组合数学专题Word下载.docx

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3个数之和能被3整除只有如下两种情况：

（1）3个数被3除的余数均相同，即或均能整除，或均余1，或均余2；

（2）3个数中一个被3除尽，一个余1，另一个余2。

则3个数同属于A、B或C的方案数为C（100,3），分别属于A、B或C的方案数为1003，根据加法原理，取3个数使其相加之和能被3整除的方案数为：

3C（100,3）+1003=1485100

二、集合的排列和组合

排列：

从n个不同的元素中，有次序地选取r个元素，称为从n中取r个的排列，其排列数记为P（n,r）或

。

当r=n时，称此排列为全排列。

对于满足r≤n的正整数n和r，有

圆排列：

从n个不同元素中取出r个元素，仅按元素间的相对位置而不分首尾地围成一圈，这种排列称为圆（环状）排列。

n个元素的r圆排列数为：

，特别地，n个元素的n圆排列数为（n-1）!

例2有4个中国人和4个美国人围桌而坐，要求同一国的人不相邻，求共有多少种坐法？

先让4个中国人隔位坐下，属于圆排列问题，共有P（4，4）/4=3！

=6种坐法，然后4个美国人插空而坐，这实际上是4个人的全排列问题，因为这4个人已经让中国人隔开了，共有4!

种坐法，运用乘法原理，共有3!

×

4!

=144种坐法。

组合：

从n个不同元素中选取r个元素而不考虑其次序时，称为从n中取r个的组合，其组合数记为

，C（n，r）或

例3某火车站有6个入口，每个入口每次只能进一个人，则9个人共有多少种进站方案？

解：

因9个人进站时在每个入口都是有序的，则

（1）先构造9个人的全排列，共有9!

个；

（2）选定一个全排列，加入5个分隔符，将其分成6段，则第i段对应着第i个入口的进站方案，例如：

＊＊△＊△＊＊＊△＊△＊△＊（△表示分隔符＊表示一个人）

则进站方案为：

※生成排列和组合的程序。

三、整数的分拆

正整数n的一个k分拆是把n表示成k个正整数的和，即n=n1+n2+…+nk（k≥1）。

如果等式右边k个正整数的不同次序被看作是不同的分拆，则称为有序分拆。

正整数的有序拆分可以理解为n个相同的球放进k个有区别的盒子，每个盒子可以多于一个球，每种方案就是对正整数n的一种拆分。

例4把m个同样的苹果放在n个同样的盘子中，允许有空盘子，问有多少种不同的方法。

令f（m,n）表示把m个同样的苹果放在n个同样的盘子中的方案数，下面分情况讨论：

（1）当m=1时，只有一种放法：

把1个苹果放在其中任意一个盘子中，由于题目说明盘子是同样的，所以，不管这个苹果放在哪个盘子中，都属于一种放法；

（2）当n=1时，只有一种放法：

把所有苹果都放在这个盘子中；

（3）当m<

n时，由于最多有m个盘子能放到苹果，其余的盘子都是多余的（空盘子），即

m=n1+n2+…+nm+0+…+0（n1≥n2≥n3≥……≥nm≥0）

共m项

实际上就是将整数m进行至多m分拆，也就是f（m,m）；

（4）当m=n时，此时可分为两种情况：

①没有空盘子，即每个盘子里放一个苹果；

②至少有一个盘子是空的，即f（m,n-1）；

（5）当m>

n时，此时可分为两种情况：

①没有空盘子，可以每个盘子里先放一个苹果，再将剩下的苹果放到盘子里，即f（m-n,n）；

②至少有一个盘子是空的，即f（m,n-1）。

综上所述，得到如下递推关系式：

f（m,n）=

四、容斥原理

容斥原理实际上是一种间接的计数方法。

例5求{1,2,…,n}的1不在第一个位置上的全排列的个数。

设i1i2…in是{1,2,…,n}一个全排列，因1不在第一个位置上，所以i1≠1，下面分别用直接计数和间接计数两种方法来计算此类排列的个数。

（1）直接计数：

将i1≠1的所有全排列按照i1的取值分成n-1类：

若i1=k∈{2,3,…,n}，则i2…in是{1,…，k-1,k+1,…,n}的一个全排列，所以{1,2,…,n}的使i1=k的全排列个数为（n-1）!

由于k可取2,3,…,n，由乘法原理，i1≠1的全排列数为（n-1）（n-1）!

（2）间接计数：

{1,2,…,n}的全排列数为n!

，若i1=1，则i2…in是{2,3,…,n}的全排列，共有（n-1）!

，所以i1≠1的全排列数为：

n!

-（n-1）!

=（n-1）（n-1）！

容斥原理：

设集合S的子集A1具有性质P1，A2具有性质P2，…，An具有性质Pn，则集合S至少具有性质P1,P2,…,Pn之一的元素个数为：

|A1∪A2∪…∪An|=（|A1|+|A2|+…+|An|）-（|A1∩A2|+|A1∩A3|+…+|A1∩An|+（|A2∩A3|+…|A2∩An|+…|An-1∩An|）

+（|A1∩A2∩A3|+…+|An-2∩An-1∩An|）

……

+（-1）n-1|A1∩A2∩…∩An|

即|

则集合S不具有性质P1，P2，…，Pn的元素个数为：

即：

有禁止位置的错排问题：

集合S={1,2,…,n}的一个错排是该集合的一个满足条件的i≠ri的全排列i1i2…in，即集合{1,2,…,n}的没有一个数字在它的自然顺序位置上的全排列。

通常用Dn表示集合S的错排个数。

例如，n=1时，集合{1}没有错排D1=0；

n=2时，集合{1,2}有1个错排D2=1，为21；

n=3时，集合{1,2,3}有2个错排D3=2，为231,312；

n=4时，集合{1,2,3,4}有个9错排D4=9，分别是：

2143,2341,2413,3142,3413,3431,4123,4312,4321。

定理1对于任意正整数n，有

证明：

设Ai表示ri=i的全排列（i=1,2,…,n），由于ri已确定，所以|Ai|=（n-1）!

同理|Ai∩Aj|=（n-2）!

，……，|A1∩A2∩…∩An|=1

则

例66人参加会议，入场时随意的将帽子挂在衣架上，走时再顺手戴一顶走，问没一人拿对的概率？

P=

=1-

+

-

≈0.368

不相邻的排列：

集合S={1,2,…,n}的不相邻的排列是该集合上不出现12,23,…,（n–1）n这些模式的全排列。

通常用Qn表示集合S的不相邻的排列个数。

例如：

n=2时，Q2=1，21是唯一满足要求的全排列；

n=3时，Q3=3，213,321,132是3个满足要求的全排列；

n=4时，Q4=11，4132,4213,4321,3142,3241,3214,2143,2413,2431,1324,1342是11个满足要求的全排列。

定理2对于任意正整数n，有：

设S为{1,2,…,n}的全排列，则|S|=n!

，定义性质集合P={p1,p2,…,pn}，其中

Pi：

出现i（i+1）模式（1≤i≤n–1）

则Ai：

S中满足性质Pi的全排列的集合

Ai中每个排列是集合{1,2,…,i–1,i（i+1）,i+2,…,n}的一个全排列，则|Ai|=（n–1）!

同理，Ai∩Aj中每个排列是集合{1,2,…,i–1,i（i+1）,i+2,…,j（j+1）,…,n}的一个全排列，则|Ai∩Aj|=（n–2）!

（1≤i≠j≤n–1）。

一般的有：

|Ai1∩Ai2∩…∩Aik|=（n–k）!

（1≤Ai1≠Ai2≠…≠Aik≤n–1）

例7某班有8位学生排成一队，第2天再排队时，所有同学都不希望他前面的同学与前一天相同，问有多少种排法？

问题即是求S={1,2,…,n}的不出现12,23,…,（n–1）n这些模式的全排列的个数，则：

不相邻的组合：

所谓不相邻的组合是指从A={1,2,…,n}中取r个不相邻的元素的组合，即不存在相邻的两个元素j和j+1的组合。

从A={1,2,…,n}中取r个不相邻元素的组合，其组合数为

n=5，r=2，则不相邻的组合有{{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},{3,5}}（去掉相邻的组合{1,2},{2,3},{3,4},{4,5}），其组合数为6。

五、递推关系

递推关系：

给定一个数的序列f（0）,f

（1）,…,f（n）,…（有限或无限），若存在正整数n0，使得当n≥n0时，可以用等号（或大于号，小于号）将f（n）与前面的某些项f（i）（0≤i＜n）联系起来，这样的式子称作递推关系式（即描述序列的规律）。

※建立递推关系式的步骤如下：

（1）找第n项与前面最近几项的关系；

（2）获得最前面几项的具体值，即初值。

例8n位四进制数中，有偶数个0的序列共有多少个？

设f（n）表示n位四进制数中有偶数个0的序列，它有两部分组成：

（1）在n-1位四进制数中有偶数个0的序列再添一位非零（即1，2，3）的数，可产生3f（n-1）个满足条件的序列。

（2）在n-1位四进制数中有奇数个0的序列再添一位0可产生4n-1-f（n-1）个满足条件的序列。

（注意到|奇数个0的序列|=|全集|-|偶数个0的序列|）

由加法原理，得：

f（n）=3f（n-1）+4n-1-f（n-1）=4n-1+2f（n-1）

显然，f

（1）=3,即：

Fibonacci序列：

把一对兔子（雌、雄各一只）放到围栏中，每个月这对兔子都生出一对新兔子，其中雌、雄各一只，从第二个月开始。

每对新兔子每个月也生出一对新兔子，也是雌、雄各一只，一年后围栏中有多少对兔子？

分析：

令f（n）表示第n个月开始时围栏中的兔子对数（强调是“对”而不是“只”）

显然有f

（1）=1，f

（2）=1（可以补充定义f（0）=0）

在第n个月的开始，那些第n-1个月初就已经在围栏中的兔子仍然存在，而且每对在第n-2个月出生的兔子会生出一对新兔子，所以有：

1n=1或2

f（n-1）+f（n-2）n≥3

例9一个小孩上楼梯，每次可以上一个或两个台阶，上n阶楼梯共有多少种上楼方案？

设有h（n）种方法，这些方法可以分成两类：

（1）最后一次上1个台阶，其方法数为

；

（2）最后一次上2个台阶，其方法数为

所以，

显然，

，得到Fibonacci数列。

Catalan序列：

Catalan序列首先是Euler在计算凸多边形的三角形剖分的个数问题时得到的。

凸多边形的三角形剖分问题：

在一个凸n边形中，通过插入内部不相交对角线将其剖分成一些三角形区域，有多少种不同的分法？

令h（n）表示凸n+1边形的三角形剖分的方案数，则

，

几个特殊情况，如图5.1和图5.2所示。

n=2时（为三角形），h

（2）=1；

n=3时（为四边形），h（3）=2；

n=4时（为五边形），h（4）=5。

图5.1四边形的2种剖分

图5.2五边形的5种剖分

图5.3n+1边形剖分示意图

当n≥3时，凸n+1边形的顶点用A1,A2,…,An+1表示，取定多边形一条边A1An+1，任取多边形的一个顶点Ak+1（2≤k+1≤n1≤k≤n-1），将Ak+1分别与A1和An+1连线得到三角形T，则三角形T将凸n+1边形分成T、R1和R2三个部分，其中R1为k+1边形，R2为n-k+1边形，如图5.3所示。

因此，R1有h（k）种剖分方法，R2有h（n-k）种剖分方法。

所以：

补充定义h

（1）=1，除去其本原问题，得到Catalan数列：

即{1，1，2，5，14，42，…}，Catalan数列的项称为Catalan数。

例10乘法结合方式问题：

设有n个元素

，在其前后次序不变的情况下，每次只对两个元素进行乘法，以括号决定乘的先后顺序，有多少种不同的相乘方式？

n=2时，h

（2）=1，有1种相乘方式，为

n=3时，h（3）=2，有2种相乘方式，为

n=4时，h（4）=5，有5种相乘方式，为：

n个元素相乘，无论怎样结合（即画括号），总有一个时刻到达最后一次相乘，即

|

，设竖线左边有k个元素竖线右边有n-k个元素，则竖线左边有

种结合方式，竖线右边有

种结合方式。

由乘法原理，共有

现移动竖线，竖线可从

到

范围内移动，即从1到n-1，由加法原理，

补充定义

定理1Catalan数的计算公式：

定理2n个+1和n个-1构成的2n项

，其部分和满足：

的数列的个数等于第n+1个Catalan数

例11有2n个人排成一行进入剧场，入场费50元，2n个人中有n个人有50元的纸币，n个有100元的纸币，剧场售票处用一个空的现金收录机开始售票，有多少种排队方法使得只要有100元的人买票，售票处就有50元找零。

有50元的人用+1标识，有100元的人用-1标识，且这2n个人是不可区分的，则方案数为

如果这2n个人是可区分的，则方案数为

六、Polya计数理论

集合G={1,2,…,n}上的一一映射称为n元置换，记为

，其中

是{1,2,…,n}的一个全排列。

置换表示成多个轮换之积的形式：

置换δ∈Sn可以确定一个有向图G=（V,E），其中V={1,2,…,n}，E={<

i,δ（i）>

且i,δ（i）∈V}，从顶点

出发存在一条路径：

，该路径构成了一个长为l的回路，对应一个长为l的轮换（

）。

例12置换

确定的有向图如图6.1所示。

图6.1置换对应的有向图

由图5可以看到（13）是一个长度为2的轮换，

（2）和（5）是两个长度为1的轮换，（4678）是一个长度为4的轮换。

可表示为：

（13）

（2）（5）（4678）

长度为2长度为1长度为4

观察上例，发现：

（1）由于轮换表示一个回路，因此轮换（a1,a2,…,al）只与元素的相邻位置有关，与哪个元素为首无关。

（123）=（231）=（312）。

（2）轮换因子的排列没有顺序要求。

（13）

（2）（5）（4678）=（13）

（2）（4678）（5）

（3）一般地，若置换δ有bi个长度为i（1≤i≤n）的不相交轮换因子，则称δ是

型置换，bi=0的轮换因子可以不必写出。

（13）

（2）（5）（4678）是122141型的。

定理1任何置换都可以表示成不相交的轮换之积。

定理2若一个轮换的长度为l，则该轮换自乘l次，得到l个长度为1的轮换。

定理3一个置换若是k个长度为l1,l2,…,lk的轮换的乘积，且l1,l2,…,lk的最小公倍数是m，则这个置换自乘m次后，一定得出一个恒等置换。

例13有一副扑克牌52张，已排好序，且自下而上编号为1,2,…,52，按以下方法洗牌：

顶牌和底牌不动，其他牌交替放置，即

用这种方法洗牌，洗多少次后才能使牌恢复原来的顺序？

对应的置换为：

（1）（2,27,14,33,17,9,5,3）（4,28,40,46,49,25,13,7）（10,31,16,34,43,22,37,19）（12,32,42,47,24,38,45,23）

（6,29,15,8,30,41,21,11）（20,36,44,48,50,51,26,39）（18,35）（52）

即为2个长度为1，一个长度为2，6个长度为8的轮换之积，而1、2、8的最小公倍数是8，所以，该置换自乘8次后成为恒等置换，即洗8次牌后恢复原来的顺序。

Polya定理：

设G={p1,p2,…,pg}是D={1,2,…,n}上的置换群，用m种颜色对D上的n个对象着色，则不同的着色方案数为：

表示置换pi分解为不相交轮换之积中轮换因子的个数。

例14v1v2v3是圆圈上的三等分点，用红、蓝和绿三种颜色的珠子镶嵌，问有多少种不同的方案？

如图所示，圆圈可以分别绕中心点旋转0，120，240，以及过点的垂直于其他两点的连线的垂直线为轴翻转，则有如下置换群：

G={（v1）（v2）（v3）,（v1v2v3）,（v3v2v1）,（v1）（v2v3）,（v2）（v1v3）,（v3）（v1v2）}

故不同的方案数为N=（33+3×

32+2×

3）/6=10，这10种不同的方案如下图所示。

蓝

绿

红

v1

v2

v3