212 导数的应用一学案高考一轮复习Word格式文档下载.docx
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四.自主复习:
1.函数的单调性与导数
(1)函数f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与其导数的正负有如下关系
①若_________,则f(x)在这个区间内单调递增;
②若_________,则f(x)在这个区间内单调递减;
③若_________,则f(x)在这个区间内是常数.
(2)利用导数判断函数单调性的一般步骤
①求_________;
②在定义域内解不等式______________________;
③根据结果确定f(x)的单调区间.
2.函数的极值与导数
(1)函数的极小值
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧___________,右侧____________,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其它点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧___________,右侧____________,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
五.复习前测:
1.已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是( )
2.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减
D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增
3.设f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是( )
A.(a,b)B.(a,c)
C.(b,c)D.(a+b,c)
4.函数y=3x2-6lnx的单调增区间为__________,单调减区间为__________.
5.函数y=x3+ax+b在区间[-1,1]上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,则a等于__________.
要点点拨:
1.在确定函数的单调区间,求函数的极大(小)值时,应首先考虑所给函数的定义域,函数的单调区间应是其定义域的子集.
2.当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时,不能把这些区间取并集.
3.f′(x)>
0(或f′(x)<
0)是f(x)在某一区间上为增函数(或减函数)的充分不必要条件.
4.可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3在x=0处导数f′(0)=0,但x=0不是它的极值点,也就是说可导函数在点x0处的导数f′(x0)=0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件.
六.复习过程:
题型一:
利用导数研究函数的单调性
[例1] 函数y=
-2sinx的图象大致是( )
[思路点拨] 排除法与求导相结合,根据导数与函数单调性的关系判断.
变式训练1
如果函数y=f(x)的图象如下图,那么导函数y=f′(x)的图象可能是( )
[例2] 已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)是否存在a,使f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
[规律总结]
(1)求解函数的单调区间,首先我们应先求函数的定义域,当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f′(x)>
0)直接得到单调递增(或递减)区间,当f(x)含有参数时,应注意分类讨论;
(2)对于已知函数的单调性,求参数的取值范围,一般地最后要检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若f′(x)恒等于0,则参数的值应舍去;
若只有在个别点处有f′(x)=0,则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
题型二:
利用导数研究函数的极值
[例3] 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠
时,求函数f(x)的单调区间与极值.
[规律总结] 1.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是:
f′(x0)=0,且在x0的左,右两侧f′(x)的符号不同.
2.对含参数的极值问题要注意分类讨论.
变式训练3
设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-
对称,且f′
(1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
题型三:
函数单调性与极值的综合问题
[例4] (2013·
兰州调研)已知实数a>
0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求实数a的值.
[规律总结]
(1)求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能.
(2)如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个,这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接,只能用“,”或“和”字隔开.
变式训练4
(2013·
海淀模拟)函数f(x)=
(a∈R).
(1)若f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为
,求实数a的值;
(2)若f(x)在x=1处取得极值,求函数f(x)的单调区间.
创新探究——函数思想在导数中的应用
[例题] (2012·
重庆)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.
链接高考:
1.(2012·
陕西)设函数f(x)=xex,则( )
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
2.(2012·
大纲全国)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( )
A.-2或2 B.-9或3
C.-1或1D.-3或1
七.反馈练习:
辽宁)函数y=
x2-lnx的单调递减区间为( )
A.(-1,1]B.(0,1]
C.[1,+∞)D.(0,+∞)
2.函数f(x)=(x2-1)3+2的极值点是( )
A.x=1B.x=-1
C.x=1或-1或0D.x=0
3.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是( )
A.0B.1
C.2D.3
4.(2012·
沈阳模拟)已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f
(1)=1,f′(x)>
1,则f(x)>
x的解集是( )
A.(0,1)B.(-1,0)∪(0,1)
C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
5.(2012·
福建)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<
b<
c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:
①f(0)f
(1)>
0;
②f(0)f
(1)<
③f(0)f(3)>
④f(0)f(3)<
0.
其中正确结论的序号是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
6.函数f(x)的定义域为R,对任意实数x满足f(x-1)=f(3-x),且f(x-1)=f(x-3).当1≤x≤2时,函数f(x)的导数f′(x)>
0,则f(x)的单调递减区间是( )
A.[2k,2k+1](k∈Z)B.[2k-1,2k](k∈Z)
C.[2k,2k+2](k∈Z)D.[2k-2,2k](k∈Z)
7.设函数f(x)=x(ex+1)+
x2,则函数f(x)的单调增区间为__________.
8.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是__________.
9.已知函数f(x)=
x3-bx2+c(b,c为常数).当x=2时,函数f(x)取得极值,若函数f(x)只有三个零点,则实数c的取值范围是__________.
10.已知函数f(x)=
x3+ax2-bx(a,b∈R).若y=f(x)图象上的点(1,-
)处的切线斜率为-4,求y=f(x)的极大值.
11.已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间.
12.设函数f(x)=
x3-ax2-ax,g(x)=2x2+4x+c.
(1)试问函数f(x)能否在x=-1时取得极值?
说明理由;
(2)若a=-1,当x∈[-3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求c的取值范围.
八.思维总结:
九.自我评价:
1.你对本章的复习的自我评价如何?
A.很好B.一般C.不太好
2.你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞?