高斯小学奥数四年级上册含答案第05讲加法原理与乘法原理.docx
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高斯小学奥数四年级上册含答案第05讲加法原理与乘法原理
第五讲加法原理与乘法原理
“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算!
我们以前学习过枚举计数的方法,但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了,今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法.先举一个例子:
餐厅里有4种炒菜和2种炖菜,4种炒菜分别是:
红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐,2种炖菜分别是:
土豆炖牛肉和萝卜炖排骨.
点菜时如果只点一个菜,有点炒菜和点炖菜这两类方式.也就是说,可以点:
红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一,有
种点菜方法,其中4代表4种炒菜,2代表2种炖菜.这就是加法原理.
加法原理:
如果完成一件事有几类方式,在每一类方式中又有不同的方法,那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数.
如果要求炒菜和炖菜各点一个,这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合,点炒菜是一第一步,点炖菜是第二步,这两步缺一不可.炒菜选红烧鱼块的点菜方法有2种:
(红烧鱼块,土豆炖牛肉)、(红烧鱼块,萝卜炖排骨);类似地,选滑溜里脊的也有2种:
(滑溜里脊,土豆炖牛肉)、(滑溜里脊,萝卜炖排骨);选清炒虾仁的也有2种:
(清炒虾仁,土豆炖牛肉)、(清炒虾仁,萝卜炖排骨);选三鲜豆腐的也有2种:
(三鲜豆腐,土豆炖牛肉)、(三鲜豆腐,萝卜炖排骨).合在一起就有
种点菜方法,其中4代表4种炒菜,2代表2种炖菜.这就是乘法原理.
乘法原理:
如果完成一件事分为几个步骤,在每一个步骤中又有不同的方法,那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数.
例题1
小高一家人外出旅游,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以坐飞机.经过网上查询,出发的那一天中火车有4班,汽车有3班,飞机有2班.任意选择其中一个班次,有多少种出行方法?
「分析」选择不同的交通工具是分类还是分步?
是用加法原理还是乘法原理呢?
练习1
书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画,大头要从书架上任意取一本书,有多少种不同的取法?
例题2
用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分染色,每个部分只能染一种颜色,一共有多少种不同的染色方法?
「分析」要给四个部分染色,我们很容易想到要依次染每个部分,这是分类还是分步呢?
只染一个部分能完成这件事情吗?
练习2
用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子三个部分染色,每个部分只能染一种颜色,一共有多少种不同的染色方法?
分类是指完成一件事情有几类不同方法,从中任意选取一类即可,它们之间可以相互替代,任意选取一类都可以完成这件事.这种情况下一般要用到加法原理.
分步是指完成一件事情有几步不同步骤,每一步都必须执行,它们之间不可以相互替代,少一步都不能完成这件事.这种情况下一般要用到乘法原理.
例题3
从甲地到乙地有3条路,从乙地到丙地有3条路,从甲地到丁地有2条路,从丁地到丙地有4条路.如果要求所走路线不能重复,那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?
「分析」要从甲地到丙地,就必须途径乙、丁两地之一.“甲→乙→丙”与“甲→丁→丙”这两类路线各有多少条呢?
练习3
任意两地之间的路线都已在下图中标示出来,如果要求所走路线不能重复,那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?
通过上面这几个例题,我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别.
加法原理
类与类之间会满足下列要求:
1.只能选择其中的某一类,而不能几类同时选;
2.类与类之间可以相互替代,只需要选择某一类就可以满足要求.
比如例题1中,飞机、火车或汽车是可以随意选择的,小高一家人只选择其中一种交通工具,就能到达目的地了.
乘法原理
步与步之间满足下列要求:
1.每步都只是整件事情的一个部分,必须全部完成才能满足结论;
2.步骤之前有先后的顺序,先确定好一步,再做下一步,……,直到最后.
比如例题2中,衣服和帽子都要选择,只是可以有先后的步骤关系.在这里,衣服和帽子先选哪种都可以.但有的时候却不能随意安排顺序,这种问题稍微难一些,我们在日后会接触到.
加法原理与乘法原理的混合
有些问题中,既有分类的关系,又有分步的关系.这时应该分清主次关系,弄清楚到底是“分类中含有分步”,还是“分步中含有分类”.如果是某一大类里面又可以再分为几小步,那么应该这一类里用乘法原理进行计算,最后再用加法原理把各类中的情况加在一起,比如例题3.当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况,这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情况,再用乘法原理把总数算出来.
在本讲的最后,我们来介绍标数法.标数法是解决路径条数问题的重要方法.
如下图所示,我们要计算蚂蚁从A点沿箭头的方向爬到B点的不同路线有多少条.
由于蚂蚁只能向上走或者向右走,因此对于最下面一行中的每个点,蚂蚁只有一种方法可以到达,对于最左边一列中的点也是同样的结论(特别地,我们把A点处标上1,表示蚂蚁从A点出发到达A点,只有原地不动这一种方式).我们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数,已经得到的结果如下图所示.
容易看出,蚂蚁可以从C点或者D点到达E点,而且只有这两类不同的方式,那么我
们可以在E点处标上数字
(把C点与D点的数字相加),表示蚂蚁到达E点有两条路线.同样道理,蚂蚁可以从E点或者F点到达G点,那么蚂蚁到达G点就有
条路线(把E点与F点的数字相加).最后可以得到蚂蚁到达B点有4条路线,如下图所示.
例题4
在下图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法?
「分析」标数法其实就是要找到前一步可能在的所有点,把它们的方法数加起来.
练习4
在下图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法?
例题5
老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式,要求被减数必须是三位数,减数必须是两位数.请问墨莫共有多少种不同的写法?
「分析」被减数与减数都有很多种写法,只写其中一个能完成这个减法算式吗?
写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步?
例题6
书架上有三层书,第一层放了15本小说,第二层放了10本漫画,第三层放了5本科普书,并且这些书都各不相同.请问:
(1)如果从所有的书中任取1本,共有多少种不同的取法?
(2)如果从每一层中各任取1本,共有多少种不同的取法?
(3)如果从中取出2本不同类别的书,共有多少种不同的取法?
「分析」从第一层取1本书、从第二层取1本书、从第三层取1本书,这三件事对于前两问来说是分类还是分步?
课堂内外
加减乘除的由来
加减乘除(+、-、×、÷)等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号,因为不光在数学学习中离不开它们,几乎每天的日常的生活也离不开它们.别看它们这么简单,直到17世纪中叶才全部形成.
法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中,使用了一些编写符号,如用D表示加法,用M表示减法.这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中,他用“+”表示超过,用“─”表示不足.到1514年,荷兰的赫克首次用“+”表示加法,用“─”表示减法.1544年,德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“+”和“─”表示加减,这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号,广泛采用.
以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的.他于1631年出版的《数学之钥》中引入这种记法.据说是由加法符号“+”变动而来,因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的.后来,莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆,建议用“•”表示乘号,这样,“•”也得到了承认.
除法符号“÷”,最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行,奥屈特用“:
”表示除或比,也有人用分数线表示比,后来有人把二者结合起来就变成了“÷”.瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号.符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的,后来在英国得到了推广.除的本意是分,符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开,形象地表示了“分”.
至此,四则运算符号齐备了.
作业
1.题库中有三种类型的题目,数量分别为30道、40道和45道,每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷.问:
由该题库共可组成多少种不同的试卷?
2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛,每人只能参加一项比赛,不一定三项比赛都要有人参加.请问报名的情况有多少种?
3.图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书.
(1)墨莫要去图书馆借1本书,有多少种不同的选择?
(2)墨莫三种书都要各借1本,有多少种不同的选择?
4.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅,有几种选法?
5.在下图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法?
第五讲加法原理与乘法原理
1.例题1
答案:
9种
详解:
小高一家外出旅行,火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情,所以这是出行方式分成了三类,即加法原理,有
种出行方式.
2.例题2
答案:
16种
详解:
房子的四个部分都要染色,所以先给屋顶染色,有2种颜色可以选择,接下来给烟囱染色,也有2种颜色可以选择,再接下来给门染色,也有2种颜色可以选择,最后给窗染色,同样有2种颜色可以选择,分了四步即乘法原理,一共有
种不同的染色方法.
3.例题3
答案:
17种
详解:
分成“甲→乙→丙”和“甲→丁→丙”这两类路线.对于“甲→乙→丙”这类路线:
第一步从甲到乙,有3种走法,第二步从乙到丙,有3种走法,利用乘法原理得到共有
种走法.类似地,对于“甲→丁→丙”这类路线,共有
种走法.把两类的走法加起来,可得从甲地到丙地一共有
种走法.
4.例题4
答案:
35种
详解:
标数法,如下图:
5.例题5
答案:
81000种
详解:
一个减法算式,只要被减数和减数确定了,这个减法算式就是确定的,而且被减数和减数都要有,所以先选择一个被减数,再选择一个减数.被减数是三位数,三位数的总个数有两种算法,方法一:
最小的三位数是100,最大的三位数是999,所以一共有
个三位数;方法二:
三位数必须要有百位、十位、个位,所以先给百位选择一个数字,1~9有9种选择,再给十位选择一个数字,0~9有10种选择,最后给百位选择一个数字,0~9有10种选择,一共分了三步即乘法原理,一共有
个三位数.两位数的总个数算法和三位数一样,一种是
个两位数,另一种是
个两位数.要组成一个减法算式,先从三位数中选择1个作为被减数,一共有900种选择,再从两位数中选择1个作为减数,一共有90种选择,分了两步即乘法原理,共有
种不同的写法.
6.例题6
答案:
30种;750种;275种
详解:
(1)从所有的书中任取1本,即可以选择小说或者漫画或者科普书,即在三类中选择1本,加法原理,共有
种不同的取法;
(2)从每一层中各任取1本,可以先在第一层取小说,再在第二层取漫画,最后在第三层取科普书,分了三步即乘法原理,共有
种不同的取法;(3)从中取出2本不同类别的书,可以是小说和漫画,也可以是漫画和科普,还可以是小说和科普,这是分了三类,在第一类小说和漫画必须各有一本,所以先取小说再取漫画,有
种不同的取法;在第二类漫画和科普必须各有一本,所以先取漫画再取科普,有
种不同的取法;在第三类小说和科普必须各有一本,所以先取小说再取科普,有
种不同的取法,三类是加法原理,共有
种不同的取法.
7.练习1
答案:
18种
详解:
从小说、漫画中任意取一本即可,即加法原理,有
种取法.
8.练习2
答案:
8种
详解:
先给眼睛染,有2种方法;再给嘴巴染,有2种方法;最后给身子染,有2种染法,分三步,乘法原理,所以共有
中不同的染法.
9.练习3
答案:
11种
简答:
分成“甲→乙→丙”和“甲→丙”这两类路线.对于“甲→乙→丙”这类路线:
第一步从甲到乙,有3种走法,第二步从乙到丙,有3种走法,利用乘法原理得到共有
种走法.而对于“甲→丙”这类路线,共有2种走法.把两类的走法加起来,可得从甲地到丙地一共有
种走法.
10.练习4
答案:
10种
简答:
标数法:
11.作业1
答案:
54000种.
简答:
乘法原理,
种.
12.作业2
答案:
27种
简答:
乘法原理,
种.
13.作业3
答案:
(1)60种;
(2)6000种
简答:
(1)加法原理,
种.
(2)乘法原理,
种.
14.作业4
答案:
26种
简答:
分三类:
水墨、油画,
种选法;
油画、水彩,
种选法;
水墨、水彩,
种选法,所以一共有
种选法.
15.作业5
答案:
25种
简答:
标数法,如下图所示.