第9讲 第2课时 定点定值范围最值问题Word文档下载推荐.docx

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3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.

答案　B

3.已知椭圆C的方程为＋＝1（m＞0），如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为（　　）

A.2B.2C.8D.2

解析　根据已知条件得c＝，则点（，）在椭圆＋＝1（m＞0）上，

∴＋＝1，可得m＝2.

4.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A.[3，＋∞）B.（3，＋∞）

C.（1，3]D.（1，3）

解析　依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±

x，与抛物线方程联立消去y得x2±

x＋2＝0.

∵渐近线与抛物线有交点，

∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，

∴c＝≥3a，∴e＝≥3.

答案　A

5.（2016·

丽水一模）斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（　　）

A.2B.C.D.

解析　设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，

得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·

，

当t＝0时，|AB|max＝.

二、填空题

6.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________.

解析　由条件知双曲线的焦点为（4，0），

所以解得a＝2，b＝2，

故双曲线方程为－＝1.

答案　－＝1

7.已知动点P（x，y）在椭圆＋＝1上，若A点坐标为（3，0），||＝1，且·

＝0，则||的最小值是________.

解析　∵·

＝0，∴⊥.

∴||2＝||2－||2＝||2－1，

∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，

故||min＝2，∴||min＝.

答案　

8.（2017·

平顶山模拟）若双曲线x2－＝1（b＞0）的一条渐近线与圆x2＋（y－2）2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.

解析　双曲线的渐近线方程为y＝±

bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2.

答案　（1，2]

三、解答题

9.如图，椭圆E：

＋＝1（a>

b>

0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且·

＝－1.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数λ，使得·

＋λ·

为定值？

若存在，求λ的值；

若不存在，请说明理由.

解　

（1）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）.

又点P的坐标为（0，1），且·

＝－1，

于是解得a＝2，b＝.

所以椭圆E方程为＋＝1.

（2）当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的方程为y＝kx＋1，

A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.

联立

得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0.

其判别式Δ＝（4k）2＋8（2k2＋1）>

0，

所以，x1＋x2＝－，x1x2＝－.

从而，·

＝x1x2＋y1y2

＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]

＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1

＝＝－－λ－2.

所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.

此时，·

＝－3为定值.

当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，

此时·

＋·

＝－2－1＝－3，

故存在常数λ＝1，使得·

为定值－3.

10.（2016·

浙江卷）如图，设椭圆＋y2＝1（a＞1）.

（1）求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长（用a，k表示）；

（2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

解　

（1）设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由得（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0.

故x1＝0，x2＝－，

因此|AM|＝|x1－x2|＝·

.

（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.

记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.

由

（1）知|AP|＝，|AQ|＝，

故＝，

所以（k－k）[1＋k＋k＋a2（2－a2）kk]＝0.

由于k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2（2－a2）kk＝0，

因此＝1＋a2（a2－2），①

因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2（a2－2）＞1，所以a＞.

因此，任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，

由e＝＝得，所求离心率的取值范围是.

11.（2016·

湖南师大附中月考）设双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）

A.B.（，＋∞）

C.（1，）D.

解析　不妨联立y＝x与y2＝x的方程，消去y得x2＝x，由x0＞1知＜1，即＜1，故e2＜2，又e＞1，所以1＜e＜，故选C.

12.（2017·

河南省八市质检）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若△AOB的面积为，则抛物线的准线方程为（　　）

A.x＝－2B.x＝2

C.x＝1D.x＝－1

解析　因为e＝＝2，所以c＝2a，b＝a，双曲线的渐近线方程为y＝±

x，又抛物线的准线方程为x＝－，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A，B，在△AOB中，|AB|＝p，点O到AB的距离为，所以·

p·

＝，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故选D.

答案　D

13.（2017·

绵阳诊断）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·

的最小值为________.

解析　点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P（x，y）（－3≤x≤3，－2≤y≤2），依题意得左焦点F（－1，0），∴＝（x，y），＝（x＋1，y），∴·

＝x（x＋1）＋y2＝x2＋x＋＝＋.

∵－3≤x≤3，

∴≤x＋≤，∴≤≤，

∴≤≤，∴6≤＋≤12，即6≤·

≤12，故最小值为6.

答案　6

14.（2017·

衡水中学高三联考）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x＋4y＋6＝0与圆x2＋（y－b）2＝a2相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：

直线MN过定点，并求出定点坐标；

（3）在

（2）的条件下求△AMN面积的最大值.

解　

（1）由题意，得∴

即C：

＋y2＝1.

（2）由题意得直线l1，l2的斜率存在且不为0.

∵A（－2，0），设l1：

x＝my－2，l2：

x＝－y－2，

由得（m2＋4）y2－4my＝0，

∴M.同理，N.

①m≠±

1时，kMN＝，

lMN：

y＝.此时过定点.

②m＝±

1时，lMN：

x＝－，过点.

∴lMN恒过定点.

（3）由

（2）知S△AMN＝×

|yM－yN|

＝＝8

＝＝.

令t＝≥2，当且仅当m＝±

1时取等号，

∴S△AMN≤，且当m＝±

1时取等号.

∴（S△AMN）max＝.