数模论文草稿省一等Word格式文档下载.docx
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Ni（μg/g）
4
0.0016
119.58
Pb（μg/g）
4920.38
4900.52
8
0.0018
397.04
Zn（μg/g）
13892.85
9512.77
110
0.0024
2810.18
【关键字】：
单项污染指数综合污染指数扩散系数污染源高斯扩散模型
一、问题的重述和分析
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日益突出，地质环境变化也日益成为人们关注的焦点。
通常认为，城市地区土壤受重金属污染主要来自人类工业活动、道路机动车辆排出的尾气和人类生活垃圾等。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查，将不同功能区（生活区，工业区，山区，主干道路区，公园绿地区，分别记为1类区、……、5类区）划分为间隔1公里左右网格子区域，对其表层土采样,并记录采样点的位置，应用专门仪器测试分析获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
要研究的问题是：
（1）给出8种重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域受重金属污染程度。
（2）通过对数据分析，说明重金属污染的主要原因。
（3）分析重金属污染物的传播特征，并由此建立模型，确定污染源的位置。
（4）对所建立的模型的优缺点进行分析，为更好的研究城市地质环境的演变模式，还应该收集哪些信息？
如果收集到这些模型，该如何建立模型解决问题。
二、符号说明
Ci
i污染物的实测平均值，可以为小数
Si
i污染物的评价标准或背景值（i=1、2、3、4、5）
Pi
单项污染指数（其中，Pi=Ci/Si）
Pi综
综合污染指数（Pi综=
，
i=1、2、3、4、5）
Pmax
最大单项污染指数
Pave
单项污染指数的平均值
空间任意一点的重金属的扩散系数
空间任意一点的重金属浓度
污染源扩散的污染物总量
空间域
空间域其体积
一规则的球面面积
在
内通过
的流量
内污染物的增量
任意扩散时刻
污染源距地面的实际高度
污染源高度处的平均风速，m/s
源强，单位时间内污染物排放量
x
横坐标
y
纵坐标
Z
海拔
三、模型假设
1、忽略农业对城区重金属的污染。
2、忽略污染物距地面的高度H、风速、地上径流、地下径流等自然因素的影响。
3、扩散过程中浓度在
、
轴上的变化分布是高斯分布。
4、重金属污染物的扩散看作是空间某一连续点源向四周等强度地瞬时释放物质，重污染物质在无穷空间扩散过程中不发生性质变化，且不计地形影响。
5、重金属污染物质扩散服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比。
6、扩散过程中不考虑污染源温度的变化对污染物扩散的影响。
四：
模型的建立和求解
4.1、八种重金属元素在该城区的空间分布，并分析这八种元素对该城区的污染影响。
4.1.1八种重金属元素在该城区的空间分布
我们利用MATLAB仿真【1】出八种重金属在城区不同功能区的空间分布，得到取自不同位置的八种不同元素的空间分布状况和该城区的三维立体图。
图
（1）为该城区的三维立体图，反映了该城区的空间地貌及重金属元素的空间分布
图
（2）为As元素在该城区的二维等高分布
图（3）为Cd元素在该城区的二维等高分布
图（4）为Cr元素在该城区的二维等高分布
图（5）为Cu元素在该城区的二维等高分布
图（6）为Hg元素在该城区的二维等高分布
图（7）为Ni元素在该城区的二维等高分布
图（8）为Pb元素在该城区的二维等高分布
图（9）为Zn元素在该城区的二维等高分布
4.1.2、利用土壤污染评价方法分析该城区内不同区域重金属的污染程度
目前评价方法有单项污染指数法和综合污染指数法，其中，综合污染指数法又分为均值型指数、权值型指数和内梅罗指数等【2】。
单项污染指数法能够比较直观地反映环境中各项污染指标的情况；
内梅罗综合指数法不仅考虑到了所有评价因子单项污染程度的平均水平，而且还考虑到了最大污染指数，因此能够更为科学、综合的反映评价区域内总体土壤地质环境状况。
评价公式如下：
单项污染指数法：
Pi=Ci/Si
其中，Ci—i污染物的实测值；
Si—i污染物的评价标准或背景值；
综合污染指数采用内梅罗综合指数法：
Pi综=
，i=1、2、3、4、5）
其中，Pmax即（Ci/Si）max为单项污染指数的最大值；
Pave即（Ci/Si）ave为单项污染指数的算术平均值。
以附件三给出的土壤背景值（土壤背景值是指未受人为影响的土壤中重金属的自然含量）为评价标准，首先利用单项污染指数，对附件三中的八种元素的污染程度进行分析，然后再利用综合污染指数进行土壤重金属污染程度进行等级划分。
土壤综合评价等级划分标准[3]见表2
表2土壤污染分级评价标准表
等级划分
P
污染等级
污染水平
Ⅰ
P≤0.7
安全
清洁
Ⅱ
0.7<
P≤1
警戒线
尚清洁
Ⅲ
1<
P≤2
轻污染
土壤轻污染
Ⅳ
2<
P≤3
中度污染
土壤中度污染
Ⅴ
P＞3
重度污染
土壤重度污染
结合附件一和附件二中相关数据，根据重金属的单项污染系数公式Pi和综合污染系数公式Pi综,我们可以得到下表（3）
1区
2区
3区
4区
5区
P1
P1综
P2
综
P3
P3综
P4
P4综
P5
P5综
As
1.74
3.17
2.01
13.53
1.12
2.53
1.59
9.43
2.73
Cd
2.23
3.02
1.17
2.77
2.16
Cr
1.72
1.26
1.87
1.41
Cu
3.74
9.66
3.58
4.71
2.29
Hg
2.66
18.35
12.77
3.29
Ni
1.49
1.61
1.43
1.24
Pb
3.00
1.18
2.05
1.96
Zn
3.43
4.028
1.06
3.52
2.24
表3重金属的单项污染系数和综合污染系数表
综上所述：
4.2、对附件一和附件二中相关数据进行综合分析，说明该城区不同区域受重金属污染的主要原因。
城区土壤由于其特殊性，容易受到污染。
通过对附件一和附件二中相关数据的分析可得到六个表格，
表4生活区
As
（ug/g）
Cd（ng/g）
Cr
Cu
Hg
（ng/g）
Ni
Pb
Zn
平均值
6.27
289.96
69.02
49.40
93.04
18.34
69.11
237.01
最大值
11.45
1044.50
744.46
248.85
550.00
32.80
472.48
2893.47
最小值
2.34
86.80
18.46
9.73
12.00
8.89
24.43
43.37
标准偏差
2.15
183.68
107.89
47.16
102.90
5.66
72.33
443.64
单项污染指数
综合污染指数
表5工业区
7.27
393.11
53.41
127.54
642.36
19.81
93.04
277.93
21.87
1092.9
285.58
2528.48
13500.00
41.70
434.80
1626.02
114.50
15.40
12.70
11.79
4.27
31.24
56.33
4.24
237.58
44.00
414.94
2244.07
8.37
85.37
350.83
4.02
表6山区
4.04
152.32
38.96
17.32
40.96
15.45
36.56
73.29
10.99
407.60
173.34
69.06
206.79
74.03
113.84
229.80
1.77
40.00
16.20
2.29
9.64
5.51
19.68
32.86
1.80
78.38
24.59
10.73
27.85
10.43
17.73
30.94
表7主干道路区
5.71
360.01
58.05
62.21
446.82
17.62
63.53
242.85
30.13
1619.80
920.84
1364.85
16000.00
142.50
181.48
3760.82
1.61
50.10
15.32
12.34
8.57
6.19
22.01
40.92
3.24
243.39
81.61
120.22
2180.27
11.79
32.53
384.78
12.76
表8公园绿地区
6.26
280.54
43.64
30.19
114.99
15.29
60.70
154.24
11.68
1024.90
96.28
143.31
1339.29
29.10
227.40
1389.39
2.77
97.20
16.31
9.04
10.00
7.60
26.89
37.14
2.02
235.84
14.84
22.68
224.28
4.97
45.84
230.92
根据同一金属在不同区域的单项污染指数分布表（表9）及其直方图（见图10）来反映该城区不同区域受重金属污染的主要原因。
表9同一金属在不同区域的单项污染指数分布表
生活区
工业区
山区
主干区
公园绿地区
2.26
1.42
1.23
3
4.03
图10
从上面的条形图中我们可以看到：
As在功能区的含量顺序分别是工业区>
生活区=公园绿地区>
主干道路区>
山区，主要原因可能是工业区在对砷化物的开发和冶炼的过程中工业“三废”的排放对周围环境所造成的不容小觑的影响，另外，煤的燃烧也导致不同程度的砷的污染，在生活区和公园绿地区的植物中大量使用肥料和农药所导致的砷化合物残留；
Cd在功能区的含量最多的是工业区，其余从高到低依次为主干道路区、生活区、公园绿地区、山区，主要原因是：
在工业上，镉被广泛的应用，所产生的工业废水中会富含镉元素，如在有色金属冶炼所产生的废水。
另外还有在塑料制品的焚烧过程中形成的镉颗粒。
Cr在功能区含量最多的是生活区，其余由高到低依次为：
主干道路区、工业区、公园绿地区、山区，主要原因是：
煤和石油的燃烧、铬渣的堆积，另外在人们的生活品中如皮革，陶瓷中也富含铬元素。
Cu在功能区的污染程度由高到低依次为：
工业区、主干道路区、生活区、山区、公园绿地区，主要原因是：
金属加工、机械加工制造、钢铁生产、冶炼排放的大气等工业污染。
Hg在城市的污染程度由高到低依次为工业区、主干道路区、公园绿地区、生活区、山区。
汞的污染主要来自工业、火力电厂的汞排放，石油的燃烧所产生的汞气体，另外就是挥发在大气中的汞。
Ni在不同功能区的污染程度由高到低依次为：
工业区、生活区、主干道路区、山区、公园绿地区。
主要来源是工业用镍在抗腐蚀、镀镍、制造催化剂等方面堆积的废渣。
Pb在各功能区的污染程度由高到低依次为：
工业区、生活区、主干道路区、公园绿地区、山区。
污染主要原因是冶炼、制造类的工矿企业在工业生产中排放的含铅废水，另外石油在燃烧时会排放出含铅的废气。
Zn在各功能区的污染程度由高到低依次为：
工业区、主干道路区、生活区、公园绿地区、山区。
主要原因有：
工业上镀锌，机械制造中排放的废水、废渣以及焚烧过程中所产生的粉尘中均含有锌及其化合物。
另外人类生活区周围锌含量较高，可能是人类生活垃圾所致。
4.3、根据各区域污染情况分析重金属污染物的传播特征，并由此建立模型，确定污染源位置。
4.3.1、金属污染物的传播特征
大气中的重金属主要来源于工业生产、汽车尾气排放及汽车轮胎磨损产生的大量含重金属的有害气体和粉尘等。
它们主要分布在工矿的周围和公路、铁路的两侧。
大气中的大多数重金属是经自然沉降和雨淋沉降进入土壤的。
由于城市工业化的迅速发展，大量的工业废水涌入河道，使城市污水中含有的许多重金属离子，随着污水灌溉而进入土壤。
在分布上，往往是靠近污染源头和城市工业区土壤污染严重，远离污染源头和城市工业区，土壤几乎不污染。
含重金属废弃物堆积的种类繁多，不同种类其危害方式和污染程度都不一样。
污染的范围一般以废弃堆为中心向四周扩散。
4.3.2、模型的建立
将重金属从污染源处开始扩散的时刻记作t=0，时刻t无穷空间中任意一点坐标为（x,y,z）的浓度记为C（x,y,z,t）,单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比，则：
（1）
是扩散系数，
表示梯度，负号表示由浓度高向浓度低的地方扩散。
考察空间域
，其体积为
，包围
的曲面为
为一规则的球面，
外法线向量为
。
则在
的流量为：
（2）
内污染元素的增量为：
（3）
从污染源扩散的污染物质的总量为：
（4）
根据“质量守恒定律”和“重金属扩散连续性原理【4】”，单位时间内通过所选曲面
的向外扩散的污染物质的量与
曲面内污染物质增量之和，等于污染源在单位时间内向外扩散的污染物质的量。
则：
（5）
即：
（6）
又根据曲面积分的Gauss公式：
（其中
是散度记号）（7）
由以上两式得：
即为：
（8）
由以上公式并利用积分中值定理得：
（9）
这是无界区域的抛物线型偏微分方程，初始条件为作用在坐标原点的电源函数，记作：
（10）
方程（9）满足方程（10）的解为：
4.3.3模型的求解
假设t=1000000，污染源扩散的污染物总量
=1。
根据给出的数据，利用最小二乘法的数据拟合的算法，在MATLAB中算出不同重金属在该城区的扩散系数
然后利用非线性规划求出不同重金属的污染浓度的最大值。
由此预测出污染源的位置坐标（结果见下表1）。
五、模型的评价及改进
5.1、分析所建立模型的优缺点，为更好的完善城市地质变化的模式，我们还应该综合考虑哪些因素，并完善所建模型。
5.1.1、模型优点：
单项污染指数和综合污染指数模型简单，计算方便，直观性较强；
拟合模型和高斯扩散模型结合，使计算更有说服力，该模型适用于大气条件稳定、地势平坦的地区，适合描述城区环境。
5.1.2、模型缺点：
（1）该高斯模型只是在不考虑风速下的情况下建立的，因此实用性不强，精度性不高，不大符合实际情况。
（2）模型中也没有考虑污染源的实际高度、重金属自身重力产生的重力沉降、降雨及雨水的吸附对重金属浓度的影响，因此还应搜集信息进行改进。
5.1.3、模型改进：
（1）如果考虑风速
则可建立模型
（2）如果既考虑风速
又考虑污染源距地面的高度H，则又可建立一个模型
因此，我们应综合考虑自然因素（如风力、水流、自然沉降、降雨）、地理因素（污染源海拔高度）、人为因素（生活垃圾、工业废物、交通尾气排放）等因素对重金属浓度的影响，利用这些影响因素对浓度预测模型进行了修正完善，使建立的浓度预测模型具有实用性、高精度性、合理性，从而更能精确表示出污染源位置。
为了更好地研究城市地质环境的演变模式，我们至少还应收集近十年来该城区土壤中重金属元素的分布及含量、天气等数据，进而预测出未来可能的发展趋势。
六、参考文献
[1]卓金武魏永生秦建李必文，Matlab在数学建模中的应用[M]，北京：
北京航空航天大学出版社，2011。
[2]华玉之李清雪，环境质量评价方法简介[J]，河北煤炭建筑工程学院学报，3:
19—22,1996。
[3]李玲吴克宁张雷吕巧灵，郑州市郊区土壤重金属污染评价分析，《土壤通报
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