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⇒
q,那么
的充分条件;
的必要条件.
⇔
的充要条件
第二章不等式
1.不等式的基本性质:
(略)
(1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;
另外还可以用平方法、倒数法。
(2)不等式两边同时乘以负数要变号!
!
(3)同向的不等式可以相加(不能相减),同正的同向不等式可以相乘。
2.重要的不等式:
a
2
+
b
≥
2ab
,当且仅当
时,等号成立。
ab
(a,
R
+)
a
(3)
b
2
(算术平均数)
(几何平均数)
3.一元一次不等式的解法(略)
4.一元二次不等式的解法
(1)保证二次项系数为正
(2)分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的是求根:
⎩|
x
|>
>
a或x
<
-a
(3)定解:
(口诀)大于取两边,小于取中间。
5.绝对值不等式的解法
⎧
|
|<
-a
若
0
,则
⎨
分式不等式的解法:
与二次不等式的解法相同。
分母不能为
0.
第三章函数
1.函数
(1)定义:
设
A、B
是两个非空数集,如果按照某种对应法则
f
对
内任一个元素
x,在
中总有一个且只
有一个值
y
与它对应,则称
是集合
到
的函数,可记为:
:
A→B,或
x→y.其中
叫做函数
的定义域.函
数
在
的函数值,记作
(a)
函数值的全体构成的集合
C(CB),叫做函数的值域.
(2)函数的表示方法:
列表法、图像法、解析法
。
在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
2.函数的三要素:
定义域、值域、对应法则
(1)定义域的求法:
使函数(的解析式)有意义的
的取值范围
主要依据:
①分母不能为
0,②偶次根式的被开方式
0,
③特殊函数定义域:
≠
0y
(a
0且a
1),
R
log
x,
(2)值域的求法:
①正比例函数:
kx
和
一次函数:
的值域为
②二次函数:
ax
bx
c
的值域求法:
配方法。
的取值范围不是
则还需画图像
③反比例函数:
1
{
0}
x
④另求值域的方法:
换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
(3)解析式求法:
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
3.函数图像的变换
(1)平移
(
x)
向左平移
a个单位
→
a)
向右平移
-
a)
(2)翻折
向上平移
向下平移
x)
a个单位
沿x轴
保留x轴上方图像
=|
|
上、下对折
下方翻折到上方
4.函数的奇偶性
(1)定义域关于原点对称
(2)若
(-
奇若
偶
①若奇函数在
处有意义,则
(0)
②常值函数
)为偶函数
③
既是奇函数又是偶函数
5.函数的单调性
对于
∀x
、x
[a,
b]
且
,若
⎨
x1
x2
),
称f
x)在[a,
b]上为增函数
1212
增函数:
值越大,函数值越大;
值越小,函数值越小。
减函数:
值越大,函数值反而越小;
值越小,函数值反而越大。
6.二次函数
(1)二次函数的三种解析式
①一般式:
)
②顶点式:
a(
k
h(
,其中
(k
h)
为顶点
③两根式:
)(
)(
12
的两根
(2)图像与性质
二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质:
①
开口a
开口向上a
开口向下
②
对称轴:
-顶点坐标:
(-
2a
4ac
2a
4a
⎧b
⎪
c
⑤
为偶函数的充要条件为
⑥二次函数(二次函数恒大(小)于
0)
⎧a
0⎧
⎨⇔
图像位于x轴上方f
图像位于x轴下方
⎩
∆<
0⎩
⑦若二次函数对任意
都有
(t
,则其对称轴是
t
第四章指数函数与对数函数
1.指数幂的性质与运算
(1)根式的性质:
为任意正整数,
(n
a②当
为奇数时,
;
当
为偶数时,
③零的任何正整数次方根为零;
负数没有偶次方根。
零次幂:
1(a
(3)负数指数幂:
-n
1
n
0,
N
*
(4)分数指数幂:
m
m
m,
且n
1)
(5)实数指数幂的运算法则:
(a
R)
⋅
m+n
mn
③
b)
2.
幂运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;
一般将每个数都化为最小的一个数的
次方。
⎧当a
0时,y
在(0,
∞)上单调递增
⎩当a
∞)上单调递减
4.指数与对数的互化:
b(a
1)、(
5.
对数基本性质:
1②
0③
logaN
N④
log
aa
b与
a互为倒数
=
ababa
N
⑥
am
6.对数的基本运算:
(M
M
Nlog
aaa
M
7.换底公式:
logb
(b
0且b
8.指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数
对数函数
定
义
图
像
1的常数)
x(a
1的常数)
性
R,
图像经过
(0,1)
点
(1,0)
点
质
1,
x在R上为增函数;
x在(0,+∞)上为减函数
9.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂(次)或用换底公式或是利用
中间值
0,1
来过渡。
10.
指数方程和对数方程:
①指数式和对数式互化
②同底法
③换元法
④取对数法
解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。
第五章数列
等差数列
每一项与前一项之差为同一个常数
等比数列
每一项与前一项之比为同一个常数
=⋯=
3
n-1
d
(q
当公差
时,数列为常数列
等比数列各项及公比均不能为
0;
当公比为
通项
公式
1)d
推
d
论
m)d
n-m
(3)若
mnp
q
p
中项
三个数
a、b、c
成等差数列,则有
成等比数列,则有
2b
前
n(a
)n(n
项和S
==
na
+d
n1
1.已知前
项和
S
的解析式,求通项
(1
⎧S(n
2.弄懂等差、等比数通项公式和前
项和公式的证明方法。
(见教材)
第六章三角函数
1.弧度和角度的互换
180
o
π
弧度1o
π
1弧度
180
2.
扇形弧长公式和面积公式
L=|
α
⋅rS=
扇扇
Lr
⋅r
(记忆法:
S
3.
任意三角函数的定义:
sin
对边
邻边
y
cos
tan
斜边
r
4.
特殊三角函数值
α
4
45
60
90
4
3
不存在
5.
三角函数的符号判定
(1)
(2)
口诀:
一全二正弦,三切四余弦。
(三角函数中为正的,其余的为负)
图像记忆法
6.三角函数基本公式
(可用于化简、证明等)
1(可用于已知
求
或者反过来运用)
7.诱导公式:
奇变偶不变,符号看象限。
解释:
指
7.已知三角函数值求角
确定角
所在的象限;
求出函数值的绝对值对应的锐角
'
;
写出满足条件的
~
2π
的角;
(4)
加上周期(同
终边的角的集合)
8.和角、倍角公式
⑴
和角公式:
sin(α
±
β
β注意正负号相同
cos(α
β
tan(α
注意正负号相反
ns
⑵
二倍角公式:
s
i
n2α
2s
αcos
2α
2sin
=2
α1
αα1
⑶
半角公式:
in
cos=±
2222
9.
三角函数的图像与性质
定义域值域同期奇偶性单调性
xx
R[-1,1]T
2π
奇
]
↑
3π
[2kπ
2kπ
↓
[-1,1]
T
9.正弦型函数
sin(ωx
ϕ)(
ω
(1)定义域
,值域
[-
A,
A]
(2)周期:
ω
(3)注意平移的问题:
一要注意函数名称是否相同,二要注意将
的系数提出来,再看是怎样平移的。
sin(
ϕ
正弦定理
abc
===
2R(
为
∆ABC
的外接圆半径)
Asin
Bsin
C
其他形式:
2R
Ab
s
nBc
(注意理解记忆,可只记一个)
11.
余弦定理
222
2bc
12.
三角形面积公式
bc
ac
13.
海伦公式:
∆ABC
P(P
a)(P
b)(P
c)
(其中
P
的半周长,
第七章平面向量
1.向量的概念
(1)定义:
既有大小又有方向
的量。
(2)向量的表示:
书写时一定要加箭头!
另起点为
A,终点为
的向量表示为
AB
(3)向量的模(长度):
或|
(4)零向量:
长度为
0,方向任意。
单位向量:
的向量。
向量相等:
大小相等,方向相同的两个向量。
反(负)向量:
大小相等,方向相反的两个向量。
2.向量的运算
(1)图形法则
三角形法则平形四边形法则
(2)计算法则
加法:
BC
AC减法:
AC
CA
(3)运算律:
加法交换律、结合律注:
乘法(内积)不具有结合律
3.数乘向量:
λ
(1)模为:
||
|
(2)方向:
为正与
相同;
为负与
相反。
4.AB
的坐标:
终点
的坐标减去起点
的坐标。
AB
BABA
5.向量共线(平行):
∃
唯一实数
,使得
(可证平行、三点共线问题等)
6.
平面向量分解定理:
e
是同一平面上的两个不共线的向量,那么对该平面上的任一向量
,都存在唯一的
一对实数
121
122
7.注意
中,重心(三条中线交点)、外心(外接圆圆心:
三边垂直平分线交点)、内心(内切圆圆心:
三角平分
线交点)、垂心(三高线的交点)
8.向量的内积(数量积)
(1)向量之间的夹角:
图像上起点在同一位置;
范围
[0,
(2)内积公式:
a,
9.向量内积的性质:
=a
|2
或
|=a
a(长度公式)
向量的直角坐标运算:
(1)
(2)设
,则a
11221212
(λx
λy
11.中点坐标公式:
B
点
M(x,y)是线段
的中点,则
1122
12.向量平行、垂直的充要条件:
,则
=1(相对应坐标比值相等)
xy
22
⊥
0(两个向量垂直则它们的内积为
长度公式
(1)向量长度公式:
|=x
(2)两点间距离公式:
设点
A(
B(
|=
y'
a2
向量平移
x'
(1)平移公式:
P(
y)
平移向量
)到P'
⎨1记忆法:
“新=旧+向量”
(2)图像平移:
的图像平移向量
后得到的函数解析式为:
1221
第八章平面解析几何
1.曲线
上的点与方程
F
之间的关系:
(1)曲线
上点的坐标都是方程
y)
的解;
(2)以方程
的解
为坐标的点都在曲线
上。
则曲线
叫做方程
的曲线,方程
叫做曲线
的方程。
2.求曲线方程的方法及步骤:
设动点的坐标为(x,y);
写出动点在曲线上的充要条件;
用
的关系式
表示这个条件列出的方程;
化简方程(不需要的全部约掉);
(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程。
如果
方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。
3.两曲线的交点:
联立方程组求解即可。
4.直线:
倾斜角
一条直线
l
向上的方向与
轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。
其
范围是
斜率:
①倾斜角为
的直线没有斜率;
k
(倾斜角的正切)
③经过两点
的直线的斜率
K
y2
y1
111222
21
直线的方程
两点式:
斜截式:
点斜式:
)④
一般式:
Ax
By
00
1.若直线
方程为
3x+4y+5=0,则与
平行的直线可设为
3x+4y+C=0;