多项式乘以多项式 平方差公式教案Word文档格式.docx

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1、若

，则

的值是_______________．

2、卫星绕地球的运转速度为

，求卫星绕地球运转

的运行路程

3、解方程：

4、先化简，再求值：

，其中

．

5、先化简，再求值：

。

●体验中考

1、（2009年江苏省）若

．

2、（2009年嘉兴市）下列运算正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3、（2009年衡阳市）已知

的值是（）

A．0B．2C．5D．8

4、（2009贺州）计算：

=．

整式的乘法

（二）

[目标]探索并了解多项式与多项式相乘的法则，会运用它们进行计算．

[重点难点]多项式与多项式相乘是重点；

去括号时符号的确定是难点。

[教学过程]

一、直接导入

前面我们学习了单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，那么怎样进行多项式与多项式的乘法呢？

二、多项式乘多项式的法则

为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，你能用几种方法求出扩大后的绿地的面积？

方法一：

由长乘宽得，绿地的面积为（a+b）（m+n）米2．

方法二：

由四小块的面积相加得，绿地的面积为（am+an+bm+bn）米2．

因此，（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

这个等式的右边是怎样从左边得到的呢？

仔细地观察，我们可以发现：

（a+b）（m+n）的结果可以看作由a+b中的每一项乘m+n中的每一项，再把所得的积相加而得到的。

即

（a+b）（m+n）==am+an+bm+bn。

根据上面的分析，请你总结多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

三、例题

例1计算：

（1）（3x+1）（x+2）；

（2）（x-8）（x-y）；

（3）（x+y）（x2-xy+y2）。

分析：

这是什么运算？

怎样进行这样的运算？

（1）（3x+1）（x+2）=3x·

x+3x·

2+1·

x+1×

2

=3x2+6x+x+2

=3x2+7x+2

（2）（x-8）（x-y）=x·

x－xy－8xy+8y2

=x2－9xy+8y2。

（3）（x+y）（x2-xy+y2）=x3－x2y+xy2+x2y-xy2+y3

=x3+y3。

注意：

去括号时要注意符号的变化。

五、课堂小结

这节课我们学习了多项式与多项式相乘，在计算的过程中要准确地运用法则，注意去括号时符号的变化。

巩固练习

多项式与多项式相乘

一、选择题

1.计算（2a－3b）（2a＋3b）的正确结果是（）

A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．4a2＋12ab＋9b2D．4a2－12ab＋9b2

2.若（x＋a）（x＋b）＝x2－kx＋ab，则k的值为（）

A．a＋bB．－a－bC．a－bD．b－a

3.计算（2x－3y）（4x2＋6xy＋9y2）的正确结果是（）

A．（2x－3y）2B．（2x＋3y）2C．8x3－27y3D．8x3＋27y3

4.（x2－px＋3）（x－q）的乘积中不含x2项，则（）

A．p＝qB．p＝±

qC．p＝－qD．无法确定

5.若0＜x＜1，那么代数式（1－x）（2＋x）的值是（）

A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定

6.计算（a2＋2）（a4－2a2＋4）＋（a2－2）（a4＋2a2＋4）的正确结果是（）

A．2（a2＋2）B．2（a2－2）C．2a3D．2a6

7.方程（x＋4）（x－5）＝x2－20的解是（）

A．x＝0B．x＝－4C．x＝5D．x＝40

8.若2x2＋5x＋1＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c，那么a，b，c应为（）

A．a＝2，b＝－2，c＝－1B．a＝2，b＝2，c＝－1

C．a＝2，b＝1，c＝－2D．a＝2，b＝－1，c＝2

9.若6x2－19x＋15＝（ax＋b）（cx＋b），则ac＋bd等于（）

A．36B．15C．19D．21

10.（x＋1）（x－1）与（x4＋x2＋1）的积是（）

A．x6＋1B．x6＋2x3＋1C．x6－1D．x6－2x3＋1

二、填空题

1.（3x－1）（4x＋5）＝__________．

2.（－4x－y）（－5x＋2y）＝__________．

3.（x＋3）（x＋4）－（x－1）（x－2）＝__________．

4.（y－1）（y－2）（y－3）＝__________．

5.（x3＋3x2＋4x－1）（x2－2x＋3）的展开式中，x4的系数是__________．

6.若（x＋a）（x＋2）＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________．

7.若a2＋a＋1＝2，则（5－a）（6＋a）＝__________．

8.当k＝__________时，多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项．

9.若（x2＋ax＋8）（x2－3x＋b）的乘积中不含x2和x3项，则a＝_______，b＝_______．

10.如果三角形的底边为（3a＋2b），高为（9a2－6ab＋4b2），则面积＝__________．

三、解答题

1、计算下列各式

（1）（2x＋3y）（3x－2y）

（2）（x＋2）（x＋3）－（x＋6）（x－1）

（3）（3x2＋2x＋1）（2x2＋3x－1）（4）（3x＋2y）（2x＋3y）－（x－3y）（3x＋4y）

2、求（a＋b）2－（a－b）2－4ab的值，其中a＝2002，b＝2001．

3、2（2x－1）（2x＋1）－5x（－x＋3y）＋4x（－4x2－

y），其中x＝－1，y＝2．

4、解方程组

四、探究创新乐园

1、若（x2＋ax－b）（2x2－3x＋1）的积中，x3的系数为5，x2的系数为－6，求a，b．

2、根据（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，直接计算下列题

（1）（x－4）（x－9）

（2）（xy－8a）（xy＋2a）

五、数学生活实践

一块长am，宽bm的玻璃，长、宽各裁掉cm后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少?

六、思考题：

请你来计算：

若1＋x＋x2＋x3＝0，求x＋x2＋x3＋…＋x2000的值．

平方差公式

[目标]1、经历探索平方差公式的过程，会验证平方差公式；

2、明确平方差公式的结构特征，并能正确地运用公式进行计算．

[重点难点]平方差公式及其应用是重点；

平方差公式的结构特点及灵活运用是难点。

一、情景导入

前面我们学习了多项式与多项式的乘法,回忆一下,怎样进行多项式与多项式的乘法?

计算下列多项式的积：

（1）（x+1）（x-1）;

（2）（m+2）（m-2）;

（3）（2x+1）（2x-1）;

（4）（x+5y）（x-5y）.

观察上述算式，它们有什么特征？

它们都是两个数的和与差的积。

解:

（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12

（2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×

2=m2-22

（3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12

（4）（x+5y）（x-5y）=x2+5y·

x-x·

5y-（5y）2=x2-（5y）2

二、平方差公式

看看计算的结果，你发现了什么规律？

两个数的和与差的积等于这两个数的平方差。

你用字母表示上述规律吗？

（a+b）（a-b）=a2-b2．

事实上，（a+b）（a-b）=a2－ab+ab－b2=a2-b2．

我们还可以用下面的图来验证。

从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，如图1；

把阴影部分再剪掉拼到剩余的部分上得到图2，请你用图1、图2进行说明。

图1的面积是a2-b2，图2的面积是（a+b）（a-b）。

因此，（a+b）（a-b）=a2-b2．

我们称它为平方差公式。

注意：

①公式的左边是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

例1运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）（b+2a）（2a-b）

（3）（-x+2y）（-x-2y）

这些式子有什么特点？

相当于平方差公式中a、b的是什么？

套用公式的结果是什么？

（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．

（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a2-b2=4a2-b2．

（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．

反思：

套用公式的结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。

例2计算：

（1）102×

98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

（1）能够运用平方差公式计算吗？

怎样变形呢？

（2）这个式子有什么特点？

（1）102×

98=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996．

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y2+5y-y-5）

=y2-4-y2-4y+5=-4y+1．

①对

（2）题，你还有其它的变形方式吗？

（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y-1）（y+1）-5（y-1）。

②运用平方差公式，有时要进行适当的变形。

1、平方差公式是怎样的？

用语言怎么叙述？

2、运用平方差公式要注意些什么？

①要明确公式的特点；

②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；

③有时要进行适当的变形。

A卷：

基础题

1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）

A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以

2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）

A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（

a+b）（b－

a）D．（a2－b）（b2+a）

3．下列计算中，错误的有（）

①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；

②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；

③（3－x）（x+3）=x2－9；

④（－x+y）·

（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）

A．5B．6C．－6D．－5

5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．

7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．

8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．

三、计算题

9．利用平方差公式计算：

20

×

19

．10．计算：

（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．

B卷：

提高题

一、七彩题

1．（多题－思路题）计算：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；

（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－

．

2．（一题多变题）利用平方差公式计算：

2009×

2007－20082．

（1）一变：

利用平方差公式计算：

（2）二变：

三、实际应用题

4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？

四、经典中考题

5．（2007，泰安，3分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=3a6B．（－a）3·

（－a）5=－a8

C．（－2a2b）·

4a=－24a6b3D．（－

a－4b）（

a－4b）=16b2－

a2

参考答案

A卷

一、1．D

2．C点拨：

一个算式能否用平方差公式计算，关键要看这个算式是不是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，选项A，B，D都不符合平方差公式的结构特征，只有选项C可以用平方差公式计算，故选C．

3．D点拨：

①（3a+4）（3a－4）=（3a）2－42=9a2－16，

②（2a2－b）（2a2+b）=（2a2）2－b2=4a4－b2，③（3－x）（x+3）=32－x2=9－x2，

④（－x+y）（x+y）=－（x－y）（x+y）=－（x2－y2）=－x2+y2，故选D．

4．C点拨：

因为（x+y）（x－y）=x2－y2，又x2－y2=30，x－y=－5，

所以－5（x+y）=30，x+y=－6，故选C．

二、

5．4x2－y2点拨：

（－2x+y）（－2x－y）=（－2x）2－y2=4x2－y2．

6．－3x2－2y2点拨：

因为（－3x2+2y2）（－3x2－2y2）=（－3x2）2－（2y2）2=9x4－4y4，所以本题应填写－3x2－2y2．

7．a；

b－1

点拨：

把a+b－1转化为a+（b－1），把a－b+1转化为a－（b－1），可得

（a+b－1）（a－b+1）=[a+（b－1）][a－（b－1）]=a2－（b－1）2．

8．10点拨：

设较大的正方形的边长为a，较小的正方形的边长为b，

则a+b=5，a－b=2，所求的面积差为a2－b2，

而（a+b）（a－b）=a2－b2，故a2－b2=10．

三、

9．解：

=（20+

）×

（20－

）=202－（

）2=400－

=399

点拨：

先把两个因数分别转化成两数的和与这两个数的差，再利用平方差公式计算．

10．解：

（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）=（a－2）（a+2）（a2+4）·

（a4+16）

=（a2－4）（a2+4）（a4+16）=（a4－16）（a4+16）=a8－162=a8－256．

根据题中因式的结构特征，依次运用平方差公式进行计算．

B卷

一、

1．解：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1

=（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1

=（22－1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1

=（24－1）（24+1）…（22n+1）+1=…

=[（22n）2－1]+1=24n－1+1=24n；

（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－

（3－1）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－

（32－1）（32+1）·

（34+1）…（32008+1）－

=…=

（34－1）（34+1）…（32008+1）－

（34016－1）－

－

=－

2．解：

2007－20082=（2008+1）×

（2008－1）－20082=20082－1－20082=－1．

（1）

=2007．

（2）

=1．

点拨：

把式子中乘积部分的运算通过变形转化为平方差公式的结构形式，然后运用平方差公式化繁为简．

3．解：

x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3），x2+2x+4x2－1=5x2+15，x2+4x2－5x2+2x=15+1，2x=16，x=8．

4．解：

（2a+3）（2a－3）=（2a）2－32=4a2－9（平方米）．

答：

改造后的长方形草坪的面积是（4a2－9）平方米．

四、

5．D点拨：

A选项a3+a3=2a3；

B选项（－a）3·

（－a）5=a8；

C选项（－2a2b）·

4a=－8a3b；

D选项正确，故选D．

6．a2－1