证明：
Cp1（-1）k（modp）。
一、填空题
1、d（1000）=;（t（1000）=o
2、2010!
的标准分解式中，质数11的次数是。
3、费尔马（Fermat）数是指Fn=22n+1,这种数中最小的合数Fn中的n=。
4、同余方程13x=5（mod31）的解是。
5、分母不大丁m的既约真分数的个数为。
6、设7I（80n-1）,则最小的正整数n=0
7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=。
8、竺=。
101
9、若p是质数，np1,则同余方程xn1（modp）的解数为。
二、计算题
2004、-,■一…*…
1、试求20022003被19除所得的余数。
2、解同余方程3x144x106x180（mod5）。
3、已知a=5,m=21，求使ax1（modm）成立的最小自然数x。
三、证明题
1、试证13|（54m+46n+2000）。
（提示：
可取模13进行计算性证明）。
2、证明Wilson定理的逆定理：
若n>1,并且（n1）!
1（modn）,贝Un是素数。
3、证明：
设Ps表示全部由1组成的s位十进制数，若Ps是素数，则s也是一个素数
4、证明：
若2p1是奇素数，WJ（p!
）2
（1）p0（mod2p1）。
、单项选择题
1、若n>1,（n）=n-1是n为质数的（）条件。
A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件
C.充要条件D.既非充分乂非必要条件
2、设n是正整数，以下各组a,b使^为既约分数的一组数是（）。
a
A.a=n+1,b=2n-1B.a=2n-1,b=5n+2C.a=n+1,b=3n+1D.a=3n+1,b=5n+2
3、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数C是（）。
A.19B.24C.25D.30
4、不是同余方程28x三21（mod35）的解为（）。
A.x三2（mod35）B.x三7（mod35）C.x三17（mod35）D.x三29（mod35）
5、设a是整数,
（1）a=0（mod9）
（2）a=2010（mod9）
（3）a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除
（4）划去a的十进位表示中所有的数码字9,所得的新数被9整除
以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（）。
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
1、（T（2010）=;（2010）=o
2、数C/的标准分解式中,质因数7的指数是o
3、每个数都有一个最小质因数.所有不大丁10000的合数的最小质因数中，最大者是
4、同余方程24x=6（mod34）的解是。
5、整数n>1,且（n-1）!
+1=0（modn）,则n为（填：
素数或合数）。
6、3103被11除所得余数是。
760=
7=
97
三、计算题
1、判定（i）2x3x23x10（mod5）是否有三个解；
3、已知a=18,m=77，求使ax1（modm）成立的最小自然数x。
四、证明题
1、若质数p>5,且2p+1是质数，证明：
4p+1必是合数。
2、设p、q是两个大丁3的质数，证明：
p2=q2（mod24）。
3、若x,y€R,
（1）证明：
[xy]>[x][y];
（2）试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。
注：
我们知道,[xy]>[x]+[y],{x+y}<{x}+{y}。
此题把加法换成乘法乂如何呢?
4、证明：
存在一个有理数j，其中d<100，能使
（提示：
由（73,100）=1,利用裴蜀恒等式来证明）
初等数论练习题四
、单项选择题
1、若Fn=22
A.2
1是合数，则最小的
B.3
n是（）o
C.4
D.5
2、记号baHa表示ba|a,但ba+1|
a.以下各式中错误的一个是（
）o
A.218II20!
B.105||50!
C.119||100!
D.1316||200!
3、对丁任意整数n,最大公因数（2n+1,6n-1）的所有可能值是（）
A.1B.4C.1或2D.1,2或4
4、设a是整数，下面同余式有可能成立的是（）。
A.a2三2（mod4）B.a2=5（mod7）C.a2=5（mod11）D.a2=6（mod13）
5、如果a=b（modm）,c是任意整数，则下歹0错误的是（）
A.ac三bc（modmc）B.m|a-bC.（a,m）=（b,m）D.a=b+mt,t€Z
、填空题
1、d（10010）=;4（10010）=
2、对丁任意一个自然数n,为使自N起的n个相继自然数都是合数，可取N=<
3、为使3n-1与5n+7的最大公因数达到最大的可能值，M整数n应满足条件
4、在5的倍数中，选择尽可能小的正整数来构成模12的一个简化系，则这组数是
5、同余方程26x+1三33（mod74）的解是。
6、不定方程5x+9y=86的正整数解是。
三、计算题
1、设n的十进制表示是13xy45z，若792n,求x,y,z。
2、求3406的末二位数3、求（214928+40）35被73除所得余数四、证明题
1、设ai,a2,,am是模m的完全剩余系，证明：
（1）当m为奇数时，ai+a2++am=0（modm）；
（2）当m为偶数时，ai+a2++am=m（modm）。
2
（m）
2、证明：
若m2,ai,a2,,a（m）是模m的任一简化剩余系，贝Uai0（modm）.
i1
3、设m>0是偶数,｛ai,a2,,am｝与｛bi,b2,,bm｝都是模m的完全剩余系，证明：
（aibi,a2b2,,ambm｝不是模m的完全剩余系。
4、证明：
（i）2730Ixi3-x;
（2）24Ix（x+2）（25x2-i）；
（3）504Ix9-x3;
（4）设质数p>3,证明：
6pIxp-x
初等数论练习题五
一、单项选择题
1、设x、y分别通过模m、n的完全剩余系，若（）通过模mn的完全剩余系。
A.m、n者8是质数，贝UmynxB.m^n,贝Umynx
C.（m,n）=1,贝UmynxD.（m,n）=1,贝Umxny
2、1X3X5X…X2003X2005的标准分解式中11的籍指数是（）。
A.100B.101C.99D.102
3、n为正整数，若2n-1为质数，则n是（）。
A.质数B.合数C.3D.2k（k为正整数）
4、从100到500的自然数中，能被11整除的数的个数是（）。
A.33B.34C.35D.36
5、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是（）。
A.100B.10C.40D.4
二、填空题
1、同余方程ax+b三0（modm）有解的充分必要条件是。
2、高斯称反转定律是数论的酵母，反转定律是指o
3、20112011被3除所得的余数为。
4、设n是大丁2的整数，则（-1）（n）=。
5、单位圆上的有理点的坐标是o
6、若3258Xa恰好是一个正整数的平■方,贝Ua的最小值为。
7、58=
97
三、计算题
1、求32008X72009X132010的个位数字。
2、求满足（mn）=（m）+（n）的互质的正整数m和n的值。
3、甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100
斤，问各买几斤？
四、证明题
1、已知2011是质数，则有2011|999
2010个
2、设p是4n+1型的质数，证明若a是p的平方剩余，贝Up-a也是p的平方剩余.
3、已知p,q是两个不同的质数，且aT1三1（modq）,sP-1=1（modp）,证明：
apq=a（modpq）。
4、证明：
若m,n都是正整数，贝U（mn）=（m,n）（[m,n]）
初等数论练习题六
、填空题
1、为了验明2011是质数，只需逐个验算质数2,3,5,-p都不能整除2011,此时，质
数p至少是0
2、最大公因数（4n+3,5n+2）的可能值是
3、设3"I40!
，而3"+1|40!
即3“40!
，则a=?
4、形如3n+1的自然数中，构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是。
5、不正方程x+y=z,2|x,（x,y）=1,x,y,z>0的整数解是且仅是。
6、21x三9（mod43）的解是。
二、计算题
1、将2L写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3,5和7
105
2、若3是质数p的平方剩余，问p是什么形式的质数？
3、判断不定方程x2+23y=17是否有解？
三、证明题
1、试证对任何实数x,包有〔x〕+〔x+1〕=〔2x〕。
2
2、证明：
（1）当n为奇数时，3I（2n+1）;
（2）当n为偶数时,3|（2n+1）。
3、证明：
（1）当3In（n为正整数）时，7I（2七1）;
（2）无论n为任何正整数,7|（2*1）。
4、设e0,n>0,且m为奇数，证明：
（2^1,2。
+1）=1
初等数论练习题七
、单项选择题
1、
设a和b是正整数，则（
[a,b][a,b]）=（
C.b
D.（a,b）
2、
176至545的正整数中,
13的倍数的个数是
3、
4、
5、
1、
C.29
200!
中末尾相继的0的个数是
C.51
从以下满足规定要求的整数中,
能选取出模
20的简化剩余系的是（
设n是正整数,
21n4
A.
14n3
、填空题
下列选项为既约分数的是（
B.旦C.2^D.
2n15n2
314162被163除的余数是
升级会员 