因式分解公式法十字相乘法教师版Word格式.docx
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已知多项式2x'
-x2+m有一个因式是2x+1，求m的值。
由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出
解：
根据已知条件，设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）
则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
由
（1）得a=—1把a
-1代入
（2），得b=1把b=丄代入（3），得m=丄
222
3.在几何题中的应用。
已知a、b、c是AABC的三条边，且满足a2+b2+c2—ab—be-ac=0，试判断iABC的形状。
因为题中有a2、b2、-ab，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab转成-2ab。
所以两边同乘以2，然后拆开搭配得
完全平方公式之和为0,从而得解。
丁a2+b2+C2—ab—be—ac=0
/.2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
/.（a2-2ab+b2）+（b2_2bc+c2）+（c2-2ac+a2）=0
/.（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
打（a-b）2>
0，（b-c）2>
0,（c-a）2>
a—b=0，b—c=0，c—a=0
/.AABC为等边三角形。
4.在代数证明题中应用
两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
设这两个连续奇数分别为2n+1，2n+3（n为整数）
则（2n+3）2-（2n+1）2
=（2n+3+2n+1）（2n+3-2n-1）
=2（4n+4）
=8（n+1）
由此可见，（2n+3）2—（2n+1）2一定是8的倍数。
5、中考点拨:
例1：
因式分解：
X3—4xy2
x'
_4xy2=x（x2_4y2）=X（x+2y）（x_2y）
因式分解时，先看有没有公因式。
此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
例2：
分解因式：
2x'
y+8x2y2+8xy'
解:
2x'
y+8x2y2+8xy'
=2xy（x2+4xy+4y2）=2xy（x+2y）2
先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示:
111222
例1.已知：
a=_m+1,b=_m+2,c=_m+3,求a2+2ab+b2-2ac+c2-2bc的值。
a2+2ab+b2-2ac+c2-2bc=（a+b）2-2c（a+b）+c2=（a+b-c）2
111
「a=-m+1b=-m+2c=-m+3
二原式=（a+b-c）2
Um+i）Vm+2）dmT2
[222J
本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。
例2.已知a+b+c=0,a'
+b^c^0,求证：
a'
+b'
+c'
=0
+C2-ab_be-ca）
证明：
丁a'
+b'
+c'
_3abc=（a+b+c）（a2+b2
”■.把a+b+c=O,a’+b'
=0代入上式,
可得abc=0，即a=0或b=0或c=0
若a=0，则b=-c，”■.a'
+b'
+c=0
若b=0或c=0,同理也有a'
=0
利用补充公式确定a，b，c的值，命题得证。
•••x+y=3,x2+2xy+y2=9
（1）
按常规需求出x，y的值，此路行不通。
用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
【实战模拟】
把a+2,3a-1看成整体，利用平方差公式分解。
Ta2
=（a+b+c）（a-b-c）
Ta，b，c是三角形三边a+b+cA0且acb+c二（a+b+c）（a-b-c）<
0即a2—b2—c2—2bc<
0
a3+b3+c3_3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-be-ca）
故需考虑a+b+c-ab-bc-ca值的情况,
（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。
（1）寫a3+b3+C3=3abc「.a3+b3+c3-3abc=0
333222
又丁a+b+c—3abc=（a+b+c）（a+b+c-ab—bc-ca）
”（a+b+c）（a2+b2+c2—ab-bc-ca）=0
+（C_a）]
222122
而a+b+c-ab-bc-ca=—[（a_b）+（b-c）
Va，b，c不全相等
QQQ
”a+b+c-ab—be—ca>
0a+b+c=0
”原式=^^[a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）]abc
而a+b+c=0，即a=-（b+c）
因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。
5、用十字相乘法把二次三项式分解因式
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
x+（a+b）x+ab=（X+aJx+b）进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积,
且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax+bx+c（a、b、c都是整数，且aH0）来说，如果存在四个整数ai，ci，a?
，C2满足aia^a，cic^c，
并且a1c^a2c^b，那么二次三项式ax2+bx+c即a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+qc?
可以分解为（a/'
i,a2x+c2卜这里要确定四个常数a1，c1，a2，c2，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
1.在方程、不等式中的应用
例1.已知：
X2—11x+24a0，求x的取值范围。
本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
/.（X-3JX-8）>
0「X—3>
丁x?
_llx+24A0
十x-3v0或化
jX-8>
0jX-8c0
”X或Xc3
例2.如果X-X+mx-2mx-2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。
应当把x4分成x2x2，而对于常数项-2，可能分解成（—1〃2，或者分解成（一2）咒1，由此分为两种情况进行讨论。
（0设原式分解为（X+ax—11x+bx+2），其中a、b为整数，去括号，得:
X4+（a+b）x3+x2+（2a-b卜-2
将它与原式的各项系数进行对比，得:
a+b=-1,m=1,2a-b=-2m
解得：
a=—1，b=0，m=1
此时，原式=（X2+2Jx2-X-1）
（2）设原式分解为（X2+CX-2）（x2+dx+1），其中C、d为整数，去括号，得:
X4+（c+dJx3-x2+（c-2d卜-2
要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
解—X-y-X2+2xy-y2+2=0
二（x2-2xy+y2）-（x-y）-2=0
二（X-y）2-（X-y）-2=0
二（x-y-2i（x-y+1）=0
二x—y-2=0或x-y+1=0又X+y=8
=0或rx-y.i=o
X+8Lx+y=8
例.证明：
若4x—y是7的倍数，其中x，y都是整数，则8x+10xy—3y是49的倍数。
要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
证明一：
8x2+10xy—3y2=（2x+3y]4x—y）
••2（2x+3y'
是7的倍数
又8x2+10xy-3y2=（2x+3y）（4x-y）
”（2x+12x-21mj（4x-4x+7m）=7m（14x-21m）=49m（2x-3m）
Tx，m是整数，•m（2x-3m）也是整数
所以，8x+10xy-3y是49的倍数。
4、中考点拨
例1.把4xy-5xy-9y分解因式的结果是
的,42厂22.2
4xy-5xy-9y
242
=y（4x-5x-9）
=y2（4x2-9i（x2+1）
=y2（x2+1）（2x+30-3）
多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。
例2.因式分解：
6x-7x—5=
6x2-7x-5=（2x+1I3x-5）
分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。
5、题型展示
例1.若X2
_y+mx+5y-6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（
X2-y2+mx+5y-6=（x+yj（x-y）+mx+5y-6
-6可分解成
（-2）x3或（—3）x2，因此，存在两种情况:
（1）
（2）x+y-3
x-y/、2
由
（1）可得：
故选择Co
对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积,的方法。
m=1，由
（1）可得：
m=—1
再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用
例2.已知：
a、b、c为互不相等的数，且满足（a-c）=4（b-aj（c-b卜
求证：
a-b=b-c
寫（a-c）=4（b-a）（c-b）
二（a-cj-4（b-a）（c-b）=0
”a-2ac+c-4bc+4ac-4ab+4b=0
”（a+cY-4b（a+c）+4b2=0
”（a+c-2b）=0
”a+c-2b=0
抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
例3.若X3+5x2+7X+a有一因式X中1。
求a，并将原式因式分解。
32
二亠X+5X+7x+a有一因式x+1二当x+1=0,即x=—1时
，X+5x+7x+a=0二a=3
X3+5x2+7x+3
322
=x+x+4x+4x+3x+3
=x2（x+1）+4x（x+1）+3x+1）
=（x+Bx2+4x+3）
=（x+14+1Kx+3）
=（x+1f（x+3）
由条件知，X=—1时多项式的值为零，代入求得a,再利用原式有一个因式是x+1，分解时尽量出现X+1，从而分解彻
底。
1.分解因式：
（1）a2b2+16ab+39
_2n._,nn中.2n七
（2）15x+7xy-4y
（3）（X2+3x）2-22（X2+3x）+72
2.
在多项式x+1,x+2,x+3,x2+2x-3,x2+2x-1,x2+2x+3
哪些是多项式
2422
（X+2x）-10（x+2x）+9的因式?
3.
已知多项式2x-X-13x+k有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。
4.
3x2+5xy-2y2+x+9y-4
5.
已知：
X+y=05，X+3y=12，求3x2+12xy+9y2的值。
【试题答案】
1.
（1）解：
原式=（ab）+16ab+39=（ab+3Jab+13）
（2）解:
原式=（3xn-yXj（5xn+4yn^）
（X2
（3）解:
原式=（x2+3x-4）（x2+3x-18）=（x+4j（x-1j（x+6i（x-3）
（X2+2x）-10（x2+2x）+9
=Rx2+2x）2-9]如2+2x）2_1]
=（x2+2x+3）（x2+2x-3）（x2+2x+1）（x2+2X-1）
=（x2+2x+3Jx+3Kx-1化+1）（X2+2x-1）
二其中x+1,x+3,X2+2x+3,x2+2x-1是多项式
422
+2x）-10（x2+2x）+9的因式。
先正确分解，再判断。
3.解：
设2x3-X2—13x+k=（2x+1Xx2+ax+b）
则2x3-x2-13x+k=2x3+（2a+1k2+（a+2b）x+b
pa+1=-1fa=-1
Ja+2b=-13解得：
'
b=-6[^=kk=-6
二k=-6且2x3-X2-13x-6=（2x-1）（x2-x-6）=（2x-1i（x-3i（x+2）
待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4.解：
简析：
由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。
设3x2+5xy-2y2+x+9y-4
=（3x-y+mix+2y+n）
=3x2+5xy-2y2+（m+3nk+（2m-n”+mn
m+3n=1
比较同类项系数，得：
$2m-n=9
[mn=-4
[im=422
4/.3x2+5xy-2y2+x+9y-4=（3x—y+4Zx-2y-1）
[n=-1
5.解：
3x2+12xy+9y2
=3（x+4xy+3y）
=3（x+yjx+3y）
打X+y=0.5,X+3y=12
二原式=3x0.5x12=1.8
用因式分解可简化计算。
初一数学上因式分解练习题精选一、填空：
（30分）
1、
2、
若X2+2（m-3）x+16是完全平方式，则m的值等于
X+x+m=（x-n）则m=n=
3、
2x3y2与12x6y的公因式是—
4、
若xm—yn=（X+y2）（X—y2）（x2+y4），贝寸m=n=.
5、
在多项式3y2•5y^15y5中，可以用平方差公式分解因式的
，其结果是
6、
若X2+2（m—3）x+16是完全平方式，则m=。
7、
X2+（■
）X+2=（x+2）（x+
m/m彳丄丄2.....2004.2005c«
2006
已知1+X+x++x+x=0,则X=
10、
X2+6x+（_）=（x+3）2,X2+（）+9=（x—3）2
11、若9x+k+y是完全平方式，则k=
12、若X+4x-4的值为0,则3x+12x-5的值是
13、若X2—ax—15=（x+1）（x—15）则a=
14、若x+y=4,X+y=6则xy=
[5、方程x?
+4x=0，的解是
二、选择题：
（10分）
1、多项式一a（a-x）（x—b）+ab（a-x）（b-X）的公因式是（）
A、—a、B、_a（a-x）（x-b）c、a（a-x）d、一a（x-a）
2、若mx2+kx+9=（2x—3）2，则m,k的值分别是（）
A、m2,k=6,B、m=2,k=12,Cm4,k=12、Dm=4,k=12、
中能用平方差公
3、下列名式：
x2-y2,—X2+y2,—x2-y2,（-x）2+（-yf’x4-y4
式分解因式的有（
A、1个，B、2个，C3个，D4个
4、计算（1-2）（1-2厂・（1-丄）（1-」7）的值是（）
239102
—,C.—,D.11
2010
20
（30分）
X4-2x3-35x2
3x6
-3x2
25（x-2y）
-4（2y-X）4、
-4xy-1+4y2
X5—X
-1
、ax2-bx2-bx+ax+b-a
、X4—18x2+81
9、9x4-36y2
10
、（X+1）（x+2）（x+3）（x+4）-24
四、
代数式求值（15分）
1
已知2x—y=-,
3
xy
=2，求
4334
2xy-Xy的值。
若x、y互为相反数,
且（x+2）2
—（y+1）=4，求X、y的值
已知a+b=2，求（a2-b2）2-8（a2+b2）的值
五、计算：
（15）
六、试说明：
（8分）
2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。
七、利用分解因式计算（8分）
1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。
（结果保留两位有效数字）2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。
八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述:
甲：
这是一个三次四项式乙：
三次项系数为1，常数项为1。
丙：
这个多项式前三项有公因式
4分）
丁：
这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。
（
《第6章因式分解》2010年单元检测题（答案）答案与评分标准
考点：
因式分解的意义。
根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个单项式因式分解，逐一进行判断即可得正确的答案.
解答：
AD中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解；
B、不是在整式范围内进行的分解，不属于因式分解；
C、运用完全平方公式进行的因式分解.
故选C.
点评：
注意因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式.
2、下列各式从左到右的变形错误的是（）
D—m+n=—（m+r）
A、（y-x）2=（x—y）2B-a-b=—（a+b）C（a-b）3=—（b-a）3
因式分解-提公因式法；
去括号与添括号；
分析：
根据互为相反数的偶次方相等，奇次方互为相反数；
添括号法则，对各选项分析判断后利用排除法求解.
A（y—x）2=（x—y）2,正确；
B、—a—b=—（a+b），正确；
C、（a—b）3=—（b—a）3,正确；
D、-m+n=-（m—n）而不是-（m+r），故本选项错误；
故选D.
主要考查互为相反数的乘方与添括号法则，为因式分解作铺垫.
B、3ay—3ay+3y=3y（a—a+1）
D、ab+5ab—b=b（a+5a）
3、下列各式分解正确的是（）
A12xyz—9xy=3xyz（4—3xy）
C-x2+xy—xz=—x（x+y—z）
因式分解-提公因式法。
用提取公因式法分解因式，首先要正确确定公因式；
其次，要注意提取公因式后代数式的形式和符号.
A应为12xyz—9x2y2=3xy（4z—3xy）;
故本选项错误.
B、3a2y—3ay+3y=3y（a2—a+1）;
正确.
C、应为-x2+xy—xz=—x（x—y+z）;
D应为a2b+5ab—b=b（a2+5a-1）；
故选B.
•••平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式,X2-y两平方项符号相反，可以利用平方差公式；
-X2-y2,两平方项符号相同，不能运用平方差公式；
4X2-y虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；
-4+X2,两平方项符号相反，可以利用平方差公式.
（1）（4）能用平方差公式分解.
（2）
（3）
（4）
所以
C.
故选
主要考查了平方差公式的特点，只要抓住平方差公式的特点：
两平方项，符号相反，熟记公式结构特点是解题的关键.
9、若a+b=7，ab=10,_则ab+ab2的值应是（）
=2003.
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本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，提取公因式2003
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