北京师范大学教育学院 刘京莉文档格式.docx
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同时体会对数据的收集、处理会获得某些新的信息。
组织一次班会活动，目的是增进同学之间的互相了解和交流。
首先让学生们自己选题，希望了解哪些信息：
“同学们每天怎么来上学?
”；
“每个月都有多少同学过生日?
“同学们喜欢读哪类图书?
“同学们的爱好是什么?
“我们最喜爱的运动”；
“我们最喜爱的动物”…然后学生们分组去调查收集数据，用表格归纳整理，并且制成各种统计图：
如：
从统计图可以知道，喜欢动物故事的同学最多，根据这个统计结果，班里可以组织一个动物研究会，办一个动物图片展览，到野生动物园去参观等。
全班同学还可以把各种图表制成墙报、手抄报把自己的班级介绍给全校其他同学等。
三、统计、概率与小学其它内容的联系
例1
上面各图中表示黑色区域的分数分别为；
；
，小学生即使没有学习几何图形的概念也可以通过分数的意义知道2号黑色区域最容易投中，因为根据分数的意义它占总面积的比最大，为。
例2
从红球所占的比例来看，1号袋为；
2号袋为；
3号袋为击，因此相比之下，1号袋最容易抽出红球。
例3下面是用扇形统计图统计的资料
对小学生来讲，扇形统计图的难点在于不同的圆心角所代表的部分的百分数表示及百分数表示的圆心角的度数，而对于—上面图中有特殊圆心角时，可避开圆心角，用分数、百分数的意义得出喜欢英语课的，科学课的，数学课的；
参加球类兴趣小组的有50％；
参加乐队的18％。
从上面的例子可以看出，统计与概率可以为发展和运用比、分数、百分数和小数这些概念提供背景。
因此我们可以用建构的方式，建立这部分内容与小学其它知识的联系和建构有意义的认知结构，从而更深入、更灵活地学习。
总之，在小学，统计与概率的教学既要具有科学性又要符合小学生的认知特点，同时，它还是解决问题的有力工具，它也是架起与其它内容之间的桥梁。
和差问题
已知两个数的和与差，求这两个数的应用题，叫做和差问题。
一般关系式有：
（和－差）÷
2＝较小数
（和＋差）÷
2＝较大数
甲乙两数的和是24，甲数比乙数少4，求甲乙两数各是多少？
（24＋4）÷
2
＝28÷
＝14→乙数
（24－4）÷
＝20÷
＝10→甲数
答：
甲数是10，乙数是14。
差倍问题
已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做差倍问题。
基本关系式是：
两数差÷
倍数差＝较小数
有两堆煤，第二堆比第一堆多40吨，如果从第二堆中拿出5吨煤给第一堆，这时第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。
原来两堆煤各有多少吨？
分析：
原来第二堆煤比第一堆多40吨，给了第一堆5吨后，第二堆煤比第一堆就只多40－5×
2吨，由基本关系式列式是：
（40－5×
2）÷
（3－1）－5
＝（40－10）÷
2－5
＝30÷
＝15－5
＝10（吨）→第一堆煤的重量
10+40＝50（吨）→第二堆煤的重量
第一堆煤有10吨，第二堆煤有50吨。
还原问题
已知一个数经过某些变化后的结果，要求原来的未知数的问题，一般叫做还原问题。
还原问题是逆解应用题。
一般根据加、减法，乘、除法的互逆运算的关系。
由题目所叙述的的顺序，倒过来逆顺序的思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果。
仓库里有一些大米，第一天售出的重量比总数的一半少12吨。
第二天售出的重量，比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨，这个仓库原来有大米多少吨？
如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是19＋12吨。
第一天售出以后，剩下的吨数是（19＋12）×
2吨。
以下类推。
列式：
[（19＋12）×
2－12]×
＝[31×
2-12]×
＝[62-12]×
＝50×
＝100（吨）
这个仓库原来有大米100吨。
置换问题
题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。
其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。
一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。
这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？
先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×
100＝2000（分），比原来的总值多2000－1880＝120（分）。
而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20－10＝10（分），如此可以求出10分一张的有多少张。
（2000－1880）÷
（20－10）
＝120÷
10
＝12（张）→10分一张的张数
100－12＝88（张）→20分一张的张数
或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。
盈亏问题（盈不足问题）
题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多（盈）或少（亏）的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题（也叫做盈不足问题）。
解答这类问题时，应该先将两种分配方案进行比较，求出由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数，然后根据题意，求出被分配物品的数量。
其计算方法是：
当一次有余数，另一次不足时：
每份数＝（余数＋不足数）÷
两次每份数的差
当两次都有余数时：
总份数＝（较大余数－较小数）÷
当两次都不足时：
总份数＝（较大不足数－较小不足数）÷
例1、解放军某部的一个班，参加植树造林活动。
如果每人栽5棵树苗，还剩下14棵树苗；
如果每人栽7棵，就差4棵树苗。
求这个班有多少人？
一共有多少棵树苗？
由条件可知，这道题属第一种情况。
（14＋4）÷
（7－5）
＝18÷
＝9（人）
5×
9＋14
＝45＋14
＝59（棵）
或：
7×
9－4
＝63－4
这个班有9人，一共有树苗59棵。
年龄问题
年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变，而倍数差却发生变化。
常用的计算公式是：
成倍时小的年龄＝大小年龄之差÷
（倍数－1）
几年前的年龄＝小的现年－成倍数时小的年龄
几年后的年龄＝成倍时小的年龄－小的现在年龄
例1、父亲今年54岁，儿子今年12岁。
几年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍？
（54－12）÷
（4－1）
＝42÷
3
＝14（岁）→儿子几年后的年龄
14－12＝2（年）→2年后
2年后父亲的年龄是儿子的4倍。
例2、父亲今年的年龄是54岁，儿子今年有12岁。
几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍？
（7－1）
6
＝7（岁）→儿子几年前的年龄
12－7＝5（年）→5年前
5年前父亲的年龄是儿子的7倍。
例3、王刚父母今年的年龄和是148岁，父亲年龄的3倍与母亲年龄的差比年龄和多4岁。
王刚父母亲今年的年龄各是多少岁？
（148×
2＋4）÷
（3＋1）
＝300÷
4
＝75（岁）→父亲的年龄
148－75＝73（岁）→母亲的年龄
王刚的父亲今年75岁，母亲今年73岁。
（148＋2）÷
＝150÷
＝75（岁）
75－2＝73（岁）
鸡兔问题
已知鸡兔的总只数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类应用题，叫做鸡兔问题，也叫“龟鹤问题”、“置换问题”。
一般先假设都是鸡（或兔），然后以兔（或鸡）置换鸡（或兔）。
常用的基本公式有：
（总足数－鸡足数×
总只数）÷
每只鸡兔足数的差＝兔数
（兔足数×
总只数－总足数）÷
每只鸡兔足数的差＝鸡数
鸡兔同笼共有24只。
有64条腿。
求笼中的鸡和兔各有多少只？
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（64－2×
24）÷
（4－2）
＝（64－48）÷
＝16÷
＝8（只）→兔的只数
24－8＝16（只）→鸡的只数
笼中的兔有8只，鸡有16只
凤凰博客3@8Zp|S5|+U
。
牛吃草问题（船漏水问题）
若干头牛在一片有限范围内的草地上吃草。
牛一边吃草，草地上一边长草。
当增加（或减少）牛的数量时，这片草地上的草经过多少时间就刚好吃完呢？
例1、一片草地，可供15头牛吃10天，而供25头牛吃，可吃5天。
如果青草每天生长速度一样，那么这片草地若供10头牛吃，可以吃几天？
一般把1头牛每天的吃草量看作每份数，那么15头牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上这片草地10天长出草，以下类推……其中可以发现25头牛5天的吃草量比15头牛10天的吃草量要少。
原因是因为其一，用的时间少；
其二，对应的长出来的草也少。
这个差就是这片草地5天长出来的草。
每天长出来的草可供5头牛吃一天。
如此当供10牛吃时，拿出5头牛专门吃每天长出来的草，余下的牛吃草地上原有的草。
（15×
10－25×
5）÷
（10－5）
＝（150－125）÷
＝25÷
5
＝5（头）→可供5头牛吃一天。
150－10×
＝150－50
＝100（头）→草地上原有的草可供100头牛吃一天
100÷
＝100÷
＝20（天）
若供10头牛吃，可以吃20天。
例2、一口井匀速往上涌水，用4部抽水机100分钟可以抽干；
若用6部同样的抽水机则50分钟可以抽干。
现在用7部同样的抽水机，多少分钟可以抽干这口井里的水？
（100×
4－50×
6）÷
（100－50）
＝（400－300）÷
50
＝2
400－100×
＝400－200
＝200
200÷
（7－2）
＝200÷
＝40（分）
用7部同样的抽水机，40分钟可以抽干这口井里的水。
公约数、公倍数问题
运用最大公约数或最小公倍数解答应用题，叫做公约数、公倍数问题。
例1：
一块长方体木料，长2．5米，宽1．75米，厚0．75米。
如果把这块木料锯成同样大小的正方体木块，不准有剩余，而且每块的体积尽可能的大，那么，正方体木块的棱长是多少？
共锯了多少块？
2．5＝250厘米
1．75＝175厘米
0．75＝75厘米
其中250、175、75的最大公约数是25，所以正方体的棱长是25厘米。
（250÷
25）×
（175÷
（75÷
25）
＝10×
＝210（块）
正方体的棱长是25厘米，共锯了210块。
例2、两啮合齿轮，一个有24个齿，另一个有40个齿，求某一对齿从第一次接触到第二次接触，每个齿轮至少要转多少周？
因为24和40的最小公倍数是120，也就是两个齿轮都转120个齿时，第一次接触的一对齿，刚好第二次接触。
120÷
24＝5（周）
40＝3（周）
每个齿轮分别要转5周、3周。
分数应用题
指用分数计算来解答的应用题，叫做分数应用题，也叫分数问题。
分数应用题一般分为三类：
1．求一个数是另一个数的几分之几。
2．求一个数的几分之几是多少。
3．已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
其中每一类别又分为二种，其一：
一般分数应用题；
其二：
较复杂的分数应用题。
育才小学有学生1000人，其中三好学生250人。
三好学生占全校学生的几分之几？
三好学生占全校学生的。
例2：
一堆煤有180吨，运走了。
走了多少吨？
180×
＝80（吨）
运走了80吨。
例3：
某农机厂去年生产农机1800台，今年计划比去年增加。
今年计划生产多少台？
1800×
（1＋）
＝1800×
＝2400（台）
今年计划生产2400台。
例4：
修一条长2400米的公路，第一天修完全长的，第二天修完余下的。
还剩下多少米？
2400×
（1－）×
（1－）
＝2400×
×
＝1200（米）
还剩下1200米。
例5：
一个学校有三好学生168人，占全校学生人数的。
全校有学生多少人？
168÷
＝840（人）
全校有学生840人。
例6：
甲库存粮120吨，比乙库的存粮少。
乙库存粮多少吨？
＝120×
＝180（吨）
乙库存粮180吨。
例7：
一堆煤，第一次运走全部的，第二次运走全部的，第二次比第一次少运8吨。
这堆煤原有多少吨？
8÷
（－）
＝8÷
＝48（吨）
这堆煤原有48吨。
工程问题
它是分数应用题的一个特例。
是已知工作量、工作时间和工作效率，三个量中的两个求第三个量的问题。
解答工程问题时，一般要把全部工程看作“1”，然后根据下面的数量关系进行解答：
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工作效率×
工作时间＝工作量
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工作量÷
工作时间＝工作效率
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工作效率＝工作时间
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一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。
如果两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，还要几天完成？
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[1－（）×
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＝[1－]÷
＝×
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＝4（天）
（略）。
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一个水池，装有甲、乙两个进水管，一个出水管。
单开甲管2小时可以注满；
单开乙管3小时可以注满；
单开出水管6小时可以放完。
现在三管在池空时齐开，多少小时可以把水池注满？
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＝1÷
＝1（小时）
（略）
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百分数应用题
这类应用题与分数应用题的解答方式大致相同，仅求“率”时，表达方式不同，意义不同。
例1．某农科所进行发芽试验，种下250粒种子。
发芽的有230粒。
求发芽率。
发芽率为92％。
1、长方形的周长=（长+宽）×
2C=（a+b）×
2、正方形的周长=边长×
4C=4a
3、长方形的面积=长×
宽S=ab
4、正方形的面积=边长×
边长S=a.a=a
5、三角形的面积=底×
高÷
2S=ah÷
6、平行四边形的面积=底×
高S=ah
7、梯形的面积=（上底+下底）×
2S=（a＋b）h÷
8、直径=半径×
2d=2r半径=直径÷
2r=d÷
9、圆的周长=圆周率×
直径=圆周率×
半径×
2c=πd=2πr
10、圆的面积=圆周率×
半径Ѕ=πr
11、长方体的表面积=（长×
宽+长×
高＋宽×
高）×
12、长方体的体积=长×
宽×
高V=abh
13、正方体的表面积=棱长×
棱长×
6S=6a
14、正方体的体积=棱长×
棱长V=a.a.a=a
15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×
高S=ch
16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
S=2πr+2πrh=2π（d÷
2）+2π（d÷
2）h=2π（C÷
2÷
π）+Ch
17、圆柱的体积=底面积×
高V=Sh
V=πrh=π（d÷
2）h=π（C÷
π）h
18、圆锥的体积=底面积×
V=Sh÷
3=πrh÷
3=π（d÷
2）h÷
3=π（C÷
π）h÷
19、长方体（正方体、圆柱体）的体
1、每份数×
份数＝总数总数÷
每份数＝份数总数÷
份数＝每份数
2、1倍数×
倍数＝几倍数几倍数÷
1倍数＝倍数几倍数÷
倍数＝1倍数
3、速度×
时间＝路程路程÷
速度＝时间路程÷
时间＝速度
4、单价×
数量＝总价总价÷
单价＝数量总价÷
数量＝单价
5、工作效率×
工作时间＝工作总量工作总量÷
工作效率＝工作时间工作总量÷
6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数
8、因数×
因数＝积积÷
一个因数＝另一个因数
9、被除数÷
除数＝商被除数÷
商＝除数商×
除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×
4C=4a面积=边长×
边长S=a×
a
2、正方体V:
体积a:
棱长表面积=棱长×
6S表=a×
a×
6体积=棱长×
棱长V=a×
3、长方形
C周长S面积a边长
周长=（长+宽）×
C=2（a+b）
面积=长×
宽
S=ab
4、长方体
V:
体积s:
面积a:
长b:
宽h:
高
（1）表面积（长×
高+宽×
S=2（ab+ah+bh）
（2）体积=长×
V=abh
5三角形
s面积a底h高
面积=底×
s=ah÷
三角形高=面积×
底
三角形底=面积×
6平行四边形
s面积a底
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