70不等式测试.docx

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70不等式测试

单元检测七　不等式

（时间:

120分钟　满分:

150分）

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是（　　）.

A.b-a>0B.a3+b3<0

C.a2-b2<0D.b+a>0

2.已知a,b为非零实数且a

A.a2a2b

C.

3.已知+=1（x>0,y>0）,则x+y的最小值为（　　）.

A.12B.14C.16D.18

4.已知集合P=,集合Q={x|x2+x-2≥0},则“x∈Q”是“x∈P”的（　　）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.关于x的不等式2x-1>a（x-2）的解集为R,则a的取值范围是（　　）.

A.（2,+∞）　B.{2}C.（-∞,2）　D.⌀

6.已知数列{an}为等差数列,数列{bn}是各项均为正数的等比数列,且公比q>1,若a2=b2,a2010=b2010,则a1006与b1006的大小关系是（　　）.

A.a1006=b1006B.a1006>b1006

C.a1006

7.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是（　　）.

A.（1,3]B.[2,3]

C.（1,2]D.[3,+∞）

8.函数f（x）=lg（x2-2x-3）的定义域是集合M,函数g（x）=的定义域是集合P,则P∪M等于（　　）.

A.（-∞,-1）∪[1,+∞）

B.（-∞,-3）∪[1,+∞）

C.（-3,+∞）

D.（-1,+∞）

9.已知a,b均为正数且a+b=1,则使+≥c恒成立的c的取值范围是（　　）.

A.c>1B.c≥0C.c≤9D.c<-1

10.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A（0,-1）和点B（t,3）的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是（　　）.

A.（-∞,-1）∪（1,+∞）

B.∪

C.（-∞,-2）∪（2,+∞）

D.（-∞,-）∪（,+∞）

二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分）

11.已知x,y,z>0,则的最大值为　　　　　. 

12.不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的范围是　　　　　. 

13.若任意a∈[1,3],使得不等式ax2+（a-2）x-2>0成立,则实数x的取值范围是　　　　　. 

14.若x>1,则函数y=x++的最小值为　　　　　. 

15.设x,y满足约束条件则z=（x+1）2+（y-2）2的最小值是　　　　　. 

三、解答题（本大题共6小题,共75分）

16.（12分）设a,b,c都大于0,求证:

++≥++.

17.（12分）已知不等式kx2-2x+6k<0（k≠0）.

（1）若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值;

（2）若不等式的解集为⌀,求k的取值范围.

18.（12分）某运输公司有7辆载重6t的A型卡车,4辆载重10t的B型卡车,有9名驾驶员.在建造某段高速公路中,公司承包了每天至少运输沥青360t的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型8次,B型6次,每天运输成本为A型160元,B型252元.每天应派出A型,B型车各多少辆,才能使公司成本最低?

19.（12分）已知不等式x2+px+1>2x+p.

（1）如果不等式当|p|≤2时恒成立,求x的范围;

（2）如果不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的范围.

20.（13分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕渔船,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益50万元.

（1）问第几年开始获利?

（2）若干年后,有两种处理方案:

①年平均获利最大时,以26万元出售该渔船;

②总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船.问哪种方案最合算?

21.（14分）已知f（x）是定义在[-1,1]上的奇函数,且f

（1）=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有>0.

（1）证明:

函数f（x）在[-1,1]上单调递增;

（2）解不等式:

f

（3）若f（x）≤m2-2pm+1对所有x∈[-1,1],p∈[-1,1]（p是常数）恒成立,求实数m的取值范围.

##

参考答案

一、选择题

1.D　解析:

方法一:

利用赋值法:

令a=1,b=0除排A,B,C,选D.

方法二:

∵a-|b|>0,∴a>|b|≥0,当b>0时,a>b>0,即a+b>0;当b<0时,a>-b,即a+b>0.故D正确.

2.C　解析:

若ab2,知A不成立.若可得a2b>ab2,知B不成立.

若a=1,b=2,则=2,=,有>,知D不成立.

3.D　解析:

根据已知可得x+y=（x+y）=10++≥10+2=18.

当且仅当=时取等号.故选D.

4.D　解析:

由题意得P={x|x<-1,或x>1},Q={x|x≤-2,或x≥1},集合P,Q之间不存在包含关系,所以“x∈Q”是“x∈P”的既不充分也不必要条件.

5.B　解析:

原不等式可化为（a-2）x<2a-1,

当a=2时,2a-1=3,不等式化为0<3恒成立.

∵不等式的解集为R,

∴a=2.

6.B　解析:

a1006=>==b1006.故选B.

7.A　解析:

平面区域D如图阴影部分所示.

要使指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,

∴1

8.A　解析:

M={x|x2-2x-3>0}={x|x>3,或x<-1},P={x|x≥1},

∴P∪M={x|x≥1,或x<-1}.

9.C　解析:

关键是求+的最小值,∵+=×（a+b）=5++≥5+2=9,∴c≤9.

10.D　解析:

由已知可得直线AB的方程为y=x-1,联立直线与抛物线方程,得消元整理,得2x2-x+1=0,由于直线与抛物线无公共点,即方程2x2-x+1=0无解,故有-8<0,解得t>或t<-.

二、填空题

11.　解析:

方法一:

∵y∈R+,∴u==,

可化为+-+1=0,

配方得+=-1.由上式可得-1≥0,即-≤u≤.∵x,y,z∈R+,由已知,显然有u>0,

∴0

方法二:

由已知,得u=.

∵x,y,z∈R+,且≤,

∴u≤≤=,当且仅当x=z且x2+z2=y2,即x=z=y时取等号.∴umax=.

12.[5,8）　解析:

的交点为（0,5）,的交点为（3,8）,

∴5≤a<8.

13.（-∞,-1）∪（2,+∞）　解析:

设f（a）=a（x2+x）-2x-2,任意f（a）在a∈[1,3]上满足f（a）>0.

∴

∴

综上,x>2或x<-1.

14.8　解析:

当x>1时,y=x++=x++≥2=2=8,当且仅当x=2+时,等号成立.

15.　解析:

作出约束条件的可行域如图,

z=（x+1）2+（y-2）2,可看作可行域内的点到定点A（-1,2）的距离的平方,其最小值为点A（-1,2）到直线x+2y+1=0的距离的平方,

∴zmin==.

三、解答题

16.证明:

原不等式可化为

≥++,

∵a,b∈R+,∴+≥2=≥.

同理,+≥,+≥.

∴

≥++,

即++≥++.

17.解:

（1）∵不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}.

∴k<0且x1=-3,x2=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根.

∴x1x2=6,x1+x2==-5.

∴k=-.

（2）由于k≠0,要使不等式解集为⌀,只需即解得k≥,

即k的取值范围是.

18.解:

设应派A型车x辆,B型车y辆,则约束条件为

即

目标函数z=160x+252y.

画出不等式表示的平面区域,如图阴影部分所示.

解得点A（7,0.4）.

作直线l:

40x+63y=0,把l向右上平移经过区域中A点时,z最小.

由题意知x,y必须都是整数,经过可行域内的整点且与原点距离最近的是直线40x+63y=343,经过的整点是（7,1）,

即当x=7,y=1时,总成本zmin=160×7+252×1=1372（元）,

此时运输沥青吨数为8×6×7+6×10×1=396.

答:

每天应派出A型车7辆,B型车1辆,总成本最低为1372元,并能运沥青396t.

19.解:

（1）原不等式为（x-1）p+（x-1）2>0,

令f（p）=（x-1）p+（x-1）2,

它是关于p的一次函数,

定义域为[-2,2],由一次函数的单调性知

解得x<-1或x>3.即x的取值范围是{x|x<-1,或x>3}.

（2）不等式可化为（x-1）p>-x2+2x-1,

∵2≤x≤4,∴x-1>0.

∴p>=1-x.

对x∈[2,4]恒成立,

所以p>（1-x）max.

当2≤x≤4时,（1-x）max=-1,于是p>-1.

故p的范围是{p|p>-1}.

20.解:

由题设知,每年的费用是以12为首项,4为公差的等差数列.

设纯收入与年数的关系为f（n）,

则f（n）=50n-[12+16+…+（8+4n）]-98=40n-2n2-98.

（1）由f（n）>0⇔n2-20n+49<0⇒10-

又∵n∈N,∴n=3,4,…,17.

即从第3年开始获利.

（2）①年平均收入为=40-2≤40-2×14=12（万元）.

当且仅当n=7时,年平均获利最大.

总收益为12×7+26=110（万元）.

②f（n）=-2（n-10）2+102.

∵当n=10时,f（n）max=102（万元）.

总收益为102+8=110（万元）,但7<10.

∴第一种方案更合算.

21.

（1）证明:

设-1≤x1

∵f（x）是定义在[-1,1]上的奇函数,

∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）.

又x10,

由题设有>0,

∴f（x2）+f（-x1）>0,即f（x2）>f（x1）.

∴函数f（x）在[-1,1]上是增函数.

（2）解:

由

（1）知f

⇔

⇔

⇔-≤x<-1.

∴不等式f

（3）解:

由

（1）知对于x∈[-1,1],f（x）max=f

（1）=1,

∴f（x）≤m2-2pm+1对任意x∈[-1,1]恒成立,只需1≤m2-2pm+1对p∈[-1,1]恒成立,即m2-2pm≥0对p∈[-1,1]恒成立.设g（p）=m2-2mp,

则⇔解得m≤-2或m≥2或m=0.

∴m的取值范围是（-∞,-2]∪[2,+∞）∪{0}.