等差数列的证明Word文档格式.docx
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数列？
若存在，用k分别表示一组P和r;
若不存在，请说明理由.
11*
9.已知数列｛an｝是首项为a1=-，公比q=-的等比数列.设g+2=3log1an（n忘N），数
447
列｛Cn｝满足q
bn'
bn+
数列｛bn｝成等差数列;
⑵求数列｛Cn｝的前n项和Sn.
10.已知数列｛aj满足a1=2,a卄=3an+3n*—2n（n亡N*）.
a_2n
3n
（1）设bn-^^—，证明：
数列幅｝为等差数列，并求数列＜aj的通项公式;
⑵求数列bn｝的前n项和Sn.
11.已知数列｛an｝中，当n32时，总有an=2an4+2n成立，且a^4.
（I）证明：
数列｛》｝是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式;
（n）求数列（a?
的前n项和Sn.
12.若数列｛an｝满足a1=a且a.厂（-1）nan=2n-1（其中a为常数），&
是数列©
｝的前n项和,数列｛bn｝满足bn=a2n.
（1）求印+a3的值;
（2）试判断｛bn｝是否为等差数列，并说明理由;
⑶求Sn（用a表示）.
13.设各项均为正数的数列｛a」的前n项和为Sn，已知a1=1，且（&
屮+心a.=（&
+1）令屮对一
切n壬N*都成立.
（1）若A=1，求数列｛an｝的通项公式;
（2）求A的值，使数列｛aj是等差数列.
14.已知正项数列｛an｝的首项a1=1，前n项和Sn满足a^JS?
+>
2）.
｛阎为等差数列，并求数列｛aj的通项公式;
⑵记数列｛」—｝的前n项和为Tn，若对任意的Tn，不等式4Tn<
a2-a恒成立，求实数a的
anan+
取值范围.
15.已知等差数列｛an｝的前三项依次为m、4、3m，前n项和为Sn，且Sk=110.
（1）求m及k的值;
⑵设数列b｝的通项bn，证明数列｛0｝是等差数列，并求其前n项和Tn.
2_2a-3
16.已知数列｛an｝满足：
a,=--，an+=二一（n忘N）.
33an+4
（I）证明数列｛^｝是等差数列，并求｛an｝的通项公式;
an+1
卄1
｛bn｝满足：
a1r，an+bn"
bn「1-an）（1+an）
（1）求biddb；
⑵设5=丄，求证数列｛q｝是等差数列，并求bn的通项公式;
bn-1
⑶设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+，不等式4aSneg恒成立时，求实数a的取值范围.
31
18.已知数列｛an｝满足d=-，an=2-——（n>
2），&
是数列｛bn｝的前n项和，且有
2an」
—1+口0.
2n
（1）证明：
数列｛^―｝为等差数列；
（2）求数列｛bn｝的通项公式;
an-1
⑶设Cn=—，记数列｛Cn｝的前n项和Tn，求证：
人<
1.bn
19.数列｛an｝，｛bn｝满足bn/；
2；
二:
汕皿）-
bn
（1）若｛bn｝是等差数列，求证：
｛an｝为等差数列；
⑵若an=2n，求数列｛J一｝的前n项和Sn.
（n-1）2+1
20.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a^?
S^n2a^n（^1）,^1,2,"
"
数列｛—'
Sn｝是等差数列，并求Sn；
n
⑵设bn=冬，求证：
1兰D+b2+|lilil+bn<
n2
21.已知数列｛an｝有a^p（常数P>
0），其前n项和为&
，满足&
=n（an~a1）（n忘N*）
（1）求数列｛an｝的首项ai，并判断｛an｝是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由;
⑵令Pn+邑，Tn是数列｛Pn｝的前n项和，求证：
「-2nv3.
Sn卡Sn卡
22.已知数列｛an｝是等差数列，Cn=an2-an半2（n壬N*）
（1）判断数列｛Cn｝是否是等差数列，并说明理由;
⑵如果ai+a3+ili+a25=130^2+a4+HI+a26=143-13k（k为常数）,试写出数列｛Cn｝的通项公式;
⑶在⑵的条件下，若数列｛Cn｝得前n项和为Sn，问是否存在这样的实数k，使Sn当且仅当
n=12时取得最大值。
若存在，求出k的取值范围；
若不存在，说明理由。
23.已知各项均为正数的数列｛an｝中，ai=1，&
是数列｛a.｝的前n项和，对任意n-N，有
2Sn=2an+an-1
231
函数f（x）=x+x，数列｛bn｝的首项b1=—，bn+=f（bn）——
24
11119
25.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,印=-且S^Snj+a.』+—，数列｛bn｝满足d=-——且
4--24
3bn-bnjL=n（n>
2且n亡N）.
（1）求｛an｝的通项公式;
⑵求证：
数列｛bn-an｝为等比数列；
⑶求｛bn｝前n项和.
26.设数列｛an｝的前n项积为「，且「=2-2an（n^N）.
（1）求证数列｛*｝是等差数列;
⑵设bn=（1-an）（1-an卅），求数列｛bn｝的前n项和Sn.
27.已知数列｛an｝是首项和公比均为-的等比数列，设bn+2=3ogian（n亡N*）数列｛Cn｝满足
44
Cn=anbn
（1）求证数列｛bn｝是等差数列;
n+1
-—Sn+n+1,n
⑵求数列｛Cn｝的前n项和Sn
28.数列｛an｝的前n项和为Sn,若务=3,&
和&
勺满足等式&
十二
（I）求S2的值;
（n）求证：
数列｛Sn｝是等差数列;
（W）设Cn=岛，求证：
C1+C2+…+Cn>
|0
29.已知数列｛an｝满足印=1，且an=2an丄+2n（n>
2,且n亡N*）
（1）求证：
数列｛少是等差数列;
⑶设数列｛an｝的前项之和S.，求证：
|>
2-3
30.在数列｛an｝中，ai=1,并且对于任意n-N*，都有a.^=—a^
2an+1
（1）证明数列｛—｝为等差数列，并求taj的通项公式;
an
⑵设数列的前n项和为Tn，求使得的最小正整数n.
试卷答案
1.答案：
见解析
分析：
（1）由an+bn二1，得bn=1-an,
依题意bn*
1-an
1
（1-an）（1+an）1+an
1一an
11
bn+—1bn一1111-an
1+an
-1
一―1,
anan
a^4,•D=|,宀一，
44d—1
•••数列｛-^｝是以-4为首项公差为
bn—1
的等差数列.
（2）由
（1）知-^=^+（n-1）（-1）=-n-3,bn—1
则bn八■^二
⑶Sn=a1a2+a2a3W+ana卄一+—+（n+3）（n+4）
11111111
=———十一一—十一=——=
4556n+3n+44n+44（n+4）
-laSn-bn=^-n^=（aj）n2+（3a—6）n—8
n+4n+3（n+3）（n+4）
依题意可知（aT）n+（3a-6）n-8v0恒成立,
令f（n）=（a-1n+（3a-6）n—8，
=1时f（n）=—3n—8c0恒成立,
>
1时，由二次函数性质知f（n）<
0不可能成立,
<
1时，此二次函数的对称轴为
X—3」（1_丄）“,
2（a-1）2a—1
f（n）在n^N上是单调递减,
•••要使f（n）v0对n亡N*恒成立,
必须且只须f（10
即4a—15<
0,
15
--a<
—，又a■<
1,
4
•••a<
1,
综上a<
1,4aSi兰bn
对于n亡N恒成立.
2.答案：
（I）因为an+=1-
4an，bn
2an-1
所以bn十—bn
4an
2an卅—12an—1
=2
2an-12an-1
所以，数列｛bn｝是等差数列,
首项为
所以bn=2+2（n-1）=2n,
所以
2an—1
=2n，解得
n中1
2n
（n）解得:
Cn
所以eg-n（n+2）
n+2
所以数列｛cncn^｝的前
n项和为
111
Tn=2[（1一严厂4「3
）+（2
=2（1
亠1
n+1n+2），
假设存在正整数m，使得Tn
所以2（1+-—
2x
（1）-12an-1
d=^^=2，公差为2,
2a^—1
-1n+1
CmCm+
对于
—）<
2n+1n+2m（m+1）
3
化为3-
2n+3
<
（n+1）（n+2）m（m+1）
由于数列
{3__—}是单调递增数列
2（n+1）（n+2）
所以3<
2m（m+1）
/57_3
化为3m2+3m-4<
0，解得0cm<
——
6
而虽丈口丈105C
66
1*
因此不存在正整数m，使得Tn<
对于n€N恒成立.
cmcm+
3.答案：
（！
）•••an』-6an4+9=0,
…an4（an-3）-3（an4-3）=0.
二an4（an-3）=3（an_1-3）
由a^—3工0，可知an—3工0,
an一3
anJ.
3（an4-3）
=1+^-
3弘丿一3
即一'
—
an4—33
•••数列｛
-^｝是首项为
an-3
1，公差为1的等差数列.
33
（n）由（I）得
01一3
=1卄）=3
二数列｛an｝的通项公式an
3（n+1）
5）■bn=（n+1）2
3（n+1）
（卄1）2-口（&
叫烏
二Tn=bi+6+b3+il|+bn
1111111
（厂厂3石刊轨-齐）]
4.答案：
见解析分析:
（1）由心"
討3，得：
沪心七严亠沪
x>
n1zx>
n1,x>
n1_n2n2_n2/,..,_
•-3-（an+1）=3"
a+3-=3-an_1+2+3"
=3-（an」+1）+2,
即bn=bn_1+2二bn-bn」=2（n>
2），又0=3（印+1）=2,
二数列｛bn｝是首项为2，公差为2的等差数列.
⑵由
（1）知，bn=2+（n-1）X2=2n,
记「二纟+笃宁
1332
十2（n-1）十2n
3n^3n
两式相减得：
|Tn=2（1+3+”.+±
）-2n
2[1-（3）n]
2n+3
3n"
3n
斜3-3n
12n+3
■■TnU—^^
因此，Sn=Tn—n=|—^4—n•
5.
答案：
（I）由已知得a卄-1=K-2_1，即aM_1
2an-3
（2an-3）2（an-1）+1
anH4-1a*-1
an-1
=^-2，即
a卄一1
—=-2-anj
•{a;
—｝是以-2为公差的等差数列.
=-3,
a,-2-1
•-an
T一站，即an
—2n+1
（川）
二bn
（2n+1）（2n+3）
•-Sn
-^+-^+-2-+||（+
3咒55咒77咒9（2n+1）（2n+3）
111111111
“3丐）駡一7）“7—9）竹円一扁■冇r一
6.答案：
分析:
5
-ar=—,a2=
122a<
H2
y=2，a3
4a2-17
82+24
a4
4a3—18
83+25
n+4
••an
an一1
3（an」-1）
an_i+2
an一13（anJL
+1.
-1）anA一13
•••5+3
，以1为公差的等差数列.
QQAC+4
0=3.即bn二+3（n-1）=〒
由（n）bn=
，则an仝
3nn+1
•••Cn
=（n+1）3n-a
=（n+4）
…Sn
=53+632+（n+4）3n=4（3+32+（||+3n）+（3+2，3+3洛卄|（+n”3n）.
令Tn=3+232+333+川+n3n,
则3Tn=3+23+川+（n-1）3“+n3n#
故Tn-3Tn=3+32+3’+川+3n-n外
即Tn=-1（3+32+33+川+3n）
22
7.
3（an』
-1）
an4一1
•-bn=b
=2+1（n-1）=
333
为公差的等差数列.
（n）由（I）b
n+4
专，则an=n+1
•••Cn=（n+1）6n
•an=（n+4）3n,
•••Sn=53+63^11+（n+4）3n=4（3+32+（”+3n）+（3+2，32+3、33+朴（+n^3n）
令Tn=3+23+33+川+n3n,则3Tn=32+233+111+（n-1）创+n3n+
故Tn-3Tn=3+32+33+川+3n
即Tn=--（3+32+33+川+3n）
1n3n卅
•••Sn=4（3+32+）H+3n）--（3+32+H|+3"
）+^^
（ffi）Tdn=an'
an^=^
n+5
n+2
n2+9n+20
=2
n2+3n+2
•dz+n6罟2
dn
n2+3n
十6.
8.答案：
*2
=anaH2+t
（1）由条件，设Fn^N,anH-
①-②，得
a3
2丄丄ai+a3
-a2=8284-aia3,a3（a^ai^a2（a^a4），二
=2.
a2
⑵a2+
=anan七+t,an42=an+t,
两式相减得
an++an七an+an七
an+
an七
•••数列｛an
上旦住｝为常数数列,
an十
an中anH2_a-+a3二2
（3）由
（2）知，数列｛an｝为等差数列，设公差为d,
■t■22
则由条件an#—anQi^=a1，得an*—（an甲—dXan#+d）=3
/.d=印=1，又数列｛an｝的各项为正数,
d>
0，二d=1,二an=n.
当k=1时，若存在P,r使丄，丄，丄成等差数列，则
akapar
-昌亠◎兰0
rP
与—>
0矛盾.因此，当k=1时，不存在.
r
112
当k>
2时，贝y——，所以r
krp
kp
2k-p
令p=2k-1得r=kp=k（2k-1）,
满足k<
p<
r.
综上所述，当k=1时，不存在p,
当k>
2时，存在一组P=2k—1,r=k（2k-1）满足题意.
9.答案：
见解析
（1））由已知可得an=a,q2=（—）n,bn+2=3log1（丄）n=3n,
444
二bn=3n-2•/bn十—bn=3，二｛bn｝为等差数列，其中b=1,d
bn十
J」
（3n—2）（3n+1）3'
3n—23n+1）‘'
3n+1
10.答案：
解析分析：
（1）
_an十—2n+
bn十bn—
3n+
an-2n_3an+3n+-2n-2n+
•••{bn}为等差数列.又b,=0，二bn=n-1.an=（n-1）3n+2n.
⑵设Tn=031+132+川+（n-1）3n，则
Tn=032+133+111+（n-1）3n^
—2Tn=32+川+3n-（n-1）3—9（1-3）_（n_1）3n^.T9-才十+（n-1）农十（2n-3）农卅+9
「Snm（2+22+0n）」2n—3PnFn*
11.答案：
aa
）•••当n>
2时，an=2an」+2n，即」晋=1,
又y=2,•••数列｛予｝是以2为首项，1为公差的等差数列.
a
扌=2+（n-1）>
M=n+1，故务=（n+1）2n.
（n）van=（n+1）2n，二Sn=2天21+3^22+…+nX2n」+（n+1）x2n,
2&
=2咒22+3咒23+"
•+nX2n+（n+1）咒2n十
两式相减得:
1-2尹
-Sn=4+（2?
+23+…+2n）-（n+l）%2n+=4+4（1—2）
•-Sn=n2n斗
12.答案：
la2-a=1
（1）由题意，得｛26印+a3=2
（*3+a?
=3
⑵•••an厂（-1）nan=2n-1,.」a2n^+a2n"
：
—11
La2n42-a2n+=4门十1
•a2n+a2n书=8n，即bn+bn+=8n,•••+bn=8n—8,
•bn+-bn」=8，于是当且仅当b1,b2,b3为等差数列，数列｛bn｝为等差数列,
a2n十+a2n=4□-1.
i._，•a2n出+a2nJ=2,Ta^a,•as=2-
la2n~a2nJL=4门_3
-bi=a+1,b2=7—a,bs=9+a，由b,,b?
d为等差数列，得a=1,
•••当a=1时，数列｛bn｝为等差数列；
当aHl时，数列｛bn｝不为等差数列.
⑶•/an++（—1）nan=2n-1,.a.七+（—1严a.卅=2n+1,
•••（―1）nan十+（—1）2nan=（—1）n（2n-1），即（―1）nan十+令=（—1）n（2n-1）,•••an七+an=2n+1+（—1）n（2n—1）,•an书+an41=2n+3+（—1严（2n+1）
•-an+an中+an七+an£
=4n+4-2（T）n,•••+a4n/+a4n/+a4n=16n-6,
•-S4n
I2
弓10+16n-6）n=8n+2n
a2n++a2n」=2,；
a1=a,•a4n_3=a,a4n」=2—a,
由a2n
—a2n」=4n—3，二a4n_2—a4n_3=8n—7,•a4n_2=8n—7+a,
又a2n
+a2n电=8n，二dn/+a4n二16n-8,a4^=8n一1—a,
…S4n丄=8n
-6n+1+a,S4n^=8n-6n-1+2a,S4nj=8n-14n+6+a,
12-n2
12
-n
12-n
12-nL2
—n+a（n=4k-3）
+-n-2+2a（n=4k-2）
2,（MN*）
--n+a（n=4k-1）
+丁（门=4k）
13.答案：
⑴若入=1，则（Sn++1）an=（Sn+1）an十,內=S=1.
又a*0,•詩詈
•S2+1
飞+1
”S3+1”
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