球，每堆中小球都是3的倍数，但各堆小球数不必相等.现按如下规则调整各堆球数：

把各堆小球3等分，本堆留一份，其余两份分别放入左右两堆中，如某堆不是3的倍数，则从袋子中取出一球或两球放入使得该堆球数保持为3的倍数，如此进行下去，问能否经过有限次调整使得各堆球数相等？

【演练1】可否只用

的瓷砖铺满

的地板（不允许重叠，也不留缝隙）.

【演练2】中国象棋棋盘上的马按日字型跳动，试证明：

它跳回原处一定经过了偶数步.

【演练3】由4个1×

1的正方形组成一个L形，用若干个这样的L形无重叠地拼成一个

的矩形，试证明

【演练4】已知两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。

条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。

谁放入了最后一枚硬币谁获胜。

先放的人有没有必定取胜的策略？

【演练5】是否在平面上存在这样的40条直线，它们共有365个交点？

【演练6】在黑板上写上3个整数，然后将其中一个擦去写上另外两数之和与1的差，如此进行下去最后得到了

，问一开始黑板上的数可否为