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时，随yyxxh,xh,h～0，，a,0向下X=h的增大而增大;
时，有最大值（yxxh,0
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24.的性质:
yaxhk,,，，，
时，随yyxxh,xh,hk～，，a,0向上X=h的增大而减小;
时，有最小值（yxxh,k
时，随yyxxh,xh,hk～，，a,0向下X=h的增大而增大;
时，有最大值（yxxh,k
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
2方法一:
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标;
hk～yaxhk,,，，，，，
2?
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下:
hk～yax,，，
向上（k>
0）
【或向下（k<
0）】平移|k|个单位22y=axy=ax+k
向右（h>
【或左（h<
0）】向右（h>
0）】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上（k>
【或下（k<
0）】
平移|k|个单位
22y=a（x-h）+ky=a（x-h）向上（k>
0）】平移|k|个单位
2.平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移;
值正上移，负下移”（hk
概括成八个字“左加右减，上加下减”（
方法二:
22?
沿轴平移:
向上（下）平移个单位，变成yy,ax，bx，cmy,ax，bx，c
22（或）y,ax，bx，c，my,ax，bx，c,m
向左（右）平移个单位，变成y,ax，bx，cmy,ax，bx，c
22（或）y,a（x，m），b（x，m），cy,a（x,m），b（x,m），c
22四、二次函数与的比较yaxhk,,，yaxbxc,，，，，
22从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前yaxhk,,，yaxbxc,，，，，
222bacb4,bacb4,,,者，即，其中（yax,，，hk,,,～,,24aa24aa,,
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2五、二次函数图象的画法yaxbxc,，，
22五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、yaxbxc,，，yaxhk,,，（）
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与轴y
、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴的交点0～c0～c2hc，x～0x～0xx，，，，，，，，，，12
没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点:
开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.yx
2六、二次函数的性质yaxbxc,，，
2,,bbacb4,1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为（x,,,～a,0,,2a24aa,,
bbb当时，随的增大而减小;
当时，随的增大而增大;
当时，有最小x,,yx,,yx,,yxx2a2a2a
24acb,值（4a
2,,bbacb4,b2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为（当时，随x,,x,,y,～a,0,,2a2a24aa,,
2bb4acb,的增大而增大;
当时，随的增大而减小;
当时，有最大值（x,,yx,,yxx2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
21.一般式:
（，，为常数，）;
yaxbxc,，，acba,0
22.顶点式:
yaxhk,,，（）ahka,0
3.两根式:
（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.yaxxxx,,,（）（）xxxa,01212
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
2有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（二次函数解析式xbac,,40
的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
2二次函数中，作为二次项系数，显然（yaxbxc,，，aa,0
当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大;
aaa,0
当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大（aaa,0
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小（aaa
2.一次项系数b
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴（ab
在的前提下，a,0
b当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧;
y,,0b,02a
b当时，，即抛物线的对称轴就是y轴;
,0b,02a
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b当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（y,,0b,02a
在的前提下，结论刚好与上述相反，即a,0
b当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧;
b当时，，即抛物线的对称轴就是轴;
b当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（y,,0b,02a
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置（ab
b的符号的判定:
对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是x,,yyabab,0ab,02a
“左同右异”
总结:
3.常数项c
当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
yyxc,0
当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为;
yyc,00
当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负（yyxc,0
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置（yc
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的（abc～～
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法（用待定系数法求二次函数的解析式必须根
据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便（一般来说，有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式;
3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式;
x
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.关于轴对称x
22关于轴对称后，得到的解析式是;
yaxbxc,，，yaxbxc,,,,x
22关于轴对称后，得到的解析式是;
yaxhk,,,,yaxhk,,，x，，，，
2.关于轴对称y
yyaxbxc,，，yaxbxc,,，
yyaxhk,,，yaxhk,，，，，，，
3.关于原点对称
22关于原点对称后，得到的解析式是;
yaxbxc,，，yaxbxc,,，,
yaxhk,,，yaxhk,,，,，，，，
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4.关于顶点对称（即:
抛物线绕顶点旋转180?
）
2b22关于顶点对称后，得到的解析式是;
yaxbxc,,,，,yaxbxc,，，2a
22关于顶点对称后，得到的解析式是（yaxhk,,，yaxhk,,,，，，，，
5.关于点对称mn～，，
22关于点对称后，得到的解析式是mn～yaxhmnk,,，,，,22yaxhk,,，，，，，，，
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变（求a抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式（
十、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）:
22一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.y,0yaxbxc,，，axbxc，，,0
图象与轴的交点个数:
当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次AxBx，，，00xx，（）xx,,,,,bac40x，，，，121212
2bac,42方程的两根（这两点间的距离.axbxca，，,,00ABxx,,,，，21a
当时，图象与轴只有一个交点;
x,,0
当时，图象与轴没有交点.x,,0
1'
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有;
y,0xxa,0
2'
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有（y,0xxa,0
22.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，;
y（0c）yaxbxc,，，
3.二次函数常用解题方法总结:
求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程;
求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号yaxbxc,，，acacbb
判断图象的位置，要数形结合;
二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一x
个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数;
axbxca，，,（0）x下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
a,0
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,0抛物线与轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根x
两个交点可零、可负
,0轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与x
有一个交点
,0轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.抛物线与x
交点
二次函数图像参考:
2y=3（x+4）22y=2xy=3x2y=3（x-2）2y=x22y=2xy=2（x-4）
2xy=22y=2（x-4）-3
y=2x2+2
2y=2x
2y=2x-4
2xy=-2
22y=-xy=-2（x+3）2y=-2（x-3）2y=-2x2y=-2x
十一、函数的应用
刹车距离,
二次函数应用何时获得最大利润,
最大面积是多少,
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二次函数考查重点与常见题型
1（考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:
22已知以为自变量的二次函数的图像经过原点，则的值是xy,（m,2）x，m,m,2m
2（综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查
两个函数的图像，试题类型为选择题，如:
2如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（）y,kx，by,kx，bx,1
yyyy
11
0xo-1x0x0-1x
ABCD
3（考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选
拔性的综合题，如:
5已知一条抛物线经过（0,3），（4,6）两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。
x,3
4（考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如:
32已知抛物线（a?
0）与x轴的两个交点的横坐标是,1、3，与y轴交点的纵坐标是,yaxbxc,，，2
（1）确定抛物线的解析式;
（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5（考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
c2例1
（1）二次函数的图像如图1，则点在（）yaxbxc,，，M（b,）a
A（第一象限B（第二象限C（第三象限D（第四象限2
（2）已知二次函数y=ax+bx+c（a?
0）的图象如图2所示，•则下列结论:
a、b同号;
当x=1和x=3时，函数值相等;
4a+b=0;
当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）
A（1个B（2个C（3个D（4个
（1）
（2）
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键（
2例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点（-2，O）、（x，0），且1<
x<
2，与y轴的正半轴的交11
点在点（O，2）的下方（下列结论:
a<
b<
0;
2a+c>
O;
4a+c<
2a-b+1>
O，其中正确结论的个数为（）
A1个B.2个C.3个D（4个
答案:
D
会用待定系数法求二次函数解析式
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22例3.已知:
关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）
A（2，-3）B.（2，1）C（2，3）D（（3，2）
C
例4、如图（单位:
m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合（设2x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym（
（1）写出y与x的关系式;
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少,
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间,求抛物线顶点坐标、
对称轴.
152例5、已知抛物线y=x+x-（22
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长（
【点评】本题
（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第
（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系（
12例6、“已知函数的图象经过点A（c，,2），y,x，bx，c2
求证:
这个二次函数图象的对称轴是x=3。
”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式,若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象;
若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评:
对于第
（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，,2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。
对于第
（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第
（1）小题中的解析式就可以了。
而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
12[解答]
（1）根据的图象经过点A（c，,2），图象的对称轴是x=3，y,x，bx，c2
1,2cbcc，，,,2,,2,得b,,,3,,12,,2,
b,,3,,解得,c,2.,
12所以所求二次函数解析式为图象如图所示。
y,x,3x，2.2
12
（2）在解析式中令y=0，得，解得x,3，5,x,3,5.x,3x，2,0122
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所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是5,0）
（3,5,0）.
5令x=3代入解析式，得y,,,2
152所以抛物线的顶点坐标为y,x,3x，2（3,,）,22
5所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。
（3,,）2
函数主要关注:
通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征;
借助多种现实背景理解函数;
将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;
渗透函数的思想;
关注函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1（试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积（
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力（同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间（
与产品的日销售量y（件）之间的关系例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•
如下表:
x（元）152030„
y（件）252010„
若日销售量y是销售价x的一次函数（
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式;
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元,•此时每日销售利润是多少元,
1525,kb，,,【解析】
（1）设此一次函数表达式为y=kx+b（则解得k=-1，b=40，•即一次函数表达,220kb，,,
式为y=-x+40（
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元22w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225（
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元（
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点:
（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数;
（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程（
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二次函数对应练习试题一、选择题
21.二次函数的顶点坐标是（）yxx,,,47
A.（2,,11）B.（,2，7）C.（2，11）D.（2，,3）
22.把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（）yx,,2
2222A.B.C.D.yx,,，2
（1）yx,,,2
（1）yx,,，21yx,,,21
k23.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的（）ykxk,,yk,,（0）x
24.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:
?
a,b同号;
yaxbxca,，，,（0）
当和时,函数值相等;
当时,的值只能取0.其中正y,,2xx,1x,340ab，,
确的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
25.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图）,yaxbxca,，，,（0）
2由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是xx,,1.3和xaxbxc，，,012（）
（,,.,B.-2.3C.-0.3D.-3.3
26.已知二次函数的图象如图所示，则点在（）yaxbxc,，，（,）acbc
A（第一象限B（第二象限
C（第三象限D（第四象限
227.方程的正根的个数为（）2xx,,x
A.0个B.1个C.2个.3个8.已知抛物线过点A（2,0）,B（-1,0）,与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为y
22A.B.yxx,,,2yxx,,，，2
2222C.或D.或yxx,,,2yxx,,，，2yxx,,,,2yxx,，，2
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二、填空题
29（二次函数的对称轴是，则_______。
yxbx,，，3x,2b,
10（已知抛物线y=-2（x+3）?
+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.
x11（一个函数具有下列性质:
图象过点（,1，2），?
当,0时，函数值随自变量的增大而增大;
yx满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。
212（抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的ykx,,，3yx,,,2
（2）6
三角形面积为。
2213.二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位yxx,,,241yxbxc,，，2
得到的,则b=,c=。
14（如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（π取3.14）.
三、解答题:
515.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过（1,-6）,且与轴的交点为（0,）.yx，,30,2
（1）求这个二次函数的解析式;
（2）当x为何值时,这个函数的函数值为0?
（3）当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?
y
第15题图
1216.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式（0<
t?
2），其中重hvtgt,,02
2力加速度g以10米/秒计算（这种爆竹点燃后以v=20米/秒的初速度上升，0
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米,
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.
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217.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交yx,,3yxbxc,，,
点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.x
（1）求此抛物线的解析式;
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使:
5:
4的点PSS,,APC,ACD
的坐标。
18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）（当每吨售价为260元时，月销售量为45吨（该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销（经市场调查发现:
当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨（综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元（设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）（
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量;
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