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1、初等数论练习题初等数论练习题信阳职业技术学院2010年12月一、填空题1、 d(2420)= (2420)=?2、 设a,n是大丁 1的整数，若an-1是质数，贝U a=3、 模9的绝对最小完全剩余系是 o4、 同余方程9x+12三0(mod 37)的解是5、 不定方程18x-23y=100的通解是。6、 分母是正整数m的既约真分数的个数为 。7、 18100被172除的余数是 o1039、若p是素数，则同余方程x p 1 1(mod p)的解数为。二、 计算题1、 解同余方程：3x2 11x 20 0 (mod 105)。2、 判断同余方程x2三42(mod 107)是否有解？3、 求(12

2、7156+34) 28除以111的最小非负余数。三、 证明题1、 已知p是质数，(a,p) =1,证明：(1)当 a 为奇数时,a-1+(p-1)= 0 (mod p);(2)当 a 为偶数时,ap-1-(p-1) a=0 (mod p)。2n2、 设a为正奇数，n为正整数，试证a 三1(mod 2n+2)03、 设 p 是一个素数，且 1V k 1,并且(n 1)! 1 (mod n),贝U n是素数。3、 证明：设Ps表示全部由1组成的s位十进制数，若Ps是素数，则s也是一个素数4、 证明：若 2p 1 是奇素数，WJ (p!)2 ( 1)p 0 (mod 2p 1)。、单项选择题1、 若

3、n1, (n)=n-1是n为质数的( )条件。A.必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件C.充要条件 D. 既非充分乂非必要条件2、 设n是正整数，以下各组a, b使为既约分数的一组数是( )。aA.a=n+1,b=2n-1 B.a=2n-1,b=5n+2 C.a=n+1,b=3n+1 D.a=3n+1,b=5n+23、 使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数 C是( )。A.19 B.24 C.25 D.304、 不是同余方程28x三21(mod 35)的解为( )。A.x三2(mod 35) B. x 三7(mod 35) C. x 三 17(mod 35) D. x 三29(mod

4、 35)5、 设 a 是整数,(1)a= 0(mod9) (2)a= 2010(mod9)(3)a的十进位表示的各位数码字之和可被 9整除(4)划去a的十进位表示中所有的数码字9,所得的新数被9整除以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有( )。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、 填空题1、 (T (2010)=; (2010)=o2、 数C/的标准分解式中,质因数7的指数是 o3、 每个数都有一个最小质因数.所有不大丁 10000的合数的最小质因数中，最大者是4、 同余方程24x=6(mod34)的解是。5、 整数n1,且(n-1)!+1 = 0(mod n),则n为(填：素数或合数

5、)。6、 3103被11除所得余数是。7 60 =7=97 三、 计算题1、判定(i ) 2x3 x2 3x 1 0 (mod 5)是否有三个解；3、已知a=18,m=77，求使ax 1 (mod m)成立的最小自然数 x。四、证明题1、 若质数p5,且2p+1是质数，证明：4p+1必是合数。2、 设p、q是两个大丁 3的质数，证明：p2=q2(mod 24)。3、 若 x,y R , (1)证明：xy xy ; (2)试讨论xy与xy的大小关系。注：我们知道,x y x+y , x+y x+y。此题把加法换成乘法乂如何呢?4、证明：存在一个有理数 j，其中d 100，能使(提示：由(73,1

6、00) =1,利用裴蜀恒等式来证明)初等数论练习题四、单项选择题1、若 Fn= 22A. 21是合数，则最小的B. 3n 是( )oC. 4D. 52、记号 ba H a 表示 ba | a,但 ba+1 |a.以下各式中错误的一个是()oA. 218 II 20! B. 105 | 50!C. 119 | 100! D. 1316 | 200!3、对丁任意整数n,最大公因数(2n+1,6n-1)的所有可能值是( )A. 1 B. 4 C. 1 或 2 D. 1 , 2 或 44、 设a是整数，下面同余式有可能成立的是( )。A. a2 三 2 (mod 4) B. a2= 5 (mod 7)

7、 C. a2= 5 (mod 11) D. a2=6 (mod 13)5、 如果a= b(mod m), c是任意整数，则下歹0错误的是( )A. ac三bc(mod mc) B. m|a-b C. (a,m)=(b,m) D. a=b+mt,t Z、填空题1、 d(10010)=; 4(10010)=2、 对丁任意一个自然数n,为使自N起的n个相继自然数都是合数，可取N= 0是偶数,ai, a2, , am与bi, b2, , bm都是模m的完全剩余系，证明： (ai bi, a2 b2, , am bm不是模m的完全剩余系。4、证明：(i) 2730 I xi3-x;(2)24 I x(x

8、+2)(25x2-i)；(3)504 I x9-x3;(4)设质数p3,证明：6p I xp-x初等数论练习题五一、 单项选择题1、 设x、y分别通过模m、n的完全剩余系，若( )通过模mn的完全剩余系。A.m、 n 者8是质数，贝U my nx B. mn,贝U my nxC. (m, n) =1,贝U my nx D. (m, n) =1,贝U mx ny2、 1X 3X 5XX 2003X 2005的标准分解式中11的籍指数是()。A.100 B.101 C.99 D.1023、 n为正整数，若2n-1为质数，则n是()。A.质数 B.合数 C.3 D.2k(k为正整数)4、 从100到

9、500的自然数中，能被11整除的数的个数是( )。A.33 B.34 C.35 D.365、 模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是()。A.100 B.10 C.40 D.4二、 填空题1、 同余方程ax+b三0(modm)有解的充分必要条件是 。2、 高斯称反转定律是数论的酵母，反转定律是指 o3、 20112011被3除所得的余数为 。4、 设n是大丁 2的整数，则(-1) (n)=。5、 单位圆上的有理点的坐标是 o6、 若3258X a恰好是一个正整数的平方,贝U a的最小值为。7、 58 =97 三、 计算题1、 求 32008X 72009X 132010 的个位数字。2、

10、求满足(mn)= (m)+ (n)的互质的正整数m和n的值。3、 甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤？四、证明题1、已知2011是质数，则有2011|99 92010个2、设p是4n+1型的质数，证明若a是p的平方剩余，贝U p-a也是p的平方剩余.3、已知p,q是两个不同的质数，且aT1三1 (mod q), sP-1 = 1 (mod p), 证明：apq= a (mod pq)。4、证明：若 m,n都是正整数，贝U (mn)= (m,n) (m,n)初等数论练习题六、填空题1、 为了验明2011是质数，只需逐个验算质数2, 3,

11、5, - p都不能整除2011,此时，质数p至少是 02、 最大公因数(4n+3,5n+2)的可能值是3、 设 3 I 40!，而 3 +1|40!,即 3“ 40!，则 a =?4、 形如3n+1的自然数中，构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是 。5、 不正方程x +y =z ,2|x, (x,y)=1, x,y,z0 的整数解是且仅是 。6、 21x三 9 (mod 43)的解是。二、 计算题1、 将2L写成三个既约分数之和，它们的分母分别是 3, 5和71052、 若3是质数p的平方剩余，问p是什么形式的质数？3、 判断不定方程x2+23y=17是否有解？三、 证明题1、试证对任何实

12、数x,包有x+x+1=2x。22、 证明：(1)当n为奇数时，3 I (2n+1);(2)当n为偶数时,3| (2n+1)。3、 证明：(1)当3 I n (n为正整数)时，7 I (2七1);(2)无论n为任何正整数,7| (2*1)。4、设 e0, n0,且 m为奇数，证明：(21, 2。+1) =1初等数论练习题七、单项选择题1、设a和b是正整数，则(a,b a,b)=(C. bD. (a,b)2、176至545的正整数中,13的倍数的个数是3、4、5、1、C. 29200!中末尾相继的0的个数是C. 51从以下满足规定要求的整数中,能选取出模20的简化剩余系的是(设n是正整数,21n 4A. 14n 3、填空题下列选项为既约分数的是(B.旦 C. 2 D.2n 1 5n 2314162被163除的余数是