高三数学上ty函数的单调性函数的极值函数的最大值和最小值.docx

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高三数学上ty函数的单调性函数的极值函数的最大值和最小值

一.教学内容：

函数的单调性、函数的极值、函数的最大值和最小值

二.本周教学重、难点：

1.函数的单调性

设函数在某个区间内可导

（1）如果时，则函数为增函数

（2）如果时，则函数为减函数

（3）如果恒有，则为常函数

2.函数的极值

（1）函数极值的概念

（2）判断是极值的方法

设函数在点及其附近可导，且=0

①如果的符号在点的左右由正变负，则为函数的极大值；

②如果的符号在点的左右由负变正，则为函数的极小值；

③如果的符号在点的左右符号不变，则不是函数的极值。

3.函数的最值

（1）函数最值的概念

（2）求在上最值的方法

①设是定义在区间上的函数，在内可导，求函数的最值，可分三步进行：

<1>求函数在内的极值；

<2>求函数在区间端点的函数值；

<3>将函数的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

②若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值，若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。

【典型例题】

[例1]讨论函数在内单调性。

解：

∵

由即∴

即函数在上单调递增

由即∴或

∴在（0，）上单调递减，在（）内也单调递减

[例2]设函数，其中，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数。

解：

∵∴

故当时，恒成立，即时，在上单调递减，又当时，在区间上存在两点，满足，即，所以函数在区间上不是单调函数。

[例3]已知函数（且）在定义域上是减函数，求的取值范围。

解：

∵

由得或

∵∴又由

∴∴

[例4]已知，且，设，问：

是否存在实数使在上是减函数，并且在上是增函数。

解：

由，得，得

∴是连续函数，

由在上是减函数，且在上是增函数

∴

∴，即存在实数使满足条件

[例5]设函数（其中）

（1）若在处取得极值，求常数的值；

（2）若在上为增函数，求的取值范围。

解：

（1）

∵在处取得极值∴

解得

经验证知当时，在处取得极值

（2）令得

当时，若则

∴在和上为增函数

故当时，在上为增函数

当时，若则

∴在和上为增函数，从而在上也为增函数

综上所述，当时，在上为增函数

[例6]已知为实数，，若在和上都是递增的，求的取值范围。

解法一：

∴

函数图象为开口向上且过点的抛物线

由条件得

即∴

即的取值范围是

解法二：

令，即

由求根公式得

可设，

∴在和上非负

由题设可知：

当或时

，从而

即

解不等式组得

∴的取值范围是

[例7]设，函数的最大值为1，最小值为，求的值。

解：

当变化时，变化情况列表如下：

－

↑

↓

↑

当时，取极大值，而

∴需要比较与的大小

∵∴最大值为

又

∴∴

∴

[例8]已知函数，若在上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

解：

由得或

∵在上

∴在上单调递增

∵在上

∴在上单调递减

因此和分别是在区间上的最大值和最小值

又∵∴解得

∴

即函数在区间上的最小值为

[例9]设函数，求正数的范围，使对任意的都有不等式成立。

解：

，令得

当时，

∴是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点

要使恒成立∴

∴

解得

【模拟试题】（答题时间：

30分钟）

一.选择题：

1.函数的单调递增区间为（）

A.B.C.D.及

2.若函数的递减区间为，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

3.函数的一个单调区间为（1，2），则（）

4.函数，已知在时取得极值，则等于（）

A.2B.3C.4D.5

5.函数有（）

A.极小值，极大值1B.极小值，极大值3

C.极小值，极大值2D.极小值，极大值3

6.函数在（0，1）内有极小值，则（）

A.B.C.D.

7.函数的最小值为（）

A.0B.C.D.

8.函数在区间上的最大值为（）

A.10B.C.D.

二.解答题：

1.确定下列函数在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数：

（1）；

（2）；

（3）。

2.求函数的极值。

3.如果函数在1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求的值。

【试题答案】

一.

1.D

解析：

由，得或

2.A3.C

4.D

解析：

。

5.D

解析：

，令，得

当时，，函数在这个区间为增函数

当或时，，函数为减函数

∴当时，有极小值；当时，有极大值3

6.A

解析：

由（因有极小值，故=0有解），得

且当时，

当时，

又∵在（0，1）内有极小值

∴∴

7.A

解析：

，令，得

又∴

8.A

解析：

。

由得或

∵，

，

∴的最大值为10

二.

1.解：

（1）令，解得

因此，当时，是增函数

再令，解得

因此，当时，是减函数

（2）

令，解得或

因此，当及时，是增函数

再令，解得

因此，当时，是减函数

（3）

令，解得

因此，当时，是增函数

再令，解得

又函数的定义域为，即

因此，不存在某一区间，使是减函数

2.解：

函数的定义域为

∵令得

当变化时，的变化情况如下表：

（1，2）

－

↑

↓

↑

故当时，

3.解：

，令

即，

∵是极值点

∴

又∴可疑点为

若

当变化时，的变化情况如下表：

（0，1）

－

↑

极大

↓

无极值

↓

极小

↑

由上表可知，当时，有极大值，当时，有极小值

∴

若，同理可得

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