华师大数学七下第八章Word文档格式.docx
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x
5x
比较120与5x的大小
120<
5x
21
105
120>
不成立
22
23
24
25
26
27
成立
…
由上表可见，当x＝___________时，不等式120<
5x成立。
也就是说，少于30人时，至少要有_____人进公园时，买30张票反而合算。
概括
像上面出现的120<
135，x<
30，120<
5x那样用不等号“<
”或“>
”表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality）。
不等式120<
5x中含有未知数x。
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（solutionofinequality）。
如上例中，x＝25，26，27，…都是不等式120<
5x的解，而x＝24，23，22，21则不是它的解。
例用不等式表示：
（1）x的一半小于－1
（2）y与4的和大于0.5
（3）a是负数；
（4）b是非负数；
解
（1）
x<
－1
（2）y＋4>
0.5
（3）a<
（4）b是非负数，就是b不是负数，它可以是正数或零，即b>
0或b＝0，通常可表示成b≥0。
练习
1．用不等式表示：
（1）x的3倍大于5；
（2）y与2的差小于－1。
（3）x的2倍大于x；
（4）y的
与3的差是负数。
（5）a是正数；
（6）b不是正数；
2．用“<
”号填空：
（1）7＋3________4＋3；
（2）7＋（－1）______4＋（－1）；
（3）7×
3________4×
3；
（4）7×
（－3）______4×
（－3）。
3．下列各数中，哪些是不等式x＋2>
5的解？
哪些不是？
－3，－2，－1，0，1.5，2.5，3，3.5，5，7。
习题8.1
1．比较下列各数的大小，用“<
”填空：
（1）－3______-2；
（2）－1______0；
（3）3______－4；
（4）－5______－6；
（5）
______
；
（6）－
______－
。
2．用不等式表示：
（1）x的
与3的差大于2；
（2）2x与1的和小于零；
（3）a的2倍与4的差是正数；
（4）b的
与c的和是负数；
（5）a与b的差是非负数；
（6）x的绝对值与1的和不小于1。
3．向阳小队10人到学校图书馆参加装订杂志的劳动，开始两天，每人每天完成5本杂志。
问以后3天，每人每天必须完成几本杂志，才能超额完成300本杂志的装订任务？
试列出不等式，找出符合题意的一些解。
8.2解一元一次不等式
1．不等式的解集
回忆
在上一节练习第3题中，我们发现，－3、－2、－1、0、1.5、2.5、3都不是不等式x＋2>
5的解。
由此可以看出，不等式x＋2>
5有许多个解。
进而看出，大于3的每一个数都是不等式x＋2>
5的解，而不大于3的每一个数都不是不等式x＋2>
由此可见，不等式x＋2>
5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x＋2>
5的解集。
一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集（solutionset）。
研究不等式的一个重要任务，就是求出不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式（solvinginequality）。
不等式x＋2>
5的解集，可以表示成x>
3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.1所示。
同样，如果某个不等式的解集为x≤－2，也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.2所示。
1．根据“当x为任何正数时，都能使不等式x＋3>
2成立”，能不能说“不等式x＋3>
2的解集是x>
0”？
为什么？
2．两个不等式的解集分别为x<
2和x≤2，它们有什么不同？
在数轴上怎样表示它们的区别？
3．两个不等式的解集分别为x<
1和x≥1，分别在数轴上将它们表示出来。
2．不等式的简单变形
回顾与探索
在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形。
在研究解不等式时，我们同样应先探究不等式的变形规律。
如图8.2.3所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然a>
b），如果在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么盘子仍然像原来那样倾斜（即a＋c>
b＋c）。
不等式的性质1如果a>
b，那么
a＋c>
b＋c，a－c>
b－c
这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等式的方向不变。
思考
不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
试一试
将不等式7>
4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<
7×
3_______4×
3，
2_______4×
2，
1_______4×
1，
0_______4×
0，
（－1）_______4×
（－1），
（－2）_______4×
（－2），
（－3）_______4×
（－3），
………………………………………………
从中你能发现什么？
不等式的性质2如果a>
b，并且c>
0，那么ac>
bc。
不等式的性质3如果a>
b，并且c<
0，那么ac<
这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>
a或x<
a的形式。
例1解不等式：
（1）x－7<
8
（2）3x<
2x-3
解
（1）不等式的两边都加上7，不等式的方向不变，所以
x－7＋7<
8＋7，
得x<
15
（2）不等式的两边都减去2x（即加上－2x），不等号的方向不变，所以
3x－2x<
2x－3－2x
得x<
－3
这里的变形，与方程变形中的移项相类似，你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗？
例2解不等式：
（1）
x>
－3；
（2）－2x<
6。
解
（1）不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以
x×
2>
（－3）×
得x>
－6。
（2）不等式的两边都除以－2（即乘以－
），不等式的方向改变，所以
－2x×
（－
）>
6×
），
－3。
这里的变形，与方程变形中的“将未知数的系数化为1”相类似，它依据的是不等式的性质2或3，要注意不等式两边乘以（或除以）的数是正数还是负数，确定变形时不等号的方向是否需要改变。
解下列不等式，并在数轴上表示出来：
1．X－2>
02．X＋1>
3．－2x<
44．3x≤0
3．解一元一次不等式
前面遇到的不等式有一个共同的特点：
它们都只含有一个未知数，且含未知
数的式子是整式，未知数的次数是1。
像这样的不等式叫做一元一次不等式（linearinequalitywithoneunknown）。
我们再来解一些一元一次不等式。
例3解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1）2x－1<
4x＋13；
（2）2（5x＋3）≤x－3（1－2x）.
解
（1）2x－1<
4x＋13，
2x－4x<
13＋1，
－2x<
14，
x>
－7.
它在数轴上的表示如图8.2.4.
（2）2（5x＋3）≤x－3（1－2x），
10x＋6≤x－3＋6x，
3x≤－9，
x≤－3.
它在数轴上的表示如图8.2.5
例4当x取何值时，代数式
与与
的值的差大于1？
解根据题意，得
－
>
2（x＋4）－3（3x－1）>
6，
2x＋8－9x＋3>
－7x＋11>
－7x>
－5，
得x<
所以，当x取小于
的任何数时，代数式
的值的差大于1。
讨论
试从例4的解答中总结一下解一元一次不等式的步骤，与你的同伴讨论和交流。
1．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）2x＋1>
（2）2－x<
1；
（3）2（x+1）<
3x；
（4）3（x＋2）≥4（x－1）＋7.
2．解不等式：
>
3．一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务。
问以后几天内，平均每天至少要挖土多少m3？
问题2
在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。
育才中学25名学生通过了预选赛，它们分别可能答对了多少道题？
实践与探索
试解决这个问题（不限定方法）。
你是用什么方法解决的？
有没有其他方法？
与你的同伴讨论和交流一下。
如果你是利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后，如何给出原问题的答案？
应该如何表述？
1．求下列不等式的正整数解：
（1）－4x≥－12；
（2）3x－11<
0.
2．学校图书馆搬迁，有15万册图书，原准备每天在一个班级的劳动课上，安排一个小组同学帮助搬运图书，两天共搬了1.8万册。
如果要求在一周内搬完，设每个小组搬运图书数相同，则在以后五天内，每天至少安排几个小组搬书？
习题8.2
1．解不等式：
（1）x－5<
0
（2）3x≥2x－6
（3）2x<
－3（4）－2x>
2．写出下图所表示的不等式的解集
3．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。
（1）3x≥－3；
（2）－3x＋3<
（3）2x＋2≤3x＋3（4）5x－1>
8x＋3
4．a取什么值时，代数式4a＋2的值：
（1）大于1？
（2）等于1？
（3）小于1？
5．解下列不等式：
＋1>
x；
（2）3（x＋2）<
4（x－1）＋7；
（3）
（x－3）<
－2x；
（4）
－2.
6．求不等式1－2x<
6的负整数解。
7．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒。
问导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？
8.3一元一次不等式组
问题3
用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水不少于1200吨且不超过1500吨，那么大约需要多少时间才能将污水抽完？
分析
设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为30x吨。
由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，应有
1200≤30x≤1500
上式实际上包括了两个不等式
30≥1200
和30x≤1500
它说明了在这个实际问题中，未知量x应同时满足这两个条件。
我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：
①②
分别求这两个不等式的解集，得
①
②
同时满足不等式①、②的未知数x应是这两个不等式解集的公共部分。
在数轴上表示这两个不等式的解集（图8.3.1），可知其公共部分是40和50之间的数（包括40和50），记作40≤x≤50。
这就是所列不等式组的解集。
所提问题的答案为：
大约需要40到50分钟才能将污水抽完。
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。
解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分。
利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。
例1解不等式组：
解解不等式①，得x>
2
解不等式②，得x>
4
在数轴上表示不等式①、②的解集，如图8.3.2，可知所求不等式组的解集是
x>
解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
1.
2．
3．
4．
例2解不等式组：
解解不等式①，得x<
解不等式②，得x≥2
在数轴上表示不等式①、②的解集，如图8.3.3
可见，这令不等式的解集没有公共部分，这时，我们说这个不等式组无解。
问题4
小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端；
体重只有妈妈一般的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的一端。
这时，爸爸的一端仍然着地。
后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被高高地跷起。
猜猜看，小宝的体重约多少千克（精确到1千克）？
探索与讨论
问题的已知条件有哪些？
从跷跷板的状况可以概括出怎样的不等关系？
用什么方法可以解决这个问题？
试一试，并与你的同伴讨论和交流。
1．填表：
不等式组
数轴表示
解集
2．结下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（2）
（4）
3．试求不等式组
的解集。
4．把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；
如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果少于3个，问有几个孩子？
有多少只苹果？
习题8.3
1．解下列不等式组：
（2）
（4）
（5）2x+1<
3x-1
2x-1>
x+2
x－4≤0
2．求不等式组2≤3x－7<
8的整数解。
3．课外阅读课上，老师将43本书分给各个小组，每组8本，还有剩余；
每组9本，却又不够。
问有几个小组。
小结
一、知识结构
二、注意事项
1．不等式的只是源于生活实际。
要学会分析现实世界中量与量的不等关系，并抽象出不等式。
2．解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，不等式的变形要注意与方程的变形相对照，特别是注意不等式的性质3：
当不等式两边都乘以同一个负数时，不等号要改变方向。
3．将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，可以加深对一元一次不等式和一元一次不等式组的解集的理解，也便于直观地得到一元一次不等式组的解集。
复习题
A组
1．下面方程或不等式的解法对不对？
a）由－x＝5，得x＝－5；
b）由－x>
5，得x>
－5；
c）由2x>
4，得x<
－2；
d）由－
≤3，得x≥－6。
2．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）－3x<
0；
（2）8x＋1≤5x－3；
（3）3（x＋2）－1≥5－2（x－2）；
（1－2x）>
3．X取什么值时，代数式5－3x的值：
（1）是负数？
（2）是0？
（3）是正数？
4．解下列不等式组：
（4）
5．求不等式组
的自然数解。
6．一次智力测验，有20道选择题。
评分标准为：
对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分。
小明有2道题未答。
问至少答对几道题，总分不低于60分？
B组
7．判断下列不等式的变形是否正确：
（1）由a<
b，得ac<
bc；
（2）由x>
y，且m
0，得－
<
（3）由x>
y，得xz2>
yz2；
（4）由xz2>
yz2，得x>
y
8．三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有几组？
把它们分别写出来。
9．有一个两位数，如果把它的个位和十位上的数字对调，发现得到的两位数比原来的两位数小，请问原来的两位数中，个位上的数字与十位上的数字，哪个大一些？
10．某城市的出租汽车起步价为10元（即行驶距离在5千米以内都需付10元车费），达到或超过5千米后，每行驶1千米加1.2元（不足1千米也按1千米计）。
现某人乘车从甲地到乙地，支付车费17.2元，问从甲地到乙地的路程大约是多少？
11．初二年级秋游，若租用48座客车若干辆，则正好坐满；
若租用64座客车，则能少租1辆，且有一辆车没有坐满，但超过一半。
已知租用48座客车每辆250元，租用64座客车每辆300元，问应租用哪种客车较合算？
C组
12．已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围。
13．已知∣5x-3∣＝3－5x，求x的取值范围。
14．
（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，从下面的示意图，你能判断三人的
轻重吗？
（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，从下面的示意图，你该如何判
断这四人的轻重呢？
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