海淀区初二上期末数学Word文档格式.docx

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，则∠ABE的度数是（　　）

A．62B．31C．28D．25

9．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（　　）

A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处

10．（3分）定义运算

=

，若a≠﹣1，b≠﹣1，则下列等式中不正确的是（　　）

×

=1B．

+

C．（

）2=

D．

=1

二．填空题（本大题共24分，每小题3分）

11．（3分）如图△ABC，在图中作出边AB上的高CD．

12．（3分）分解因式：

x2y﹣4xy+4y=　　．

13．（3分）写出点M（﹣2，3）关于x轴对称的点N的坐标　　．

14．（3分）如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是　　．

15．（3分）计算：

﹣4（a2b﹣1）2÷

8ab2=　　．

16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A=　　°

．

17．（3分）教材中有如下一段文字：

思考

如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？

如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．

小明通过对上述问题的再思考，提出：

两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法　　．（填“正确”或“不正确”）

18．（3分）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？

小明通过观察分析，形成了如下解题思路：

如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．

（1）判定△ABD与△AED全等的依据是　　；

（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：

　　．

三．解答题（本大题共18分，第19题4分，第20题4分，第21题10分）

19．（4分）分解因式：

（a﹣4b）（a+b）+3ab．

20．（4分）如图，DE∥BC，点A为DC的中点，点B，A，E共线，求证：

DE=CB．

21．（10分）解下列方程：

（1）

；

（2）

﹣1=

四．解答题（本大题共14分，第22题4分，第23、24题各5分）

22．（4分）已知a+b=2，求（

）•

的值．

23．（5分）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得△DEF为等边三角形，求证：

AD=BE=CF．

24．（5分）列方程解应用题：

老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．

小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约　　千米．

然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：

考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．

五．解答题（本大题共14分，第25、26题各7分）

25．（7分）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；

有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：

（1）非等边的等腰三角形有　　条对称轴，非正方形的长方形有　　条对称轴，等边三角形有　　条对称轴；

（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；

（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；

（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．

26．（7分）钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°

，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．

（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．

①当α=30°

，点D恰好为BC中点时，补全图1，直接写出∠BAE=　　°

，∠BEA=　　°

②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；

（2）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与

（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．

附加题：

（本题最高10分，可计入总分，但全卷总分不超过100分）

27．一个多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗？

（1）以凸六边形为例，如果这个凸六边形是轴对称图形，那么它可能有　　条对称轴；

（2）凸五边形可以恰好有两条对称轴吗？

如果存在请画出图形，并用虚线标出两条对称轴；

否则，请说明理由；

（3）通过对

（1）中凸六边形的研究，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是：

参考答案与试题解析

1．【解答】A、是轴对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，故此选项正确；

故选：

D．

2．【解答】A、底数不变指数相减，故A错误；

B、底数不变指数相加，故B错误；

C、底数不变指数相乘，故C正确；

D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；

3．【解答】0.000001=1×

10﹣6，故选A．

4．【解答】由题意得：

x+2≠0，解得：

x≠﹣2，故选：

5．【解答】A、2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；

B、（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；

C、x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1），是因式分解，故此选项符合题意；

D、x2+y2=（x﹣y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；

故选C．

6．【解答】∵△ABE≌△ACD，

∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠C，故A正确；

∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=EC，故D正确；

在△BDF和△CEF中

∴△BDF≌△CEF（ASA），

∴DF=EF，故C正确；

故选B．

7．【解答】∵（15x2y﹣5xy2）÷

5xy=3x﹣y，

∴选项A不正确；

∵98×

102=（100﹣2）（100+2）=9996，

∴选项B正确；

∵

﹣1=﹣

，

∴选项C不正确；

∵（3x+1）（x﹣2）=3x2﹣5x﹣2，

∴选项D不正确．

B．

8．【解答】如图，过点E作EF⊥AB于F，

∵∠D=∠C=90°

，AE平分∠DAB，

∴DE=EF，

∵E是DC的中点，

∴DE=CE，

∴CE=EF，

又∵∠C=90°

∴点E在∠ABC的平分线上，

∴BE平分∠ABC，

又∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°

∴∠AEB=90°

∴∠BEC=90°

﹣∠AED=62°

∴Rt△BCE中，∠CBE=28°

∴∠ABE=28°

9．【解答】连接BP，

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴PB=PC，

△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，

当B、E、E在同一直线上时，

△PCE的周长最小，

∵BE为中线，

∴点P为△ABC的重心，

10．【解答】A、正确．∵

∴

=1．

B、错误．

．C、正确．∵（

）2=（

．D、正确．

11．【解答】如图所示，CD即为所求．

12．【解答】x2y﹣4xy+4y，=y（x2﹣4x+4），=y（x﹣2）2．

13．【解答】∵M（﹣2，3），

∴关于x轴对称的点N的坐标（﹣2，﹣3）．

故答案为：

（﹣2，﹣3）

14．【解答】∵等腰三角形有两边分别分别是4和8，

∴此题有两种情况：

①4为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20，

②8底边，那么4是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．

∴该等腰三角形的周长为20，

20

15．【解答】原式=﹣4a4b﹣2÷

8ab2=﹣2a3b﹣4=﹣

，故答案为：

﹣

16．【解答】∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC，

∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．

∴∠A=∠ABD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠C=2∠A=∠ABC，

设∠A为x，

可得：

x+x+x+2x=180°

解得：

x=36°

36

17．【解答】小明的说法正确．

理由：

如图，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB=DE，AC=DF，∠ACB=∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．

∵∠ACB=∠DFE，

∴∠ACG=∠DFH，

在△ACG和△DFH中，

∴△ACG≌△DFH，

∴AG=DH，

在Rt△ABG和Rt△DEH中，

∴△ABG≌△DEH，

∴∠B=∠E，

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF．

（当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方法类似）．

故答案为正确．

18．【解答】

（1）SAS；

（2）∵△ABD≌△AED，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠E，

∴∠ACB=2∠E，

∴∠ACB=2∠ABC．

SAS，∠ACB=2∠ABC．

19．【解答】原式=a2﹣3ab﹣4b2+3ab=a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b）．

20．【解答】证明：

∵DE∥BC，

∴∠D=∠C，∠E=∠B．

∵点A为DC的中点，

∴DA=CA．

在△ADE和△ACB中，

∴△ADE≌△ACB．

∴DE=CB．

21．【解答】

（1）去分母得：

5x+2=3x，

x=﹣1，

经检验x=﹣1是增根，原方程无解；

（2）去分母得：

x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）=x+2，

x=

经检验x=

是分式方程的解．

22．【解答】

，当a+b=2时，原式=

23．【解答】在等边三角形ABC中，∠A=∠B=60°

∴∠AFD+∠ADF=120°

∵△DEF为等边三角形，

∴∠FDE=60°

，DF=ED．

∵∠BDE+∠EDF+∠ADF=180°

∴∠BDE+∠ADF=120°

∴∠BDE=∠AFD．

在△ADF和△BED中，

∴△ADF≌△BED．

∴AD=BE，同理可证：

BE=CF．

∴AD=BE=CF．

24．【解答】这段路长约60×

=3千米；

由题意可得：

解方程得：

a=15．

经检验：

a=15满足题意．

答：

a的值是15．

3

25．【解答】

（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，

1，2，3；

（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．

（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图2所示．

（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．

26．【解答】

（1）①补全图1，如图所示．

∵AB=AC，BD=DC，

∴AE⊥BC，

∴EB=EC，∠ADB=90°

∵∠ABC=30°

∴∠BAE=60°

∵BC=BE，

∴△BCE是等边三角形，∠DEB=∠DEC，

∴∠BEC=60°

，∠BEA=30°

故答案为60，30．

②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=α，

∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，

∴∠BAM=∠BAN，

∴BM=BN，

在Rt△BMF和Rt△BNE中，

∴Rt△BMF≌Rt△BNE．

∴∠BEA=∠F，

∵BF=BC，

∴∠F=∠C=α，

∴∠BEA=α．

（2）结论：

∠BAE=α+β．理由如下，

如图3中，连接EC，

∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，

∴△ADC∽△BDE，

，∵∠ADB=∠CDE，

∴△ADB∽△CDE，

∴∠BAD=∠DCE，

∠ABD=∠DEC=β，

∴∠BCE=∠BEC，

∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．

27．【解答】

（1）凸六边形是轴对称图形，那么它可能有1，2，3或6条对称轴，故答案为：

1，2，3或6；

（2）不可以．

理由如下：

根据轴对称图形的定义，若一个凸多边形是轴对称图形，则对称轴与多边形的交点是多边形的顶点或一条边的中点．若多边形的边数是奇数，则对称轴必经过一个顶点和一条边的中点．

如图1，设凸五边形ABCDE是轴对称图形，恰好有两条对称轴l1，l2，其中l1经过A和CD的中点．

若l2⊥l1，则l2与五边形ABCDE的两个交点关于l1对称，与对称轴必经过一个顶点和一条边的中点矛盾；

若l2不垂直于l1，则l2关于l1的对称直线也是五边形ABCDE的对称轴，与恰好有两条对称轴矛盾．

所以，凸五边形不可以恰好有两条对称轴．

（3）对称轴的条数是多边形边数的约数．