反正切和式与圆周率计算Word文档格式.docx

反正切和式与圆周率计算Word文档格式.docx

《反正切和式与圆周率计算Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《反正切和式与圆周率计算Word文档格式.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

例如，有[1=2+3],[5=7+18]及[8=13+21]等等。

在式（1,2）的运算中，a,b,c可为正实数。

但应用于计算π时，为提高精确度，a,b,c仅取正整数。

此时，称之为反正切整数和式。

反正切和式有如下多种形式：

1，[b=a-c]表示

arctan1/b=arctan1/a-arctan1/c.

2,[a=n*b]表示

arctan1/a=n*arctan1/b。

2，[d+a=b+c]表示

arctan1/d+arctan1/a=arctan1/b+arctan1/c.

下面考察反正切和式的特性、算法与应用。

一，反正切和式的计算与特性。

1，已知b,c，求a。

a=（bc-1）/（b+c）.......................（1.1）

作图示意：

可作∠b1a=∠bc1,既得点a。

2，已知a,c，求b。

b=（ac+1）/（a-c）.......................（1.2）

可作∠a1b=∠bc1,既得点b

3，已知a,b，求c。

c=（ab+1）/（b-a）.......................（1.3）

可作∠d1c=∠a1b,既得点c。

。

4，对于[a=n*b]有下列迭代过程：

初值（n=1）：

a=b;

n次迭代：

a=（a*b-1）/（a+b）。

对于计算π的的反正切整数和式，为保证运算的精确性，其运算过程不采用小数形式（因小数的有限字长引发误差），而采用分数形式。

对此有

设a=a1/a2,b=b1/b2,c=c1/c2，a1,a2,b1,b2,c1,c2皆为正整数。

1，对于[a=b+c]，有

a1=b1c1-b2c2

a2=b1c2+b2c1........................（1.4）

2，对于[b=a-c]，有

b1=a1c1+a2c2

b2=c1a2-c2a1.........................（1.5）

3，对于[c=a-b]，有

c1=a1b1+a2b2

c2=c1b2-c2b1........................（1.6）

4，对于[a=n*b）有下列迭代过程：

初值：

a1=b;

a2=1;

a1=（a1*b-a2）/（a1+b*a2）......（1.7）

特别当n=2时，

a=（b^2-1）/1.........................（1.7-1）

或，a1=b1^2-b2^2；

a2=2b1b2

特别当n=4时，

a=（b^4-6b^2+1）/（4b（b^2-1））...........（1.7-2）

或a1=b1^4-6b1^2b2^2+b2^4；

a2=4b1b2（b1^2-b2^2）

此外，反正切和式运算有如下的特性：

1，由式

（2）,有如下不等式：

2a;

b/2<

=a<

b.................（1.8）

2a<

c<

（1+a）^2;

sqrt（c）<

c/1......（1.9）

2，对于反正切整数和式，a,b,c必为1偶2奇。

（证明留给读者）

二，反正切和式著名公式的证明。

应用反正切和式（1.1,1.2,1.3）可直接证明反正切的几个著名公式：

1，证明梅欣（J.Machin）公式:

[1=4*5-239]

2，证明欧拉（L.Euler）公式:

[1=5*7+2*（79/3）]

3，证明达斯（J.M.Z.Dase）公式:

[1=2+5+8]

4,证明付格森（D.F.fergnson）公式:

[1=3*75+20+1965]

5,证明斯图姆（J.D.F.Sturm）公式:

[1=6*8+2*57+239]

6,证明高斯（C.F.Gauss）公式:

[1=12*18+8*57-20*239]

7,证明1981年日本人计算π到2*10^6位所使用的公式：

π/4=8arctan1/10-arctan1/239-4arctan1/515,

即[1=8*10-239-4*515]

下面仅给出最后一个式子的证明。

而其他式子的证明，方法雷同，留给读者。

[证明]首先，用式（1.1）,有[257.499=515+515],[128.747=257.499+257.499]以及[83.670=239,128+747]。

其次，还用式（1.1）,有[4.95=10+10]，[1.374=4.95+4.95]及[0.97938=1.374+1.374]。

最后用式（1.1）验证[0.97638+1=83.670]，

此即[4*515+239+1=8*10]。

注：

此处为简化式子，用小数表示！

为保证验证反正切和式的准确性，计算过程应采用分数形式。

三，反正切整数和式的分解算法与综合。

1，已知正整数a,求反正切整数和式[a=b+c]的正整数解b和c。

解法：

由反正切和式

（2）,

1+a^2=（b-a）（c-a）。

将（1+a^2）进行质因子分解，令

（1+a^2）=n*m，n<

=m……………………………（3.1）

则，c=m+a,b=n+a……………………………………（3.2）

例如：

已知a=8。

（1+a^2）=65=1*65=5*13

所以，c=65+8=73,b=1+8=9；

或，c=13+8=21,b=5+8=13.

因此有：

[8=9+73]及[8=13+21]

以下是计算机编程运行的部分结果。

2,已知正整数b,求反正切整数和式[b=a-c]的正整数解a和c。

由（1.8），对于从b/2到b的每一个a，如果c=（b*a+1）/（b-a）是整数，且b<

c，则此a,c为所求。

以下是计算机编程运行的部分结果。

3，已知正整数c,求反正切整数和式[c=a-b]的正整数解a和b。

由（1.9），对于从sqrt（c）到c/2的每一个a，如果b=（c*a+1）/（c-a）是整数，且b<

c，则此a,b为所求。

反正切整数和式的综合：

由上面三种算法的结果可生成许多反正切整数和式。

例如:

[1=2+3],结合[2=3+7]->

[1=2*3+7],结合[3=4+13]->

[1=2*4+2*13+21],结合及[4=5+21]->

[1=2*5+2*13+3*21],结合[21=8-13]（见例1）->

[]1=2*5+3*8-13]等等。

读者可自行综合，生成出多种反正切整数和式用于圆周率π计算。

四，广义梅欣（J.Machin）公式及其应用。

除了人们熟知的几个著名反正切和式已应用于计算圆周率π外，第三节引入的反正切整数和式的分解与综合也可用于计算圆周率π。

如何构造新的反正切整数和式以提高圆周率π的计算精度与速度是一个可进一步深入研究的课题。

下面给出广义的梅欣公式（Wu-Machin）公式：

[1=n*b-c]..........................（4.1）

[1=n*b+c]..........................（4.2）

其中n,b为正整数。

分析与实验表明，当给定的b时，c应尽可能增大以提高π的计算精度与速度。

随着n的增大，n*arctan（1/b）不断增加。

对[1=n*b-c]而言，应是确保n*b小于1中的最大的n；

而对[1=n*b+c]而言，应是确保n*b大于1中的最小的n。

一旦n确定后，即可计算c使之满足[c=1+n*b]或[c=1-n*b]。

以下是计算机编程运行的部分结果:

由上面的结果可见广义Machin公式的c常为小数。

其中作为反正切的整数和式，较为简单的有：

[1=2+3],[1=2*2-7],

[1=2*3+7],[1=3*3-2/11],

[1=3*5+10/51]及[1=4*5-239]。

如果应用（1.7-2），迭代可得

其中最后一个的反正切整数和式近似于：

[1=4^10*1335088-3963734]

即，arctan1=4^10arctan1/1335088-arctan1/3963734。

于是，π=4^11*arctan1/1335088-4*arctan1/3963734

结合arctanx=x-x^3/3+x^5/5......，可用于圆周率π的计算。

初步试验表明此广义Wu-Machin公式用于圆周率π的计算，其精度与速度优于Machin公式。

在arctan的展开式末项限于1E-10及1E-100时的结果分别如下：

）。

此处限于C语言的运算精度，仅给出小数点后15位。

此广义Machin公式用于圆周率π计算的进一步结论有待在大型机上验证。

（注：

本文的各项算法优于[2]）。

[1]谢惠民数学史赏析高教出版社2014

[2]