三元一次方程组 公开课教案Word文档格式.docx

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②未知数的次数；

③未知数同时满足三个等量关系,

三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.

目的：

通过第1个活动，希望学生能找出等量关系，设出未知数建立方程，此环节既是学习了二元一次方程组后对建立方程组基本方法的练习，也通过类比引出本节课的要解决的问题——解三元一次方程组.

教学要求与效果：

通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题，强调审题抓住的三个等量关系，从而表示成以上三个方程，这个问题的解答必须同时满足这三个条件，因此，把这三个方程联立起来，成为

，引出三元一次方程组的概念.

第二环节：

类比学习，探究新知

引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法（代入消元、加减消元），尝试对

进行消元，从而解决问题1.

步骤

（1）选取一种方法解此三元一次方程组，由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达.

步骤

（2）在学生独立选择方法解决的基础上，引导学生进行比较：

在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同？

解上面的方程组时，你能先消去未知数y（或z），从而得到方程组的解吗？

（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点）

1.三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行；

2.用代入消元法：

由于方程组③式的特点，可将③式分别代入①②式，消去x，从而转化为关于y，z的二元一次方程组的求解；

3.用加减消元法：

由于③式中没有含z，可以将①，②式联立相加，消掉z，从而得到关于x，y的二元一次方程组的求解；

4.总结求解三元一次方程组的整体

思路——消元，实现三元二元一元的转化.在消元过程中，消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也可，但如果选择合适，可提高计算的效率.

结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路——消元，并找出相应的消元方法.

（1）教师板书用代入法消元的求解过程，强调解题的格式.求解完后引导学生总结三元一次方程组的求解思路：

三元二元一元，关键在于消元；

（2）引导学生类比一元二次方程组加减消元法对方程组进行消元.

第三环节：

理解巩固

解方程

（1）

（2）

方程组

（1）是在课本例1的基础上，改变系数所得，因为本题的意图是让学生模仿老师的做法自行操作的第一题，所以尽量让各项系数简单一些，让学生练习感觉愉悦一些.方程组

（2）的三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组，和学生一起探求出解决的整体思路.然后让学生自行求解，使其进一步理解三元一次方程组的求解方法，培养计算能力.

（1）引导学生观察方程组

（2）的特点，此方程组与

前面不一样，三个方程都不缺“谁”，消谁好，用什么方法消？

（2）通过对

（1）

（2）的对比，引导学生总结出消元的具体做法是：

①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时

，如果方程组中

有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个.

（3）在前面例题和练习的基础上，对本课解过的三个方程组进行比较，谈谈解决的方法.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现三元二元一元的转化.在消元过程中，消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也可，但如果选择合适，可提高计算的效率.具体做法是：

①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时，如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个.③用加减消元时，如果方程组中三个方程均含有三个未知数，通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组.

第四环节

：

实际应用

某校初中三个年级共有651人，八年级的学生

比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级多5%，求三个年级各有多少学生？

解：

由题意设七，八，九年级的学生人数分别为x,y,z人，得方程：

由②可将z用y表示，由③可将x用y表示，代入①可得到关于y的一元一次方程.

解得：

所以，七，八，九年级的学生人数分别为231,220,200人.

运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.本环节回归用三元

一次方程组解决实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．

放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：

发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.

第五环节：

课堂小结

（1）三元一次方程组的概念；

三元

一次方程组

二元

一元

一次方程

消元

（2）三元一次方程组的解法；

注意选好要消的“元”，选好要消的“法”：

代入消元、加减消元；

（3）谈谈求解多元一次方程组的思路，提炼化归的思想.

引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课

知识系统化，感性认识上升为理性认识.

学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识，教师视其情况，可以选择展示一些前面小节中用过问题情境和实际问题对学生的总结从知识、方法和思想层面去总结和提高，让学生体会到数学与生活的联系，激发学生的学习热情．

第六环节：

布置作业；

1.课本习题5.9

2.有同学说列三元一次方程组能解决的问题，一元一次方程也能解决，说一下你的看法.

课后作业设计包括了两个层面：

作业1是为了巩固基础知识而设计；

作业2是为了扩展学生的知识面；

拓广知识，增加学生对数学问题本质的思考而设计，通过此题可让学生进一步运用三元一次方程组解决问题．

教学设计反思

1.本节课的内容属于选修学习的内容，主要突出对数学兴趣浓厚、学有余力的同学进一步探究和拓展使用，在数学方法和思想方面需重点引导，通过引导，使学生明白解多元方

程组的一般方法和思想，理解巩固环节需多注意多种解题方法的引导，并且比较各种解题方法之间的优劣，总结出解多元方程的基本方法.

2.作为选修课，在内容上要让学生理解三元一次方程组概念的同时，要让学生理解为什么要用三元一次方程组甚至多元方程组去求解实际问题的必要性，从而掌握本堂课的基础知识．在教学的过程中，要让学生充分理解对复杂的实际问题方程中元越多，等量关系的建立就越直接；

充分理解代入消元法和加减法解方程的优点和缺点，有关这一方面的题目要让学生充分讨论、交流、合作，其理解才会深刻．4．4　一次函数的应用

第1课时　确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；

（重点）

2．会确定一次函数的表达式．（重点）

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？

你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？

学习了本节的内容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：

确定正比例函数的表达式

求正比例函数y＝（m－4）m2－15的表达式．

解析：

本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．

由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：

利用正比例函数的定义确定表达式：

自变量的指数为1，系数不为0.

探究点二：

确定一次函数的表达式

【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，求一次函数的表达式．

先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，所以当x＝0时，y＝5；

当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，

∴

解得

∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.

“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A（4，3），B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

根据A（4，3）可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A（4，3）是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝

，即正比例函数的表达式为y＝

x.∵OA＝

＝5，且OA＝2OB，∴OB＝

.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点的坐标为（0，－

）．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－

＝b，代入3＝4k2＋b中，得k2＝

.∴一次函数的表达式为y2＝

x－

.

根据图象确定一次函数的表达式的方法：

从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．

【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y（元）与数量x（千克）的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.

数量x/千克

售价y/元

1

8＋0.4

2

16＋0.8

3

24＋1.2

4

32＋1.6

5

40＋2.0

　　…

从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

由表中信息，得y＝（8＋0.4）x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×

2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

确定一次函数表达式

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；

经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．

2．2　平方根

第1课时　算术平方根

1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；

2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；

3．了解算术平方根的性质．（难点）

上一节课我们做过：

由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大正方形，那么有a2＝2，a＝________，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2＝a，则a叫做x的平方，反过来x叫做a的什么呢？

算术平方根的概念

【类型一】求一个数的算术平方根

求下列各数的算术平方根：

（1）64；

（2）2

（3）0.36；

（4）

根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．

（1）∵82＝64，∴64的算术平方根是8；

（2）∵（

）2＝

＝2

，∴2

的算术平方根是

（3）∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；

（4）∵

＝

，又92＝81，∴

＝9，而32＝9，∴

的算术平方根是3.

（1）求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求

与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．

（2）求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．

【类型二】利用算术平方根的定义求值

3＋a的算术平方根是5，求a的值．

先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.

因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.

已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．

算术平方根的性质

【类型一】含算术平方根式子的运算

计算：

＋

－

首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．

＝7＋5－15＝－3.

解题时容易出现如

的错误．

【类型二】算术平方根的非负性

已知x，y为有理数，且

＋3（y－2）2＝0，求x－y的值．

算术平方根和完全平方式都具有非负性，即

≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．

由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.

算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即

≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.

算术平方根

让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：

讲清概念，加强训练，逐步深化．

4．4　一次函数的应用