九年级数学圆扇形弓形面积文档格式.docx

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我们在求面积时往往只需要求出圆的一局部面积，如图中阴影图形的面积．为了更好研

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初中数学教案文讯教育教学设计究这样的图形引出一个概念．

扇形：

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．

提出新问题：

⊙O半径为R，求圆心角n°

的扇形的面积．

〔二〕迁移方法、探究新问题、归纳结论

1、迁移方法

教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：

1〕圆周长C=2πR；

2〕1°

圆心角所对弧长=；

3〕n°

圆心角所对的弧长是1°

圆心角所对的弧长的n倍；

4〕n°

圆心角所对弧长=．

归纳结论：

假设设⊙O半径为R，n°

圆心角所对弧长l，那么〔弧长公式〕

2、探究新问题

教师组织学生比照研究：

1〕圆面积S=πR2；

2〕圆心角为1°

的扇形的面积=；

〔3〕圆心角为n°

的扇形的面积是圆心角为1°

的扇形的面积n倍；

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初中数学教案文讯教育教学设计〔4〕圆心角为n°

的扇形的面积=．

假设设⊙O半径为R，圆心角为n°

的扇形的面积S扇形，那么S扇形=〔扇形面

积公式〕

〔三〕理解公式

教师引导学生理解：

〔1〕在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°

圆

心角的倍数，它是不带单位的；

〔2〕公式可以理解记忆〔即按照上面推导过程记忆〕；

提出问题：

扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？

〔教师组织学生探讨〕S扇形=lR

想一想：

这个公式与什么公式类似？

〔教师引导学生进行，或小组协作研究〕

与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作

高就行了．这样比照，帮助学生记忆公式．实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分

点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角

形面积和的极限．要让学生在理解的根底上记住公式．

〔四〕应用

练习：

1、扇形的圆心角为120°

，半径为2，那么这个扇形的面积，S扇=____．

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初中数学教案文讯教育教学设计2、扇形面积为，圆心角为120°

，那么这个扇形的半径R=____．

3、半径为2的扇形，面积为，那么它的圆心角的度数=____．

4、半径为2cm的扇形，其弧长为，那么这个扇形的面积，S扇=____．

5、半径为2的扇形，面积为，那么这个扇形的弧长=____．

〔，2，120°

，，〕

例1、正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．学生独立完成，对根底较差的学生教师指导

〔1〕怎样求圆环的面积？

〔2〕如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，R、r与边长a有什么联系？

解：

设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S?

、S?

．

S=．

∵，∴S=．

说明：

要注意整体代入．

对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究．

课堂练习：

教材P181练习中2、4题．

〔五〕总结

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初中数学教案文讯教育教学设计知识：

扇形及扇形面积公式S扇形=，S扇形=lR．

方法能力：

迁移能力，比照方法；

计算能力的培养．

〔六〕作业教材P181练习1、3；

P187中10．

（二）

1、在复习稳固圆面积、扇形面积的计算的根底上，会计算弓形面积；

2、培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；

3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点．

对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立．

〔一〕概念与认识

弓形：

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

弦AB把圆分成两局部，这两局部都是弓形．弓形是一个最简单的组合图形之一．〔二〕弓形的面积

怎样求弓形的面积呢？

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初中数学教案文讯教育教学设计学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：

1〕当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；

2〕当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；

3〕当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半．

理解：

如果组成弓形的弧是半圆，那么此弓形面积是圆面积的一半；

如果组成弓形的弧是

劣弧那么它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；

如果组成弓形的弧是优弧，

那么它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积．也就是说：

要计算弓形的面积，

首先观察它的弧属于半圆？

劣弧？

优弧？

只有对它分解正确才能保证计算结果的正确．

〔三〕应用与反思

如果弓形的弧所对的圆心角为60°

，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于

_____；

如果弓形的弧所对的圆心角为300°

_____．

〔学生独立完成，稳固新知识〕

例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是，其中水面高是．求截面上有水

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初中数学教案文讯教育教学设计的弓形的面积．（精确到0.01m2）

教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：

1〕“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是〞为你提供了什么数学信息？

2〕求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？

3〕扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？

学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法．

反思：

①要注重题目的信息，处理信息；

②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条

件特征，灵活应用公式；

③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和

或差来解决．

例4、：

⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作．求与围成的新月牙形ACED的面积S．

∵，

有∵，

，

∴．

组织学生反思解题方法：

图形的分解与组合；

公式的灵活应用．

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初中数学教案文讯教育教学设计〔四〕总结

1、弓形面积的计算：

首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；

2、应用弓形面积解决实际问题；

3、分解简单组合图形为规那么圆形的和与差．

〔五〕作业教材P183练习2；

P188中12．

（三）

1、掌握简单组合图形分解和面积的求法；

2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能

力；

3、渗透图形的外在美和内在关系．

简单组合图形的分解．

对图形的分解和组合．

〔一〕知识回忆

复习提问：

1、圆面积公式是什么？

2、扇形面积公式是什么？

如何选择公式？

3、当弓形

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初中数学教案文讯教育教学设计的弧是半圆时，其面积等于什么？

4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？

5、当弓形的弧

是优弧时，其面积怎样求？

〔二〕简单图形的分解和组合

1、图形的组合

让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣，促进学生的创造力．

2、提出问题：

正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形

（阴影局部）的面积．

以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法，教师组织．给学生开展思维的空间，充

分发挥学生的主体作用．

归纳交流结论：

方案1．S阴=S正方形-4S空白．

方案2、S阴=4S瓣=4（S半圆-S△AOB）

=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD

方案3、S阴=4S瓣=4（S半圆-S正方形AEOF）

=2S圆-4S正方形AEOF=2S圆-S正方形ABCD

方案4、S阴=4S半圆-S正方形ABCD

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初中数学教案文讯教育教学设计⋯⋯⋯⋯⋯

①形的分解不同，解的易程度不同，解中要真察形，追求最美

的解法；

②形的美也存在着内在的律．

1：

如，的半径r，分以周上三个等分点心，以r半径画弧，

阴影局部面是多少?

分析：

OA，阴影局部可以看成由六个相同的弓形AmO成．

AO，P其中一个三等分点，

PA、PO，△POA是等三角形．

∴

明：

①形的分解与重新合是重要方法；

②本可以用下面方法求：

假设AB，

用六个弓形APB的面减去⊙O面，也可得到阴影局部的面．

2：

教材P185第1

例5、⊙O的半径R．

〔1〕求⊙O的内接正三角形、正六形、正十二形的周与⊙O直径〔2R〕的比；

〔2〕求⊙O的内接正三角形、正六形、正十二形的面与面的比（保存两位

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初中数学教案文讯教育教学设计小数）．

例5的计算量较大，老师引导学生完成．并进一步稳固正多边形的计算知识，提高学生的计算能力．

从例5

（1）可以看出：

正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关．实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周

长，从而求得了π的各种近似值．从

（2）可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积

〔三〕总结

1、简单组合图形的分解；

2、进一步稳固了正多边形的计算以，稳固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面

积的计算．

3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理．

〔四〕作业教材P185练习2、3；

P187中8、11．

探究活动四瓣花形

在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花〞

图形，如图

（1）所示．

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初中数学教案文讯教育教学设计再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形〞，如图（12）

所示．

探讨：

〔1〕两图中的圆弧均被互分为三等份．

2〕两朵“花〞是相似图形．

3〕试求两“花〞面积

提示：

分析与解

（1）如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°

从而，∠ADP=30°

同理∠CDQ=30°

．故∠ADP=∠CDQ=30°

，即，P、Q是AC弧的三等分点．

由对称性知，四段弧均被三等分．

如果证明了结论

（2），那么图（12）也得相同结论．

如图〔22〕所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图

（1）的缩影．显

然两“花〞是相似图形；

其相似比是AB﹕EF=﹕1．

（3）花形的面积为：

，．

XX文讯教育机构WenXunEducationalInstitution

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