中考数学专项突破含参二次函数word版+详细解答Word文档下载推荐.docx
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∵a＋b＋c＝1，
∴c－1＝－a－b，
令y＝1，则3ax2＋2bx＋c＝1.
∴Δ＝4b2－4（3a）（c－1）＝4b2＋4（3a）（a＋b）＝9a2＋12ab＋4b2＋3a2＝（3a＋2b）2＋3a2，
∵a≠0，
∴（3a＋2b）2＋3a2>
0，
∴Δ>
∴必存在实数x，使得相应的y值为1.
2.在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分
别相交于A（－3，0）、B（0，－3）两点，二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点A.
（1）求一次函数y＝kx＋b的表达式；
（2）若二次函数y＝x2＋mx＋n的图象顶点在直线AB上，求m，n的值；
（3）①设m＝－2，当－3≤x≤0时，求二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值；
②若当－3≤x≤0时，二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值为－4，求m，n的值．
k＝－1
b＝－3
（1）将点A（－3，0），B（0，－3）代入y＝kx＋b得
－3k＋b＝0
，解得
∴一次函数y＝kx＋b的表达式为y＝－x－3；
m4n－m2
（2）二次函数y＝x2＋mx＋n的图象顶点坐标为（－2，4），
∵顶点在直线AB上，
4n－m2m
∴4＝2－3，
又∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点A（－3，0），
∴9－3m＋n＝0，
∴组成方程组为4＝2－3，
9－3m＋n＝0
（3）①当m＝－2时，由
（2）得9－3m＋n＝0，
解得n＝－15，
∴y＝x2－2x－15.
∵二次函数对称轴为直线x＝1，在－3≤x≤0右侧，
∴当x＝0时，y取得最小值是－15.
②∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点A，
二次函数y＝x2＋mx＋n的对称轴为直线x＝－m2，
i）如解图①，
m4n－m2
当对称轴－3<
－m2<
0时，最小值为4＝－4，联立4n－m2
4＝－4，
m＝2m＝10m
解得或（由－3<
－2<
0知不符合题意舍去）
n＝－3n＝212
m＝2n＝－3
ii）如解图②，当对称轴－m2>
0时，∵－3≤x≤0，∴当x＝0时，y有最小值为－4，
把（0，－4）代入y＝x2＋mx＋n，得n＝－4，
5把n＝－4代入9－3m＋n＝0，得m＝3.
m
－2>
∴m<
∴此种情况不成立；
iii）当对称轴－m2＝0时，y＝x2＋mx＋n当x＝0时，取得最小值为－4，
把（0，－4）代入y＝x2＋mx＋n得n＝－4，5
把n＝－4代入9－3m＋n＝0，得m＝3.
∴m＝0，
iiii）当对称轴－2≤－3时，∵－3≤x≤0，∴当x＝－3时，y取得最
小值－4，∵当x＝－3时，y＝0，不成立．
第2题解图
3.在平面直角坐标系中，二次函数y1＝x2＋2（k－2）x＋k2－4k＋5.
（1）求证：
该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；
（2）若函数y2＝kx＋3经过y1图象的顶点，求函数y1的表达式；
（3）当1≤x≤3时，二次函数的最小值是2，求k的值．
（1）证明：
∵b2－4ac＝4（k－2）2－4（k2－4k＋5）＝－4<
0，∴函数图象与x轴没有交点，
当x＝0时，y1＝k2－4k＋5＝（k－2）2＋1>
0，∴二次函数与坐标轴仅有一个交点；
（2）解：
∵y1＝（x＋k－2）2＋1，∴函数y1的顶点坐标为（2－k，1），代入函数y2＝kx＋3得（2－k）k＋3＝1，
解得k＝1＋3或k＝1－3，
∴y1＝x2＋2（3－1）x＋5－23或y1＝x2－2（3＋1）x＋5＋23；
b
（3）解：
①当对称轴x＝－2ba＝2－k≤1时，k≥1，
当x＝1时，y1取得最小值2，
即1＋2（k－2）＋k2－4k＋5＝2，解得k＝0（舍去）或k＝2；
②当对称轴1<
2－k<
3时，－1<
k<
1，
当x＝2－k时，最小值恒为1，无解；
③当对称轴x＝2－k≥3时，k≤－1，
当x＝3时，y1取得最小值2，
即9＋6（k－2）＋k2－4k＋5＝2，化简得k2＋2k＝0，解得k＝0（舍
去）或k＝－2.
综上所述，k的值为2或－2.
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0的）图象经过A（1，1）、B（2，4）和C三点．
（1）用含a的代数式分别表示b、c；
（2）设抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为（p，q），用含a的代数式分别表示p、q；
3
（3）当a>
0时，求证：
p<
2，q≤1.
（1）解：
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A（1，1）、B（2，4）两点，1＝a＋b＋c
4＝4a＋2b＋c
化解得3＝3a＋b，
∴b＝3－3a，
∴1＝a＋3－3a＋c，
∴c＝2a－2；
由
（1）得b＝3－3a，c＝2a－2，
4a（2a－2）－（3－3a）2－a2＋10a－9∴q＝
（3）证明：
∵a>
0，
2a<
3a－3333∴p＝2a＝2－2a<
2；
－（a－3）2∵≤0，
4a
－a2＋6a－94a－（a－3）2∴q＝4a＋4a＝4a＋1≤1.
5.已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．
（1）用含a、c的代数式表示b；
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
c
（3）若直线y2＝2x＋m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（a，b＋
8），求当x≥1时，y1的取值范围．
（1）∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）经过点A（1，0），
把点A（1，0）代入即可得到a＋b＋c＝0，即b＝－a－c；
（2）点B在第四象限．
理由如下：
∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），
∴抛物线y1与x轴至少有1个交点，令ax2＋bx＋c＝0，c
∴x1·
x2＝a，
c∴x1＝1，x2＝，∵a≠c，a
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，又∵抛物线不经过第三象限，
∴a>
0，且顶点B在第四象限；
（3）∵点C（ac，b＋8）在抛物线上，
令b＋8＝0，得b＝－8，
由
（1）得a＋c＝－b，
∴a＋c＝8，
b4ac－b2c
把B（－2a，4a）、C（a，b＋8）两点代入直线解析式得
4ac－b2b
4a＝2×
（－2a）＋m
cb＋8＝2×
＋m
a
a＋c＝8
a＝2a＝4
b＝－8b＝－8
解得
或（a≠c，舍去），
c＝6c＝4
如解图所示，C在A的右侧，
6.在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2＋2ax＋3（a≠0．）
（1）若函数y1的图象经过点（－1，4），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2＝bx＋a（b≠0的）图象经过y1图象的顶点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（1，m）和Q（x0，n）在函数y1的图象上，若m>
n，求x0的取值范围．
（1）∵二次函数y1＝ax2＋2ax＋3的图象经过点（－1，4），∴4＝a－2a＋3，
∴a＝－1，
∴函数y1的表达式为y1＝－x2－2x＋3；
（2）∵y1＝ax2＋2ax＋3＝a（x＋1）2＋3－a，∴y1图象的顶点坐标为（－1，3－a）．
∵一次函数y2＝bx＋a（b≠0的）图象经过y1图象的顶点，∴3－a＝－b＋a，
∴实数a、b满足的关系式为b＝2a－3；
2a
（3）∵二次函数y1＝ax2＋2ax＋3的图象的对称轴为直线x＝－2a＝－1，∴当m＝n时，x0＝－3.
当a>
0时，如解图①所示，
第6题解图
m>
n，∴－3<
x0<
1；
当a<
0时，如解图②所示，
∵m>
0，∴x0<
－3或x0>
1.
综上所述：
－3<
1（a>
0）
x0的取值范围为.
－3或x0>
1（a<
0）
类型二函数类型不确定型
1.已知函数y＝（n＋1）xm＋mx＋1－n（m，n为实数）．
（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？
它一定与x
轴有交点吗？
请判断并说明理由；
（2）若它是一个二次函数，假设n>
－1，那么：
1当x<
0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明
理由；
2它一定经过哪个点？
请说明理由．
（1）①当m＝1，n≠－2时，
函数y＝（n＋1）xm＋mx＋1－n（m，n为实数）是一次函数，它一定
与x轴有一个交点，
∵当y＝0时，（n＋1）xm＋mx＋1－n＝0，
n－1
∴函数y＝（n＋1）xm＋mx＋1－n（m，n为实数）与x轴有交点；
②当m＝2，n≠－1时，函数y＝（n＋1）xm＋mx＋1－n（m，n为实数）是二次函数，
当y＝0时，（n＋1）xm＋mx＋1－n＝0，
即（n＋1）x2＋2x＋1－n＝0，
∴Δ＝22－4（n＋1）（1－n）＝4n2≥0，∴函数y＝（n＋1）xm＋mx＋1－n（m，n为实数）与x轴有交点；
3当n＝－1，m≠0时，函数y＝（n＋1）xm＋mx＋1－n是一次函n－1
数，当y＝0时，x＝m，
（2）①假命题，若它是一个二次函数，
则m＝2，函数y＝（n＋1）x2＋2x＋1－n，
∵n>
－1，∴n＋1>
抛物线开口向上，
∴对称轴在y轴左侧，当x<
0时，y可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，故为假命题；
②它一定过点（1，4）和（－1，0），理由如下：
当x＝1时，y＝n＋1＋2＋1－n＝4.
当x＝－1时，y＝0.
∴它一定经过点（1，4）和（－1，0）．
2.设函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋1（k为实数）．
（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；
（2）根据所画图象，猜想出：
对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
（3）对于任意负实数k，当x<
m时，y随x的增大而增大，试求m的取值范围．
第2题图
（1）令k＝0，k＝1，则这两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，描
点法画函数图象如解图所示；
（2）不论k取何值，函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋1的图象必过定点（0，
1），（－2，－1），
且与x轴至少有1个交点．
证明：
①∵当x＝0时，y＝1；
当x＝－2时，y＝－1.
∴函数图象必过（0，1），（－2，－1）；
②∵当k＝0时，函数为一次函数，∴y＝x＋1的图象是一条直线，且与x轴有一个交点；
∵当k≠0时，函数为二次函数，y＝kx2＋（2k＋1）x＋1的图象是一条抛物线．
Δ＝（2k＋1）2－4×
k×
1＝4k2＋4k＋1－4k＝4k2＋1>
∴抛物线y＝kx2＋（2k＋1）x＋1与x轴有两个交点．综上所述，函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋1（k为实数）与x轴至少有一个交点；
（3）∵k<
2k＋1
∴函数y＝kx2＋（2k＋1）x＋1的图象在对称轴直线x＝－2k的左侧时，y随x的增大而增大．
根据题意，得m≤－2k，
2k＋11
而当k<
0时，－2k＝－1－2k>
－1，
∴m≤－1.
4
3.已知函数y＝kx2＋（3－3k）x－4.
无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；
（2）当k≠0时，A（n－3，n－7）、B（－n＋1，n－7）是抛物线上的两个不同点．
①求抛物线的表达式；
②求n的值．
当k＝0时，函数为一次函数，即y＝3x－4，与x轴交于点
（3，0）；
当k≠0时，函数为二次函数，
44
∵Δ＝（3－3k）2－4k×
（－4）＝（3k＋3）2≥0，
∴函数与x轴有一个或两个交点；
综上可知，无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；
①当k≠0时，函数y＝kx2＋（3－3k）x－4为二次函数，
∵A（n－3，n－7）、B（－n＋1，n－7）是抛物线上的两个不同点，
n－3－n＋1
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，
解得k＝145，
∴抛物线的表达式为y＝15x2＋15x－4；
48
②∵（n－3，n－7）是抛物线y＝15x2＋15x－4上的点，
428
∴n－7＝15（n－3）2＋15（n－3）－4，
19
解得n1＝4，n2＝3.
4.已知y关于x的函数y＝（k－1）x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k－1）x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2.
①求k的值；
②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．解：
（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点．
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k－1）x2－2kx＋k＋2＝0.
Δ＝（－2k）2－4（k－1）（k＋2）≥，0解得k≤2即.k≤2且k≠1.综上所述，k的取值范围是k≤2.
（2）①∵x1≠x2，由
（1）知k<
2且k≠1，函数图象与x轴有两个交点，∴由题意得（k－1）x12＋（k＋2）＝2kx1①，
将①代入（k－1）x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得：
2k（x1＋x2）＝4x1x2.
令（k－1）x2－2kx＋k＋2＝0，
2kk＋2
则x1＋x2＝，x1x2＝，
k－1k－1
解得k1＝－1，k2＝2（不合题意，舍去）．
∴所求k的值为－1；
第4题解图
13②如解图，∵k＝－1，∴y＝－2x2＋2x＋1＝－2（x－2）2＋2.
且－1≤x≤1.
13由图象知：
当x＝－1时，y最小＝－3；
当x＝2时，y最大＝2.
∴y的最大值为23，最小值为－3.
5.设函数y1＝（x－k）2＋k和y2＝（x＋k）2－k的图象相交于点A，函数y1，y2的图象的顶点分别为B和C.
（1）画出当k＝0，1时，函数y1，y2在直角坐标系中的图象；
（2）观察
（1）中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个
函数的图象上，请写出这个函数的解析式，并说明理由；
（3）设A（x，y），求证：
x是与k无关的常数，并求y的最小值．
第5题图
画出图象如解图所示；
∵当k＝0时，函数y1＝y2＝x2的顶点为（0，0），
当k＝1时，函数y1＝（x－1）2＋1的顶点为（1，1），
函数y2＝（x＋1）2－1的顶点为（－1，－1），
∴它们的顶点都在直线y＝x的图象上，因为它们的坐标均满足解析式y＝x；
令（x－k）2＋k＝（x＋k）2－k，
整理得4kx＝2k，
∵函数y1＝（x－k）2＋k和y2＝（x＋k）2－k的图象相交于点A，
∴k≠0，
解得x＝12，
∴x是与k无关的常数；
1111
此时y＝（21＋k）2－k＝k2＋41≥14，即y的最小值为41.
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