一元二次不等式及分式不等式的解法含答案.docx

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一元二次不等式及分式不等式的解法含答案

一元二次不等式及分式不等式的解法

典题探究

例1若0

1

（x－a）（x－）<0的解是

a

1

C.x或xaa

D.x或xaa

例2

x2x6有意义，则

x的取值范围是

例3若ax2＋bx－1<0的解集为{x|－1

x2

演练方阵

A档（巩固专练）

1．关于x的不等式|x2|m的解集为R的充要条件是（）

（A）m0（B）m2（C）m0（D）m2

2．不等式（x1）x20的解集为（）

（A）［1,）（B）［1,）{2}（C）［2,1）（D）［2,）

3．不等式|x4||3x|a的解集为非空集合，则实数a的取值范围是（）

A）a1

B）a1

4.不等式log1（x1）1的解集为

3

A）{x|x>4}

B）{x|x<4}

C）{x|1

（）

2

D）{x|1

3

axx2b0的解集是（

5.已知关于x的不等式axb0的解集是（1,），则关于x的不等式

A）（1,2）（B）（1,2）

C）（,1）（2,）

D）（2,）

22

6．若不等式x22xay22y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是（）

2

7．若关于x的不等式g（x）a2a1（xR）的解集为空集，则实数a的取值范围是．

9.已知关于x的不等式a2x50的解集为M．

x2a

（1）当a4时，求集合M；

（2）若3M且5M，求实数a的取值范围．

10.已知a1,P:

a（x2）10,Q:

（x1）2a（x2）1.试寻求使得P,Q都成立的x的集合．

B档（提升精练）

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

1，a

2．在两个实数之间定义一种运算“#，”规定a#b＝则方程|－2|#2＝1的解集

－1，a≥b.x

是（）

1111

A．｛4｝B．（4，＋∞）C．（－∞，4）D．［4，＋∞）

3．若b

11ba

A.>B．|a|>|b|C.＋>2D．a＋b>ab

abab

A．（4,7]

B．［－7，－1）

C．（－∞，－1）∪（7，＋∞）D．［－1,7］

5．对于非零实数a、b，“b（b－a）≤0”是“ab≥1”的（）

6．设集合A＝｛x||x－a|<1，x∈R｝，B＝｛x|1

，则实数a的取值范围是（）

7．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是（）

ax1

8．解关于x的不等式1,其中|a|1.

xa

＋11

9．设a，b，c∈R，则（a＋b＋c）（a＋1b＋1c）的最小值为10．

（1）设x>－1，求实数y＝x＋x5＋x1＋2的最小值．

3

（2）设0

C档（跨越导练）

1.不等式x2x的解集是（）

D.,01,

|

A．,0B.0,1C.1,

2.关于x的不等式（mx-1）（x-2）>0，若此不等式的解集为{x

范围是（）

A.m>0B.0D.m<0

3．已知a1、a2∈（0,1）．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（）

A．MNC．M＝ND．不确定

a＋b

4．“a>0且b>0”是“＋2≥ab”成立的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件

5．下列命题中的真命题是（）

22

A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若|a|>b，则a2>b2

C．若a>b，则a2>b2D．若a>|b|，则a2>b2

6．若a

111122

A.1a>1bB.a－1b>a1C．|a|>|b|D．a2>b2

7．若实数a，b，c满足|a－c|<|b|，则下列不等式中成立的是（）

A．|a|>|b|－|c|B．|a|<|b|＋|c|

C．a>c－bD．a

11

8．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则x＋y的最小值为（）

A．6B．5C．3＋22D．42

9．已知a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系为．

10．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是

一元二次不等式及分式不等式的解法参考答案

典题探究

例1【答案】A【解析】比较a与1的大小后写出答案0

1

间”，得ax

a

例2【答案】x≥3或x≤－2．【解析】分析求算术根，被开方数必须是非负数．

据题意有，x2－x－6≥0，即（x－3）（x＋2）≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－

例3【答案】a1，b1．【解析】分析根据一元二次不等式的解公式可知，

22

和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．

（1）2111

得a1，b1

22

（1）×22

解根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知

b

a

1

a

例4【解析】原不等式即（1k）xk20，

x2

1°若k=0，原不等式的解集为空集；

2°若1－k>0，即0

1k

此时2k－2=2k>0，∴若0

1k1k1k

2k

3°若1－k<0，即k>1时，原不等式等价于（x2k）（x2）0,

1k

此时恒有2>2k，所以原不等式的解集为{x|x<2k，或x>2}

1k1k

演练方阵

A档（巩固专练）

1【答案】A【解析】由|x2|m得，m<0

2【答案】B【解析】x20x10即可x1

3【答案】B【解析】有绝对值得几何意义可知:

|x4||3x|表示数轴上的点到点

3的距离之和,所以|x4||3x|1,a>1即可

1

4【答案】Ｃ【解析】：

由log1（x1）1,得log1（x1）log1log13,

2．

4和点

3333

即0x13,即1x4.选C

xb

x

5【答案】A【解析】由题b1意得且a0,axb0即a0，即（x2）（x）b0

ax2x2a

22

6【答案】C【解析】x22xaa1，y22y1即a11，a2.选C.

7．【答案】a（,1）（0,）

2

1=[g（x）]max

【解析】：

g（x）a2a1（xR）的解集为空集，就是a（,1）（0,）

1ax2a1

8【解析】：

a00.

x2x2

2a11

当a0时（x2）（x）0，则x（2,2）.

aa

5

则3M且5M，∴a25满足条件.综上可知a1,9,25.

3

10【解析】：

由题意，要使P,Q都成立，当且仅当不等式组a（x22）10,

（x1）2a（x2）1

x21,a

成立.此不等式组等价于

（xa）（x2）0.

1

x2,111a而a

（2）a20,a2，aaa

x2或xa,

所以

②当

③当

1

x2或2

a

3

a2时，x3且x2

2

1

x2,1

a2时，则有a所以xa或21x2.

x2或xa,a

综上，当1a2时，使P,Q都成立的x的集合是xx2或21xa;a

当a2时，使P,Q都成立的x的集合是

B档（提升精练）

1【答案】A【解析】：

由a>|b|≥0一定能得出a2>b2，但当a与b都小于0时，若a2>b2，则有a<|b|，故其为充分不必要条件．

111

2【答案】B【解析】：

运用规定的运算“#转”化求解，∵|x1－2|#2＝1，故|x1－2|<2.解得x>41.

xx4

11b－a

b

－b>－a>0?

|b|>|a|，B选项

3【答案】C【解析】：

a－b＝a－b<0，A选项错；错；ab＋ba＝|ba|＋|ab|≥2，由于ba≠ab，所以等号不成立，C选项正确；a＋b<0且ab>0，D选项错．

4【答案】A【解析】：

因为A＝（－∞，－1）∪（4，＋∞），B＝（－∞，－1）∪（7，＋∞），所以A∩（?

RB）＝（4,7］．

5【答案】C【解析】：

∵a≠0，b≠0，故有3b（b－a）≤0?

b－ba≤0?

1－ba≤0?

ab≥1.

6【答案】C【解析】：

由于不等式|x－a|<1的解是a－1

时，只要a＋1≤1或a－1≥5即可，即a≤0或a≥6.

7【答案】B【解析】：

依题意得（x＋1）（2y＋1）＝9，

（x＋1）＋（2y＋1）≥2x＋12y＋1＝6，x＋2y≥4，即x＋2y的最小值是4.

x1x1

若a1,则0得原不等式的解集为{x|x1或xa};若a1,则0

xaxa

当1a1时,a1,得原不等式的解集为{x|ax1}；

当a1时,a1，得原不等式的解集为{x|1xa}.

11ca＋bca＋b

9【答案】4【解析】：

（a＋b＋c）（＋）＝1＋＋＋1＝2＋＋≥2＋2＝4.

a＋bca＋bca＋bc

10【解析】解：

（1）设x＋1＝t，∵x>－1，∴t>0，

原式化为y＝t－12＋7tt－1＋10＝t2＋5tt＋4＝t＋4t＋5≥2t·4t＋5＝9，

当且仅当t＝4t，即t＝2时，取等号，∴当x＝1时，y取最小值9.

3

333x＋4－x23245

（2）∵00.∴y＝5x（3－4x）＝20x（34－x）≤20×[2]2＝20×（83）2＝4156，

当且仅当x＝34－x，即x＝83时，取等号．∴当