线性代数课后习题复习指导doc文档格式.docx

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4、5题实际上都是通过一些具体的例子来加深对矩阵运算的理解，比如矩阵乘法不能交换、不能像数乘那样约去因子，等等，这些例子是比较重耍的，因为有时能在考场上派上用场,

需要熟悉。

6、7题是求矩阵乘方的题II,基本题，但要注意些适当的技巧，比如拆成两个特殊矩阵的和，能简化运算。

8、9是关于对称阵概念的考查，不难但重要，因为这类题即是线代里证明题的代表：

儿乎都要从定义出发证明。

所以从这两道题得到的启发是要把线代上的每个知识点都抠得足够细，了然于心。

10、11、12都是矩阵求逆的计算题，只不过衣达方式不同，10题是宜接提出要求，11题是以矩阵方程的形式来暗示求逆，12题则从线性方程组的角度来暗示求逆。

求逆是错误率很高的一类题目，所以需要重点练习。

13、和3题类似，矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换一一可以用一个矩阵表示，反过來求x到y的变换，求逆阵即可。

此题的另外一个暗示：

要能够熟练的掌握从方程组到矩阵的写法，即矩阵方程x=Ay代表一个线性方程组，或者说一个线性变换，对这两种写法都要能够看到一个马上反应到另一个。

14、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进來，综合性较强的重要题型。

15、16解简单的矩阵方程，注意先对己知等式做一些适当的变形，基本题。

14、15证明矩阵可逆，从定义出发即可，注意从题目中体会思路。

16、考察矩阵和具逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进來，综介性较强的重要题型。

17、18稍微复杂一些的矩阵方程，因为其屮涉及到伴随阵，但也不难，利用好伴随阵和逆阵的关系即可简化，此二题的难度接近考硏中的填空题。

19、20是矩阵的乘方（多项式实质也是乘方）运算，在复习完一遍线代后再看发现这其实就是特征值特征向量（对角化）的一个应用，实际上特征值问题木来就可以理解为是为了寻找矩阵乘方运算的捷径而发展起来的，只不过后来发现特征值还有许多其它很好的用处。

21、22证明矩阵可逆，从nJ逆的定义出发即可，即若能找到某一矩阵与已知矩阵的乘积为单位阵，那么己知矩阵肯定可逆，注意从这两道题目中体会这种常用的思路。

23、24题本身的证明是从定义出发，更重要的是这两道题可以作为结论记的，线代的考研题目常涉及这两个命题。

在线代的学习中，把握好一些不是课本上正面给出（如出现于习题中）的命题是很有好处的。

25、26、27、28都是对分块矩阵运算的考查，作为适当的练习，是必要的。

在分块矩阵这部分知识点特别要注意的是：

要能够根据问题的需要采取适当的分块方式，典型的如行分块和列分块，一个线性方程组可以用矩阵人*=1）来表示，一个矩阵方程AX=B则可看作是若干个线性方程组A（xlx2...xn）=（blb2...bn）同时成立的结果，当然这只是一个典型的里子，其它还有很多类似的点也要熟练到能够在头脑中随时切换，以适应不同的解题或理解需要。

和第一章类似，第二章的学习也主要集屮在计算层面上，我们可以这样来理解，前两章的内容主要是教会我们一些线性代数中基本的运算规则，就如我们以前学数的加减乘除一样，这些规则当然是认为规定的，但是乂是在解决某些实际问题的过程屮会大量用到的，所以有必要先统一进行了解和学习，比如求行列式可以帮助我们解方程，求矩阵的乘积可以帮助我们进行坐标变换，等等。

同济五版《线性代数》习题解读（三）

1、用初等变换把矩阵化为授简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也町以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。

2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应淸楚了。

要知道一个初等炬阵对应一个初等变换，其逆阵也是,从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。

4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基木题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么可以通过这两种方法求逆阵。

5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。

7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：

是不为零的子式的最高阶数。

所以秩为r的话只需要有一个不为零的「阶子式，但所有的「+1阶子式都为零；

至于「1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r・l而不是rTo

8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1,也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想淸楚。

9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单-问题：

在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前而四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。

10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。

矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。

11题是一个重耍命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发:

等价是指两个矩阵可以经过初等变换直相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。

实际上11题因为太过常用，以至于我们常常认为秩相等才是等价的定义，不过既然是充分必要条件，这样理解也并无不可。

12、选取合适的参数值來确定矩阵的秩，方法不止一种，题目不难但比较典型。

13、14题是求解齐次、非齐次方程组的典型练习，务必熟练学握。

15、线性方程组的逆问题，即已知解耍求写出方程，把矩阵的系数看做未知数來反推即可,因为基础解系中口山未知量的个数和有效方程止好是对应的，个人感觉这类题不太重耍。

16、17、18题是线性方程组的一类典型题，考研常见题型，讨论不同参数取值时解的情况,要熟练掌握这类题目。

19、证明本身不是很重耍，重要的是由题目得到的启示:

III-个向量及其转置（或一个列向量一个行向量）生成的矩阵其秩一定是lo这实际上也不难理解，矩阵的秩是1意味着每行

（或每列）都对应成比例，即可以写成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系数，反过來也一-样，这个大家可口行写一些具体的例子验证，加深印彖。

另外值得注意的是：

列向量乘行向量生成的是矩阵，而行向量乘列向量生成的是数。

20、考察的是矩阵的运算对矩阵秩的影响，抓住R（AB）＜=min（R（A）,R（B））这个关键命题即可。

或者从同解方程组介度出发，即要证明两个矩阵秩相等，可证其方程组同解。

21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法证明，这是易犯的错误么一。

实际上该题考察的还是方程组只有零解的条件：

满秩。

关键一步在于把条件改写为A（X-Y）=0

前两章的习题以锻炼计算能力为主，从第三章开始理解层面的内容逐渐增多，很多概念要引起重视。

同济五版《线性代数》习题解读（I丿4）

首先说一下，第卩q章的精华就在于勾勒出了向量组、矩阵和线性方程组z间的关系，它们共同形成一个线性代数的知识网络，习题四中的证明题基本上都是对思维的锻炼，做好这些证明题有助于加深对线代知识点相互关系的理解，要重点对待。

1、涉及一个重要的知识转换，即一•个向量能否被另一•个向量纽线性表出的问题实际上就是一个线性方程组是否有解的问题，同时，一个向量组是否能被另一个向量组线性表出的问题实际上就是两个向量组的秩的比较问题，所以此题即转化为考察两个向量组的秩的大小。

因为我们知道一个重要的事实：

一个向量组不可能由比它秩更小的向量组來线性表出，例如,三维空间里的向量（秩是3）永远不可能由平面上的向量（秩是2）來表岀。

2、考察向量组的等价，搞清楚何为向量组等价，直接验证即可，基木题。

另外可以发散一下思维，向量组等价和矩阵等价冇何不同？

哪个命题的结论更强？

实际上向量组等价则对应矩阵一定等价，反Z未必。

3、与线性表出有关的命题，一般用反证法，这类题日可以有效的锻炼解题思路，如果不会要重点体会答案给出的方法和思路。

4、5题涉及线性相关和线性无关的判断，实际上还是转化为方程组有解无解的问题，棊木题。

6题考察对两个向量线性相关的理解，实际上就是对应成比例，但实际上很多类似的题11不仅仅局限于两个向量，此题不是太有代表性，了解一下即可。

7、8涉及到一•些相关和无关的命题判断，重点在于理解题干的意思，如8

（1）的错课在于放大了线性相关的结论，因为线性相关只需要至少有一个向量可由其余向量表示，而不一定能确定到底是哪个向量能用其余向量表示，类似的去理解清楚其余几个说法要表达的意思,这是笫一耍务。

至于反例倒在其次，可以通过参考巧的答案看看，了解下有这样的反例即可。

9、10题是证明线性相关线性无关的经典题，可先假设其线性组合为零，然厉推证系数的悄况，若系数可不全为零则线性相关，若系数必须全为零则线性无关，重点题型。

11、12考察如何求一个向量组的秩和最人无关组，注意求向量组的秩只能用-•种变换（一般用行变化），化为阶梯形即一冃了然，基本题型的练习，要熟练掌握。

13、通过秩来确定参数，基本题，只不过这里是以向量组的形式给出条件，和以线性方程组、矩阵的形式给出条件无本质区别。

14、15是向量组的命题,注意单位坐标向量的特殊性:

线性无关。

另外14题就是15题的特殊情况。

16、用反证法，此题的巧妙Z处在于要逐步递推，这是线代习题中少冇的过程比结论重要的题目（大多习题都是结论常用所以显得更重耍），注意仔细体会证明过程。

17、就是习题三的20题，只不过是以向量纟R的说法给出。

18、应该从此题中体会到的是：

两个向量组等价，则其关系矩阵一立是满秩的，原因可用矩阵的语言來解释：

两个向量组等价实际上就是通过一系列初等变换可互化，关系矩阵就是这些所所有初等变换对应的初等矩阵的乘积，初等矩阵全部都是满秩的。

19、题日木身不难，直接代入已知条件再作适当的变形即可，但复习过一遍线代的同学应该注意到，特征值与特征向量的一些概念在此题屮已经初现端倪，要把思路拓宽，看看从特征向量的侑度來看是否能対题目有新的体会。

2（）、齐次线性方程纽的练习，基本题型，必需的练习，尤其是（3）这类系数由通式给出的方程，在考研屮出现的概率更高，注意不要出错。

21、实际上转化为线性方程组的题目，也是基本题型。

22、就是习题三的15题，两者无本质区别。

23、基本题，求方程组的基础解系，另外注意公共解实际上就是方程组联立后的结果。

24、题|=|涉及的重要命题有两个，一是：

若AB=O,则R（A）+R（B）v=O；

另一个是：

R（A）+R（B）>

=R（A+B）o至于证明木身，只是这两个命题在某种特殊情况下的综介应用，解答过程给我们的提示相对来说是更重要的。

25、与伴随阵的秩有关的著名命题，常用结论，一定要掌握。

证明过程很多参考资料都给出了。

26、非齐次线性方程组的练习，基本题型。

27、考察线性方程组的解的结构，较好的融合了该部分的相关知识点，通过此题的练习对以加深解的结构相关概念的理解。

28、讨论参数取值対方程组的解的影响，基本题，以向量组的语言给出而已。

29、把线性方程组和空间解析几何的知识点相结合的一道题Fl,nJ'

以作为一个提高练习，不强求掌握。

30、以抽彖的向量形式给出线性方程组的问题，考研典型题解决此题需要综合应用线性方程组和向量组的若干知识点，重点掌握和理解的对彖。

31、32、33都是涉及解的结构的证明题，其中对基础解系的理解要清晰：

基础解系是线性无关的，同时所有的解都可由基础解系表示，由此可见基础解系木身就给出了许多强有力的信息，这个在题H中一定要多加利用。

同时还有一些解的结构的命题，如非次方程解的差即齐次方程解，等等，也可以通过这几道练习中來加强理解和掌握。

34及以厉的向量空间的题目都不作要求，最多是40题的过渡矩阵了解一下即可，具体解法可参加帖上例题，这里不再详述。

通过三、四章的学习和练习，我们体会到，耍学好线代，需要建立起良好的思维习惯，即面对线性代数的知识点，常常需耍从不同的角度（方程组角度、向量组角度和矩阵角度）去理解同一个数学事实或数学命题，并且它们通常还是可以互推的，所以在线代里，“见一反三”非常重要，一旦抓住了整个知识网络，线代就会成为考研数学里最简单的一环。

同济五版《线性代数》习题解读（五）

1、涉及与正交相关的条件的基本计算题，可作为运算方而的练习。

2、施密特正交化的计算，很重要的基本题，要注意的是施密特正交化的计算公式难于记忆,最好是把止交化的整个过程搞清楚，也就是说：

给你一组向量，你耍把它们化成止交的，怎么做？

可以先考虑简单情形，两个向量怎么正交化？

很简单，只要一个向量减去它在另外一个上的投影就可以了。

那三个向量怎么正交化？

先把其中两个正交化，然厉第三个减去它在另外两个的平面上的投影就好了。

依次类推,就不难理解施密特正交化屮每个公式的意义了。

3、判断矩阵是不是止交阵，按定义即可，基本题。

4、5是简单的涉及正交矩阵概念的证明题，从定义出发，都不难得到结论。

6、求特征值和特征向量的革本题型，需要练习纯熟。

7、证明特征值相同，按特征值定义即町，此命题对作为结论用。

8、较难的一道题，把线代里儿个垂要的知识点都综介在一起考察，关键在于问题的转化：

有公共的特征向量问题即两个方程组有公共解的问题，然后用与方程组的基础解系有关的知识点解决，要重点体会解题思路。

9、10、11都是与特征值有关的一些命题，从定义出发不难证明，线代里的概念人多都要从定义上去抓住它们，把它们理解好。

其屮10题是一个常用的结论。

12、13是特征值性质的应用，即特征值与矩阵特有的対应关系，比如矩阵作多项式运算，则其特征值也就该多项式规律变化，基木题，也是常见题型。

14、考察相似的概念，仍然是要把握好定义，何为相似？

15、16题涉及到和似对角化，这就要求把相似対角化的条件搞清址，那么什么样的矩阵可相似对角化？

条件是特征向量线性无关，从这点岀发就可以解决问题。

至于16

（1）则是特征值特征向量定义的直接考察。

17、18涉及到求矩阵的乘方，实际上特征值特征向量问题就可以看作是为了简化矩阵乘方运算提岀的，这里口然是化为对角阵以后计算，18题是应用题形式。

19、20题涉及正交的相似变换矩阵，基本题，计算量较人且容易出错，是值得重视的练习。

21、22、23题则是特征值问题的反问题，实际上把已知的对角矩阵看作出发点即可。

值得注意的是：

对一般矩阵來说，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的；

对对称矩阵來说,不同的特征值对应的特征向量不仅线性无关，还是正交的，这显然是个更有川的结果。

24是一个垂要命题，它涉及到由一个列向量生成的矩阵的特征值问题。

实际上有一个列向量生成的矩阵其秩是1,而FL是对称的，所以必可对角化，故0是其ml重特征值，至于非零特征值，也不难求出,就是这个列向量转置后牛成的数。

此题的结论很常用，婆重点掌握。

25题涉及求矩阵的多项式运算，不外乎就是乘方运算，与17、18题类同。

26、27题考察二次型的概念，基本题，要求熟练写出一个二次型所对应的矩阵，反过來也一样。

28、29题考察用正交变换化二次型为标准型，实际上就是一个对角化的问题，但因为是对称矩阵，所以既可正交又可相似对角化。

同时要注意二次型的几何意义：

是一个二次曲面。

曲面的形状在不同的坐标系下都是一样的，所以对于一个复杂的二次型，若不能直接看出它是什么曲面，可以通过化为主处标系下的二次型（即标准型）来进行观察。

30、综合性较强的一道题，转化为多元函数的条件极值问题即可。

31、用配方法化二次型的练习，基本题，注意计算不耍111错。

32、33都是判断二次型的正定性，对于具体给出的二次型，用顺序主子式的符号即可判断,这个是其屮一个充分必要条件。

34、实际给出了正定的另一个充分必要条件，证明过程涉及一个抽象矩阵，故只能从最基本的止定的定义出发，此命题是一个有用的结论，要求掌握。

最后是一些线性代数核心知识点的相关思维训练

学好线代的最关键要点在于“见一反三”，即面对同一个数学事实，都耍能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。

现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下，相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考，会有助于更进一步把握好线代的知识体系。

1、任何一个向量a=（al,a2,an）都能由单位向量£

1=（1,0,…,0）、£

2=（0,1,0）、……、£

n=（0,0,...,1）线性表出，且表示方式唯一。

2、向量组Ql,a2,…，an中任一个向量ai可以由这个向量组线性表出。

3、判断卜•列说法正确性：

（1）“向量组al,a2,…，an,如果有全为零的数kl,k2,…,kn使得kl*a1+R2*a2+-+kn*an=0,则al,a2,…，an线性无关。

”⑵“如果有一组不全为零的数kl,k2,kn,使得kl*al+k2*a2+-+kn*an^O,则al,a2,…，an线性无关。

”（3）“若向量组al,a2,…，an（n^2）线性相关,则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。

”

4、三维空间中的任意4个向量必线性相关。

5、n+1个n维向量必线性相关。

6、如呆向量组al,a2,a3线性无关，则向量纟fl2al+a2,a2+5a3,4a3+3a1也线性无关。

7、如果向量组al,a2,a3,a4线性无关，判断向量组a!

+□2,a2+a3,a3+a4,

a4+a1是否线性无关。

8、如杲向量0可以［tl向量组al,a2,…，an线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是al,a2,…，an线性无关。

9、设向量组al,a2,…,an线性无关,0=kl*al+k2*a2+-+kn*ane如果对于某个kiHO,则用B替换Qi后得到的向量组al,…，a（i-1）,B,a（i+l）,…,an也线性无关。

10、山非零向量组成的向量组a1,a2,…，an（n>

2）线性无关的充分必要条件是每一个ai（lviWn）都不能用它前面的向量线性表出。

11>

设al,a2,…，an线性无关，且（01,02,…，Pn）=A（al,a2,…，an）,则Bl,02,…，Bn线性无关的充分必要条件是A的行列式为零。

12、秩为「的向量组中任意1•个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。

13、任一n维向量纟H若是线性无关的，那么其所含向量数日不会超过n。

14^如果n维向量构成的向量组a1,ci2,…，an线性无关，那么任一n维向量B可由a

1,a2,…，an线性表出。

15、如果任意的n维向量都可以由a1,a2,…，an线性表出，那么al,a2,…，an线性无关。

16、如果秩为「的向量组可以由它的r个向量线性表岀，则这r个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组。

17>

n个方程的n元线性方程组xl*al+x2*a2+・・・+xn*an=B对任何3都有解的充分必要条件是它的系数行列式为零。

18、如果向量组al,a2,…，an和向量组al,a2,…，an,B有相同的秩，则Biij以由a1,a2,…，an线性表出。

19、i*（Q1,a2,…，an,Bl,B2,…，Bm）Wr（a1,a2,…，an）+r（Pl,P

2,…，0m）o

20、矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。

21、如果m*n的矩阵A的秩为r,那它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不会小于r+s-m0

22、如杲一个n*n矩阵至少有"

2・n+l个元素为（），则这个矩阵不是满秩矩阵。

23、如果一个矩阵至少有nA2-n+l个元素为0,那么这个矩阵的秩最多是多少？

24、设Hl,H2,…，nt是齐次线性方程组的一个基础解系，则与Hl,H2,…，nt等价的线性无关的向量纟H也是方程纟H.的一•个基础解系。

25、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r<

n）,则方程组的任意nr个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。

26、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r<

n）,设§

1,62,…，§

m是方程组的解向量，则r（S1,82,…，Sm）Wn・r。

27、设n个方程的n元线性方程组的系数矩阵A的行列式等于零，同时A至少存在一个元素的代数余子式A（kl）不为零，则向量（A（kl）,A（k2）,...,A（kn））是这个齐次线性方程组的一个基础解系。

28、设A1是s*n矩阵A的前s-1行组成的子矩阵，如果以A1为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程a（s1