矩形菱形正方形文档格式.docx
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.理解几种特殊的平行四边形之间的关系.
.了解特殊平行四边形的面积公式，中点四边形和重心的物理意义.
.会求解特殊平行四边形与函数或三角函数有关的问题.
5.会求特殊平行四边形中涉及全等、相似和其他几何变换的问题.
考查重点和常考题型
本节内容的试题涉及特殊平行四边形的概念、性质、
?
判定及它们之间的关系，主要考
查边长、对角线长、面积等的计算，题型有填空题、选择题，但更多的是证明题，求值计算
题、条件探索题、几何动态问题和与函数结合题.
♦备考兵法
1.在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时,
通常是在某一个直角三角形中运用勾
股定理及有关直角三角形的知识来解决.
正方形的性质很多，要根据题目的已知条件，选择
最恰当的方法，使解题思路简捷.
将所求的结
2.在解答时，要根据特殊平行四边形的一些特殊规律或添加相应的辅助线,论转化在特殊的平行四边形或三角形中思考，要注意寻找图形中隐含的相等的边和角.
♦考点链接
1.特殊的平行四边形的之间的关系
，一为0°
矩形警
对/平行边形一角为直角且一组邻
B边相等
正方
正
万
矩形
菱形
形
平行四边形
2.
特殊的平行四边形的判别条件
要使UABCd成为矩形，需增加的条件是
要使UABCd成为菱形,
需增加的条件是
要使矩形ABCD成为正方形,
要使菱形ABCD成为正方形,
3.
例2（浙江杭州）如图，在菱形ABCD中,/A=110°
E,
F分别
是边AB和BC的中点，EPXCD于点P,则/FPC=（）
A.35
B.45
C.50
D.55
【答案】D
【解析】本题综合考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、
直角三角形斜边上
的中线的性质、三角形的内角和等知识点，是一道综合性很强的题目。
特殊的平行四边形的性质
边
角
对角线
止方形
典例精析
例1（浙江杭州）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是
【答案】14或16或26
解答本题最好能将所有的拼法画
【解析】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力。
出来后再进行求解。
本题的不同拼法有:
D
P
G
解答本题应首先延长PF交AB的延长线于点G根据题意，利用角角边可证明ABGF也
ACPF，于是得到NFPC=NG,PF=FG所以在RtiEGP中，EF是斜边上的中线，于是
得到FE=FG所以NG=NFEG，又因为E、F分别为中点，所以EB=FB所以，FE=FG=BF
所以NFPC=NG=NBEF=NBFE，又因为/
A=110°
，所以ZEBF
=70°
因此,
2NFPC+70°
=180°
解得NFPC=55°
。
例3（年贵州贵阳）如图，已知面积为1的正方形
ABCD勺对角线相交于点
O过点0任意作一条直线分别交ADBC于EF,
则阴影部分的面积
【答案】4或0.25.
【解析】本题综合考察了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识进行有关计算的能
力，属于基础题，依据已知和正方形的性质及全等三角形的判定可知△
AOE^ACOF则得图
中阴影部分的面积为正方形面积的4,因为正方形的边长为1，则其面积为1，于是这个图
1
中阴影部分的面积为1。
解答这类题时一般采取利用图形的全等的知识将分散的图形集中在
起，再结合图形的特征选择相应的公式求解。
例4（山东威海）如图1,在正方形ABCD中，E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA
上的点，HA=EB=FC=GD,
连接EG,FH，交点为0.
结论;
图1
（1）如图2
GH,HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的
B
F
图3
（2）将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接
成一个四边形•若正方形ABCD的边长为3cm,HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中
阴影部分的面积为
2cm.
【分析】
（1）结合条件观察图形2容易发现：
△AEHBFE4、CGF耳、DHG,得出：
四边形EFGH是菱形；
再由△DHG4、AEH可知：
DHG+NAHE=90°
从而
证得四边形EFGH是正方形.
（2）连接EHHGGFFE,由第
（1）小题可知：
四边形EFGH
是正方形，可得阴影部分面积是1.
【答案】
（1）四边形EFGH是正方形.
证明：
叮四边形ABCD是正方形,
/.NA=NB=NC=ND=90°
AB=BC=CD=DA.
7HA=EB=FC=GD,
二AE=BF=CG=DH.
/.△AEH4、bFE4、CGF4、dHG.
/.EF=FG=GH=HE.
二四边形EFGH是菱形.
由、DHG4、AEH知NDHG=NAEH.
:
ZAEH+NAHE=90°
上DHG+NAHE=90°
.
「.NGHE=90°
二四边形EFGH是正方形.
迎考精炼
、选择题
1.（吉林长春）
菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，
NAOC=45°
OC
，则点B的坐标为（
A.（72,1）
B.
（,）
C.（后1,1）
D.（1,72+1）
2.（广西南宁）
如图,
将一个长为10cm宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两
邻边中点的连线
（虚线）
剪下，再打开，得到的菱形的面积为（
A.10cm
20cm
C.40cm
D.
80cm
3.（湖南长沙）如图，矩形
ABCD的两条对角线相交于点O,
NAOB=60°
AB=2，则
矩形的对角线AC的长是（
A.
C.
D.4/3
4.（湖北孝感）如图，正方形
ABCD内有两条相交线段MNEF,
分别在边ABCDADBC上.小明认为：
若MN=EF,贝yMNLEF;
为：
若MNLEF,贝UMN=EF.你认为（
MNE、F
小亮认
A.仅小明对
B.仅小亮对C.两人都对D.两人都不对
5.（黑龙江齐齐哈尔市）梯形ABCD中，AD//BC,
BC=4，厶C=70°
NB=40°
，则AB的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
6.（山西）如图
（1）,把一个长为m、宽为n的长方形
（mAn）
沿虚线剪开，拼接成图
（2）,成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形,
则去掉的小正方形的边长为（）
B.m-n
Ih
hhh
n
m
（1）
（2）
二、填空题
1.（广西贺州）如图，正方形ABC啲边长为1cmE、F分别是BCCD的中点，连接BF、
DE则图中阴影部分的面积是
cm.
E
2.（青海）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是
（只填一个你认为正确的即可）
3.（天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.
个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是
4.（山东烟台）如图，将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容
易知道当两张纸条垂直时,
8,那么菱形周长的最大值是
5.（山东日照）如图，在四边形ABCD^，已知AB与CD不平行，/ABD=/ACD请你添加
一个条件:
，使得加上这个条件后能够推出AD//BC且AB=CD
1.（浙江嘉兴）
如图，在平行四边形ABCD中，AE丄BC于E,AF丄CD于F,BD与AE
AF分别相交于
（1）求证：
△
（2）若AG=AH，求证：
四边形ABCDI菱形.
2.（安顺安顺）如图，在△ABC中,D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平
行线交CE的延长线于点F,且AF=BD连结BF。
BD=CD
（2）如果ABAC试判断四边形AFBD勺形状，并证明你的结论。
3.（湖南益阳）如图，△ABC中，已知/BAC=45°
ADIBC于D,BD=2,DC=3，求AD的
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题:
（1）分别以ABAC为对称轴，画出△ABD△ACD勺轴对称图形，D点的对称点为E、F，
延长EBFC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形;
x的值.
⑵设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出
4.（吉林长春）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、
DC上,△ABEsAdef,
AB=6,AE=9,DE=2，求EF的长.
120米，下底长180米，上
5.（广西南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长
下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道,
各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米.
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积;
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽;
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽
度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？
最少费用是多少万元?
6.（福建龙岩）在边长为6的菱形ABCC中，动点M从点A出发，沿C向终点C运动,
连接DM交AC于点N.
（1）如图1,当点M在AB边上时，连接BN
①求证：
△ABNADN；
②若/ABC=60°
AM=4,/ABN=a，求点M到AD的距离及tana的值;
（2）如图2,若/ABC=90°
，记点M运动所经过的路程为x（6<
x<
12）.试问：
x为何
值时，△ADN为等腰三角形.
（图1）
（图2）
.一、选择题
1.C2.A3.B
4.C5.B6.A
2.AC丄BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD
3.正方形（对角线互相垂直的四边形均可）4.175./DAC=/ADB/BAD=/CDA/DBC=/ACB/ABC=/DCBOB=OCOA=OD（任选
其一）三、解答题
1.
（1）VAElBCAF丄CD•/AEB=/AFD=90°
.
•••四边形ABCD是平行四边形，•••/ABE=/ADF
（2）•••△ABE^AADF
•/BAG=/DAH•/AG=AH•/AGH=/AHG
从而/AGB=/AHD
•••四边形ABCD是平行四边形,•••四边形ABCD是菱形.
2.
（1）；
AF//BC，二/AFEDCE
屮*
*E是AD的中点，AE=DE.
丄AFEDCE
V{AE=DE「.iAEF-iDEC（3'
）
naef=ndec
二AF=DC，:
AF=BD
”BD=CD
（2）四边形AFBD是矩形
AB=AC,D是BC的中点二AD丄BC，二/ADB=9o"
AF=BD,AF//BC四边形AFBD是平行四边形
又/ADB=90二四边形AFBD是矩形.
3.
（1）证明：
由题意可得：
△ABD^AABE△ACB^ACF
•••/DAB=/EAB,/DAC=/FAC，又/BAC=45°
•••/EAF=90°
又•••ADIBC
•••/E=/ADB=90°
/F=/AD（=90°
又•••AE=AD,AF=AD
二AE=AF
•••四边形AEGFi正方形.
⑵解：
设AD=X，贝UAE=EG=GF=x.
•/BD=2,DC=3
•••BE=2,CF=3
•-BG=X—2,CG=X—3.
在Rt△BGC中,bG+CG=bC
•••（X—2）2+（X—3）2=H.
化简得，X—5x—6=0
解得X1=6,X2=—1（舍）所以AD=X=6.
4.解：
•••四边形ABCD是矩形，AB=6
•••/A=/D=90°
DC=AB=6
又•••AE=9
•••在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE=JaE2+AB2=J92+62=jn7
•/△ABEDEF
••些=匹即6
DEEF2
V117
EF
•ef3
5.解：
（1）横向甬道的面积为:
120+180,2
X=150x{m2
（2）依题意：
2X80X+150X—2x2JJ20+180
8
x80
整理得：
X2-155X+750=0
x,=5,X2=150（不符合题意，舍去）
二甬道的宽为5米.
（3）设建设花坛的总费用为y万元.
y=0.02」120+180
2x80-（160x+150x-2x2»
+5.7x
=0.04x-0.5x+240
当x--—=—0.5—：
=6.25时，y的值最小.2a2x0.04
因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米,
二当x=6米时，总费用最少.
最少费用为：
0.04天62-0.5x6+240=238.44万元
6.
（1）①证明：
•••四边形ABCD是菱形
②解:
由AD//BC
易求AH=Z
由①知，/
•••AB=AD,/1=/2
又•••AN=AN
作MHLDA交DA的延长线于点H,
得/MAH=/ABC=60
在Rt△AMH中,MH=AM-sin60°
=4Xsin60
•••点M到AD的距离为2罷.
贝UDH=6+2=8.在Rt△DMH中,tan/MDH=MH
DH
MDH/ABN^.
H
ri
2J3
73,
NA
故tax上
4
（2）解：
•••/ABC=90，•菱形ABCD是正方形
Al
此时，/CAD=45.
F面分三种情形:
I）若ND=NA则/ADN=/NAD=45.
此时，点M恰好与点B重合，得x=6;
n）若DN=DA则/DNA=/DAN=45.
此时，点M恰好与点C重合，得x=12;
川）若AN=AD=6则/仁/2,
由AD//BC得/仁/4,又/2=/3,
•••/3=/4，从而CM=CN
易求AC=672,•CM=CN=A€AN=672—6,
故x=12—CM=1—（6程—6）=18—6渥综上所述：
当x=6或12或18—6罷时，△ADN是等腰三角形
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